Matrices y algebra de matrices, Diapositivas de Matemáticas

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MATRICES

II PARCIAL

Lic. Ángela Izaguirre

Departamento de Matemática Pura

UNAH-CU

Tabla de Contenido

1 Objetivos (^2) Matrices Introducción a las Matrices Matrices especiales (^3) Álgebra de Matrices Igualdad de Matrices Multiplicación de una matriz por un escalar Ejemplo 1 Adición y sustracción de matrices Ejemplo 2 Ejemplo 3 Multiplicación de matrices Ejemplo 4 Transpuesta de una matriz (^4) Bibliografía

Matrices

Definición 1

Una Matriz es un arreglo rectangular de números reales, encerrado en grandes parénesis (o corchetes) rectangulares. Las matrices por lo regular se denotan con letras mayúsculas como A, B o C.

Algunos ejemplos de matrices son

A =

 , B =

 , C = ( 1 0 0 )^ , E = [ 3 ]

Los números reales que forman el arreglo se llaman entradas o elementos de la matriz. Los elementos en cualquier línea horizontal forman un renglón o fila y aquellos que se encuentran en cualquier línea vertical forman una columna de la matriz.

Matrices

Por ejemplo la matriz

D =

tiene tres renglones (o filas) y cuatro columnas; los elementos de la segunda fila son 2 , 0 , − 1 , 0 y los elementos de la primera columna son 1 , 2 , 5. Si una matriz tiene m renglones y n columnas se dice que es de tamaño m × n; por ejemplo la matriz D es de tamaño 3 × 4. Una matriz que solo tiene un reglón, es decir, de tamaño 1 × n se conoce como matriz renglón y una matriz que sólo tiene una columna, es decir, de tamaño m × 1 se denomina matriz columna.

Matrices

Una matriz con el mismo número de renglones y columnas se conoce como Matriz Cuadrada. Las siguientes matrices son ejemplo de matrices cuadradas

P =

, Q =

− 2 0 π 2 10 −π 0 2 2 0 π 0 3 0 0 π

 , R^ =^

Donde P es de tamaño 2 × 2 , o simplemente 2, Q es de tamaño 4 y R de tamaño 1.

Matrices

Matrices especiales

(^1) Se denomina Matriz Diagonal a la matriz cuadrada de orden n, A = [aij ]n×n en la cual aij = 0 para toda i 6 = j.

Ejemplo: A =

(^2) Se denomina Matriz Identidad I a la matriz diagonal de orden n, en la cual aij = 1 para toda i = j.

Ejemplo de la matriz identidad de orden 4: I =

Álgebra de Matrices

Igualdad de Matrices

Se dice que dos matrices A y B son iguales si i (^) tienen el mismo tamaño ii (^) Los elementos de la matriz A son iguales a los correspondientes elementos de la matriz B. Por ejemplo, sean

A =

2 x 3 y − 1 4

, B =

a 5 3 0 b 4

vemos que, A y B son del mismo tamaño y A = B si y sólo si a = 2, x = 5, y = 0 y b = − 1.

Álgebra de Matrices

Multiplicación de una Matriz por un Escalar

La multiplicación de una matriz por un escalar se refiere a la operación de multiplicar la matriz por un número real. Si A = [aij ]m×n y α es cualquier número real (α ∈ R); el producto αA es una matriz de m × n obtenida multiplicando cada elemento de A por la constante α. En otras palabras αA = [αaij ]m×n.

Por ejemplo si A =

se tiene que

− 3 A =

Álgebra de Matrices

Solución Ejemplo 1 Representemos la matriz de ventas por

A =

Cada elemento en la matriz anterior debe aumentarse en 50 %, esto es, multiplicarse por 1.5. Por tanto, la matriz para junio es 1 , 5 A o bien

1. 5 A = 1. 5

1. 5 A =

Por lo que, el almacén 1 para el mes de junio venderá 33 televisores, 51 computadoras y 24 tabletas; el almacén 2 venderá 21 televisores, 60 compu- tadoras y 30 tabletas.

Álgebra de Matrices

Adición y sustracción de matrices

Dos matrices A y B del mismo tamaño pueden sumarse (o restarse) sumando (o restando) sus elementos correspondientes. En otras palabras, si A = [aij ]m×n y B = [bij ]m×n son dos matrices del mismo tamaño m × n, entonces: i (^) A + B = [aij + bij ]m×n ii (^) A − B = [aij − bij ]m×n

Álgebra de Matrices

Ejemplo 2 Para la cadena de tiendas del Ejemplo 1, el número de televi- sores, computadoras y tabletas en existencia en las dos fabricas al inicio del mes de mayo está dada por la matriz

B =

los renglones y columnas que en el ejemplo 1. Por ejemplo en la fabrica 2 estaban 32 computadoras en existencia. Durante mayo, se hicieron entregas a los almacenes de acuerdo con la matriz

C =

Determine la matriz que representa el número de los tres artículos en exis- tencia al final de mayo.

Álgebra de Matrices

Solución Ejemplo 2 Para cada artículo en la fabrica, tenemos:

Número final de mayo = Número inicio de mayo + Recibidos − ventas

De modo que la matriz que queremos está dada por B + C − A y es

B + C − A =

Por lo tanto, al final de mayo en el almacén 1 hay 28 televisores, 34 compu- tadoras y 16 tabletas; en el almacén 2 hay 14 televisores, 40 computadoras y 8 tabletas.

Álgebra de Matrices

X = 2 B − A

X = 2

Por lo que la matriz que cumple con la ecuación X + A = 2B es

X=

Álgebra de Matrices

Multiplicación de matrices

Si A = [aij ]m×n y B = [bij ]n×p, el producto AB es una matriz C de tamaño m × p, C = [cij ]n×p, en donde el ij−ésimo elemento cij se obtiene multiplicando los elementos del i−ésimo renglón de A por los elementos de la j−ésima columna de B.