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Proyecto e-Math 1
ÁLGEBRA DE MATRICES
Autores: Cristina Steegmann Pascual ([email protected]), Juan Alberto Rodríguez Velázquez ([email protected]), Ángel Alejandro Juan Pérez ([email protected]).
ESQUEMA DE CONTENIDOS ________________________
INTRODUCCIÓN ___________________
El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos matemáticos utilizados para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias sociales, las ingenierías, economía, física, estadística y las diferentes ramas de las matemáticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo numérico y, por supuesto, el álgebra. Para obtener información sobre la historia del álgebra de matrices recomendamos [W5].
En este math-block presentamos algunos tipos de matrices, analizamos las principales operaciones con matrices y damos algunas aplicaciones del álgebra de matrices. Además, mostramos las posibilidades que nos brinda el programa Mathcad para el cálculo matricial. Para completar el estudio sobre este tema, recomendamos la lectura de los math-blocks sobre determinantes, matriz inversa y sistemas de ecuaciones lineales.
Álgebra de Matrices
Definición de matriz
Tipos de matrices
Operaciones con matrices
Algunas Aplicaciones
Modelo metalúrgico
Matrices Input Output
Matriz de adyacencia
Suma, producto y producto por un escalar
Cálculo con Mathcad
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OBJETIVOS ________________________
- Conocer algunos tipos de matrices.
- Conocer las principales operaciones con matrices.
- Conocer algunas aplicaciones del cálculo matricial.
- Conocer las facilidades del cálculo matricial usando el programa Mathcad.
CONOCIMIENTOS PREVIOS ___________________________________
Es recomendable haber leído, previamente, los math-blocks introductorios a Mathcad.
CONCEPTOS FUNDAMENTALES ______________________________
Definición de matriz
Los arreglos rectangulares de números como el siguiente
reciben el nombre de matrices. Más formalmente, dado un conjunto X, se denomina matriz de n filas y m columnas a un conjunto de n×m elementos de X, dispuestos en un arreglo rectangular de n filas y m columnas. Las características de los elementos del conjunto X dependerán, en cada caso, de la naturaleza del problema que se esté estudiando. X puede ser un conjunto de funciones, de palabras de un alfabeto, de números, etc. De aquí en adelante, salvo que se especifique lo contrario, los elementos del conjunto X serán números reales y denotaremos el conjunto de todas las matrices de orden n×m (n filas y m columnas) por M (^) n × m.
En general, para representar una matriz A de orden n×m se escribe
A =
n n nm
m
m
a a a
a a a
a a a
1 2
21 22 2
11 12 1
También se escribe A=( a (^) ij ) ( i = 1 ,...,n y j = 1 ,...,m) para indicar que A es la matriz de orden
n×m que tiene elementos a (^) ij. Las matrices se denotan con letras mayúsculas y sus elementos con la misma letra minúscula acompañada de dos subíndices que indican su posición en la matriz; el primer subíndice indica la fila y el segundo la columna. Es decir, el elemento a (^) ij es aquel que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz A. Por ejemplo, si denotamos por M la matriz inicial, entonces el orden de M es 2×3 (2 filas y 3 columnas) y sus elementos son: m 11 (^) = 8 , m 12 (^) =− 1 ,, m 13 (^) = 0 , m 21 (^) = 5 , m (^) 22 = 0. 5 y m 23 = 3.
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Más adelante veremos que la matriz unidad, respecto a la multiplicación de matrices, juega un papel similar al número 1 respecto a la multiplicación de números reales.
Matriz triangular : Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo (o por encima) de la diagonal principal son cero. Por ejemplo, la siguiente matriz es triangular:
T
Este tipo de matrices también se conoce como matriz escalonada. En algunos casos se hace la distinción entre las matrices triangulares superiores o inferiores en dependencia de los elementos nulos de la matriz; los que están por debajo o por encima de la diagonal principal.
Según se puede ver en el Math-block sobre sistemas de ecuaciones lineales, el concepto de matriz triangular (o escalonada) es de vital importancia en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales.
Más adelante, después de estudiar las operaciones con matrices, veremos algunos tipos importantes de matrices como es el caso de las simétricas y las ortogonales.
Adición de matrices
Sean A^ ,^ B ∈ Mn × m. La matriz C^ = ( c^ ij )∈ Mn × m es la suma de las matrices A^ = (^ aij )y B = ( bij ), y se denota C = A + B ,si sus elementos cumplen:
c (^) ij = aij + bij ( i =1,2,...,n, j =1,2,..., m)
Ejemplo
Consideremos las siguientes matrices:
A
B
M
Las matrices A y B son de orden 3×2, mientras la matriz M es cuadrada de orden 3. Por tanto, no podemos calcular la suma de A y M y tampoco la suma de B y M , en cambio, sí podemos sumar A y B ya que tienen el mismo orden. Esto es,
A B
Es fácil deducir las siguientes propiedades de la adición de matrices de orden n×m:
- Conmutativa: A + B = B + A , ∀ A , B ∈ Mn × m^1
- Asociativa: A + ( B + C )=( A + B )+ C , ∀ A , B , C ∈ Mn × m
(^1) ∀ : Cuantificador universal. Se lee “Para todo”. ∃ : Cuantificador existencial. Se lee “Existe”
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- Elemento neutro (la matriz nula): ∃ O^ ∈ Mn × m ∀ A ∈ Mn × m : A + O = O + A = A
- Elemento opuesto: ∀ A^ ∈ Mn × m ∃(− A )∈ Mn × m : A +(− A )=(− A )+ A = O
En virtud de las propiedades anteriores de la adición de matrices, “+”, (ley interna) resulta que
( M n × m ,+)tiene estructura de grupo conmutativo. (Ver [8] para profundizar en la estructura de
grupo)
Multiplicación de una matriz por un número
Se denomina producto de una matriz^2 A = ( aij )∈ Mn × m por un número λ a una matriz
B = ( bij )∈ Mn × m cuyos elementos son de la forma
b (^) ij =λ aij ( i = 1 ,...,n ; j = 1 ,...,m ) Es decir, la matriz producto, B , es la que se obtiene multiplicando el número^ λ^ por cada uno de los elementos de A. De aquí en adelante consideraremos que^ λ^ es un número real.
Ejemplo
Consideremos la matriz
A y el número λ =− 5. Entonces, el producto de A
por^ λ^ es:
λ· A 5 ·
El producto de una matriz por un número es una ley de composición externa que cumple las siguientes propiedades (Ver [8] para profundizar en leyes de composición):
- Distributiva mixta del producto respecto a la suma de matrices
λ( A + B )=λ A +λ B ∀ λ∈R, ∀ A , B ∈ Mn × m
- Distributiva mixta del producto respecto a la suma de números reales
(λ+ δ) A =λ A +δ A ∀λ, δ∈ R , ∀ A ∈ Mn × m
(λ·δ) A (^) = λ(δ A ) ∀λ, δ∈ R , ∀ A ∈ Mn × m
- Elemento neutro para la ley externa
(^2) En esta definición damos por supuesto que se cumple la propiedad conmutativa de la multiplicación del número λ por los elementos de A.
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Nótese, además, que no podemos calcular B · A.
B · A =
34 42
× ×
Hay casos, como veremos en el siguiente ejemplo, en los que se pueden calcular ambos productos aunque se obtienen resultados diferentes.
Consideremos las siguientes matrices:
A y
B
Entonces, por un lado,
A · B
y por otro lado,
B · A
Según se pudo comprobar a través de los ejemplos anteriores, para la multiplicación de matrices no se cumple la propiedad conmutativa. Veamos algunas propiedades de esta operación:
- Asociativa A ( B · C )= ( A · B ) C , ∀ A, B, C : A ∈ Mn × m , B ∈ Mm × k , C ∈ Mk × p
- Elemento neutro (Es la matriz unidad) ∃ I ∈ Mn ∀ A ∈ Mn : A · I = I · A = A
- Distributiva (mixta) A ( B + C )= A · B + A · C , ∀ A,B,C : A ∈ Mn (^) × m B , C ∈ Mm × k
En virtud de estas propiedades y de las anteriores de la suma de matrices, resulta que el
conjunto ( M n ,+,·) de las matrices cuadradas de orden n, respecto a las dos leyes de
composición interna, “+” y “·”, tiene estructura de anillo unitario no conmutativo (Ver [8] para profundizar en la estructura de anillo).
Otras observaciones importantes:
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- Existen divisores de cero: En general, A · B = 0 no implica que A = 0 o B = 0. Por ejemplo,
.
- No se cumple la propiedad cancelativa: En general, A · B = A · C no implica B = C .Por ejemplo,
- No se cumple la fórmula del binomio: En general, 2 2 2 ( A + B ) ≠ A + 2 AB + B ya que el producto no es conmutativo.
Matriz invertible
Una matriz cuadrada A es invertible si existe una matriz, que denotaremos por , − 1 A que cumple · · , 1 1 A A = A A = I − −
donde I^ es la matriz unidad. En ese caso se dice que
A −^1
es la inversa de A^.
Por ejemplo, la matriz
A
es invertible y su inversa es
31
10 31
12 31
9
31
11 31
7 31
13
31
7 31
4 31
3
A^1
ya que
31
10 31
12 31
9
31
11 31
7 31
13
31
7 31
4 31
3
A A^1 = I
Para un estudio detallado sobre matriz inversa recomendamos el math-block titulado “Matriz Inversa”.
Matriz traspuesta
La traspuesta de una matriz A = ( a (^) ij )∈ Mn × m , es la matriz ( (^) ji ) mn , T A = a ∈ M × que se obtiene a partir de la matriz A al intercambiar las filas por las columnas (o viceversa).
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x senx
senx x cos
cos
Para comprobarlo es suficiente con aplicar la definición y tener en cuenta que sen^2 x + cos 2 x = 1.
Las matrices ortogonales de orden 2 son de la forma:
b a
a b A o (^) ,
b a
a b A
donde a y (^) b son números reales tales que a^2 + b^2 = 1.
Matriz involutiva : Es una matriz que coincide con su inversa. Esto es,
A es involutiva ⇔ A^2 = I
La siguiente matriz es involutiva:
A ,
A
Es evidente que esta matriz también es ortogonal.
Matriz idempotente : Es una matriz igual a su cuadrado. Es decir,
A (^) es idempotente ⇔ A^2 = A.
La siguiente matriz es idempotente:
A
Matriz nilpotente : Si A es una matriz cuadrada y = 0 k A para algún número natural k ,se dice que A es nilpotente. Si k es tal que 0 1 ≠ k − A y = 0 , k A se dice que A es nilpotente de orden k. A continuación mostramos una matriz nilpotente de orden 2.
A =
A^2
Naturalmente, la matriz A es un divisor de cero.
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CASOS PRÁCTICOS CON SOFTWARE___________________________________
Operaciones con matrices usando Mathcad
¿Cómo editar matrices?
Para editar matrices utilizando Mathcad se siguen los siguientes pasos usando la barra de herramientas Math :
Se introduce el número de filas y de columnas y luego se introducen los elementos de la matriz
¿Cómo asignar una matriz a una variable?
Para asignar una matriz a una variable se escribe la variable y luego dos puntos, “:”. Después se introduce la matriz por el procedimiento de antes.
¿Cómo calcular?
Una vez asignada la matriz a una variable, la suma, producto, producto por un número y potencias, se hacen como si se tratase de números. En el caso de la traspuesta y otras operaciones exclusivas de las matrices se utiliza la barra de herramientas Matrix.
Por ejemplo, introducimos las siguientes matrices:
A
2 − 1 3
4 3 0
3 4 1
:= M
4 1
3 2
2 3
:=
B
0 1 3
2 3 0
:=
Luego calculamos:
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industria , el valor de las ventas internas fue de 50, el valor de las ventas al sector agrario fue de 23, en el caso del turismo fue de 4, y en los servicios de 6. El valor de las ventas efectuadas a los consumidores y a otros países (demanda) fue de 200. Entonces el output total fue de 283.
A partir de la tabla anterior se definen las siguientes matrices:
Matriz de transacciones Matriz demanda final Matriz de outputs
M
50 12 1 80
23 70 1 90
4 15 50 85
6 9 15 87
:= D
200 70 350 43
:= O
283 176 417 385
:=
Y a partir de los elementos de las matrices M y O se puede construir una matriz tecnológica , T , que representa la proporción de las transacciones intersectoriales respecto al output total de cada sector.
T
50 283 12 283 1 283 80 283
23 176 70 176 1 176 90 176
4 417 15 417 50 417 85 417
6 385 9 385 15 385 87 385
:=
Toda la información de la tabla se puede expresar en forma matricial a través de la siguiente relación: O = T·O+D,es decir,
Esta fórmula permite hacer estudios destinados a planificar la economía.
Modelo metalúrgico
Supongamos que una empresa fabrica tres modelos de máquinas herramientas, M1, M2 y M3, y como materia prima fundamental utiliza tres tipos de metales, Hierro (H), Níquel (N) y Cobalto (C). La cantidad de materia prima que necesita para fabricar cada máquina, expresada en toneladas, se muestra en la siguiente tabla a la cual le hacemos corresponder la matriz A.
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Las mejores ofertas de la materia prima corresponden a los proveedores P1, P2 y P3. Los precios por tonelada (expresados en cierta unidad monetaria) impuestos por cada uno de los proveedores a cada uno de los metales aparecen en la siguiente tabla:
B
160 6000 3000
155 6250 3010
150 7200 2995
:=
Queremos hacer una tabla de doble entrada que muestre el gasto en materia prima por modelo de máquina y proveedor. Dicha tabla se obtiene a través del siguiente producto matricial:
La tabla obtenida es:
Para interpretar los datos de esta tabla tomaremos como ejemplo el modelo M3 con el proveedor P1: Si compramos la materia prima al proveedor P1, los gastos por cada máquina del modelo M3 serán de 4160 unidades monetarias. Analizando la tabla podemos concluir que resulta más económico comprar la materia prima al proveedor P1.
Matriz de adyacencia de un grafo
Un grafo G=( V , E ) es un par ordenado formado por un conjunto V (finito no vacío) de objetos llamados vértices y un conjunto E de pares no ordenados de vértices diferentes denominados aristas. Una arista formada por los vértices vi , v (^) j se denota por vi vj y se dice que los vértices
v i y v (^) j son adyacentes.
Consideremos el grafo representado en el siguiente diagrama:
H N C
M1 5 0.4 0.
M2 4 0.3 0.
M3 3.5 0.5 0.
P1 P2 P
H 160 155 150
N 6000 6250 7200
C 3000 3010 2995
P1 P2 P
M1 3800 3877 4229
M2 2740 2796 3059.
M3 4160 4269.5 4724
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A G( ) 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
= A G(^ )^
1
0 1 0 1
1 0 1 1
0 1 0 1
1 1 1 0
= A G(^ )^
2
2 1 2 1
1 3 1 2
2 1 2 1
1 2 1 3
=
A G( ) 3
2 5 2 5
5 4 5 5
2 5 2 5
5 5 5 4
= A G(^ )^
4
10 9 10 9
9 15 9 14
10 9 10 9
9 14 9 15
= A G(^ )^
5
18 29 18 29
29 32 29 33
18 29 18 29
29 33 29 32
=
Entonces, como podemos comprobar en el dibujo del grafo, el número de recorridos de longitud l ( 0 ≤ l ≤ 5 ) entre v 1 y v 3 está dado por el elemento 13 ( l ) a de la matriz A ( G ). l Así, 13 0 , ( 0 ) a =
a (^1 ) 13 = 0 , a (^2 ) 13 = 2 , a (^3 ) 13 = 2 , 13 10 ( 4 ) a = y 13 18. ( 5 ) a = (Ver [7] para profundizar en teoría algebraica de grafos)
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BIBLIOGRAFÍA ___________________________________
[1] Carl D. Meyer´s (2000): "Matrix analysis and applied linear algebra", Philadelpia SIAM, 461, 468-
470
[2] Montes Lozano, A (1998): "Álgebra", Ediciones UOC, Módulo 3: "Matrices, vectores y sistemas
de ecuaciones lineales", 45-48, 41-43, 43-
[3] G. J. Porter, D. R. Hill (1996): “Interactive Linear Algebra. A laboratory course using Mathcad”,
Springer-Verlag New York, Inc., Section 3.1, 3.2, 3.
[4] H. Benker (1999): "Practical use of Mathcad. Solving mathematical problems with a computer
algebra system", Springer-Verlag New York, Inc., 178-
[5] J. A. Moreno, D. Ser (1999): "Mathcad 8. Manual de usuario y guía de referencia de Mathcad 8",
ediciones Anaya Multimedia, S.A., 155, 296.
[6] H. Anton, C. Rorres (2000): "Elementary Linear Algebra: Applications Version", John
Wiley&Sons.
[7] N. Biggs (1974, 1993): "Algebraic graph theory", Cambridge University Press.
[8] F. Cedó (1997): “Àlgebra bàsica” Universitat Autònoma de Barcelona
ENLACES ___________________________________
[W1] http://www.planetmath.org/encyclopedia/LinearAlgebra.html
Página web de la enciclopedia de PlanetMath.org sobre álgebra lineal. En inglés.
[W2] http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html
Página web de la "Sociedad Andaluza de Educación Matemática THALES" donde se explica, con gran cantidad de ejemplos aclaratorios, diferentes conceptos todos ellos relacionados con las matrices y otros temas de álgebra lineal. En español.
[W3] http://www.lafacu.com/apuntes/matematica/matrices/default.htm
El sitio de los estudiantes y docentes universitarios. Recopilación de apuntes, con ejemplos, sobre matrices. En español.
[W4] http://rinconprog.metropoliglobal.com/CursosProg/ProgGraf/MatGraf/index.php?cap=
Página web de "El Rincón del Programador". En la sección de "Programación Gráfica" aparecen los "Fundamentos matemáticos de la Informática Gráfica" donde se explican
