Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones: Una Guía para Estudiantes de Ingeniería, Diapositivas de Álgebra Lineal

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COMPLEMENTO DE MATEMÁTICA – ING. INDUSTRIAL

COMPLEMENTO

MATEMÁTICO

UNIDAD 4: MATRICES,DETERMINANTES Y

SISTEMAS DE ECUACIONES

Semana 9: Matrices

MATRICES

1. Motivación
   2. Definición
      4. Tipos de matrices
         6. Relaciones entre Matrices
2. Matriz cuadrada M. Nula M. Fila M. Columna M. Cuadrada M. Rectangula r M.T. Superior M. T inferior M. Diagonal M. Identidad
3. Operaciones M. Transpuesta M. Opuesta M. Simétrica M. Antisimét. (^) Adición Sustracción Multiplicación Potenciación
4. Orden de una matriz

Diámetro de fierro Mes Fierro 1” Fierro 1/2“ Fierro 1/4 “ Fierro 1/8” 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍𝟐 Agosto 800 100 80 00 980 Setiembre 500 220 400 150 1270 Octubre 200 380 250 300 1130 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍𝟏 1500 700 730 450 OBRA: SALAVERRY Trujillo 2020 Cantidad usada de fierro unidades: unidad de varillas 𝑓. 1" 𝑓. 1 /2" 𝑓. 1 /4" 𝑓. 1 /8" 𝐴 = (^800 100 80 ) (^500 220 400 ) (^200 380 250 ) 𝟗𝟖𝟎 𝟏𝟐𝟕𝟎 𝟏𝟏𝟑𝟎 𝑎𝑔𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑒𝑝𝑡𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑜𝑐𝑡𝑢𝑏𝑟𝑒 𝟏𝟓𝟎𝟎 (^) 𝟕𝟎𝟎 𝟕𝟑𝟎 𝟒𝟓𝟎 OBRA: VIRÚ Trujillo 2020 Cantidad usada de fierro unidades: unidad de varillas 𝑓. 1" 𝑓.^1 /2"^ 𝑓.^1 /4"^ 𝑓.^1 /8" 𝐵 = (^900 70 00 ) (^650 250 200 ) (^300 420 150 ) 𝟗𝟕𝟎 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟏𝟎 𝑎𝑔𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑒𝑝𝑡𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑜𝑐𝑡𝑢𝑏𝑟𝑒 𝟏𝟖𝟓𝟎 (^) 𝟕𝟒𝟎 𝟑𝟓𝟎 𝟑𝟑𝟎 ¿Cuál será la suma total de fierro usado en las dos obras? EJEMPLO DEL USO DE MATRICES Registro de la cantidad usada de fierro en la construcción de una obra

ACTIVIDADES DE ENTRETENIMIENTOS Universidad Escuchar música Redes sociales WhatsApp Video juego UPAO 20% 34% 29% 17% UCV 25% 32% 25% 18% UPN 18% 33% 28% 21% UNT 30% 31% 22% 17% ¿Cómo se entretienen los jóvenes?

3. ORDEN DE UNA MATRIZ

Una matriz A que tiene 𝑚 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 y 𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 diremos que esta matriz es de orden 𝒎𝐱𝒏 (léase m por n). Se denota por

𝐴mxn

El segundo número Indica el número de columnas El primer número indica el número de filas Ejemplos 𝐴2x3 =

es una matriz de orden 2x3, es decir 2 filas y 3 columnas 𝐵2𝑋2 =

es una matriz de orden 2x2, es decir 2 filas y 2 columnas

Una matriz 𝑨 de orden 𝒎𝐱𝒏 se puede escribir en forma general desarrollada por

3.1 Forma general de una matriz de orden mxn

𝑨 = 𝑎 11 𝑎 12 …^ 𝑎 1 𝑗 … 𝑎 1 𝑛 𝑎 21 𝑎 22 ⋯^ 𝑎2𝑗 … 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎𝑖 1 ⋮ 𝑎𝑚 1 ⋮ 𝑎𝑖 ⋮ 𝑎𝑚 2 ⋯ … ⋮ 𝑎𝑖𝑗 ⋮ 𝑎𝑚𝑗 ⋮ … 𝑎𝑖𝑛 ⋮ 𝑎𝑚𝑛 ← ← ⋮ ← ⋮ ← 𝑚 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 ↑ ↑ … (^) ↑ … ↑ 𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 Los 𝒂𝟏𝟏 , 𝒂𝟏𝟐 , … , 𝒂𝟏𝒏 , 𝒂𝟐𝟏 , 𝒂𝟐𝟐 , … 𝒂𝟐𝒏 , …, 𝒂𝒊𝟏 , … , 𝒂𝒊𝒏 , … , 𝒂𝒎𝟏, … , 𝒂𝒎𝒏 𝒔𝒐𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛. El conjunto: 𝒂𝒊𝟏 , 𝒂𝒊𝟐, … , 𝒂𝒊𝒏 𝒔𝒆 𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒊 − é𝒔𝒊𝒎𝒂 𝒇𝒊𝒍𝒂. El conjunto: 𝒂𝟏𝒋 , 𝒂𝟐𝒋, … , 𝒂𝒏𝒋 𝒔𝒆 𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒋 − é𝒔𝒊𝒎𝒂 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂. Cuando no exista dudas acerca del orden de una matriz la representamos simplemente por una letra del abecedario.

TIPO DE MATRICES EJEMPLO

• Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.
• Se llama matriz fila a la que sólo tiene una fila, es decir su orden es ( 1 x 𝑛), 𝑛 ≥ 2.
• Se llama matriz columna a la que sólo consta de una columna, es decir su orden será (𝑚 x 1 ), 𝑚 ≥ 2.
• Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su orden es (𝑛 x 𝑛).

4. TIPOS DE MATRICES

TIPO DE MATRICES EJEMPLO

• Una matriz es rectangular si no es cuadrada, es decir, tiene diferente número de filas que de columnas. CONTINUACIÓN

Si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal sólo números unos, se denomina matriz unidad o identidad. Se suelen representar por 𝐼𝑛.

6. RELACIONES ENTRE MATRICES

5.1 Matriz Transpuesta Dada una matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛 , se llama matriz traspuesta de 𝑨 , a la matriz que resulta de intercambiar las filas por las columnas de 𝑨 y se denota por 𝑨 𝒕 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛𝑥𝑚 . Ejemplo 𝑺𝒊 𝑨 =

𝒔𝒖 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒔𝒆𝒓á 𝑨 𝒕 =

𝟒𝐱𝟐 Propiedades

1. 𝐴 𝑡 𝑡 = 𝐴, es decir la transpuesta de la transpuesta es la misma matriz inicial.

𝑡 = 𝐴 𝑡

• 𝐵 𝑡

𝑡 = 𝑘𝐵 𝑡 , 𝑘 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟(𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙)

5.4 Matriz Opuesta Dada una matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 mxn se define la matriz opuesta como −𝑨 = −𝑎𝑖𝑗 𝐦𝐱𝐧 𝑺𝒊 𝑨 = 𝟏 −𝟒 𝟑 𝟐 𝟕 −𝟗 (^) 𝟐𝐱𝟑 𝒔𝒖 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒔𝒆𝒓á − 𝑨 = −𝟏 𝟒 −𝟑 −𝟐 −𝟕 𝟗 (^) 𝟐𝐱𝟑

7.1. Adición

La adición de matrices esta definida para matrices del mismo orden, es decir si 𝐀 𝐲 𝐁 son matrices del mismo orden 𝐦𝐱𝐧, la adición, 𝑨 + 𝑩 es otra matriz de orden 𝒎𝐱𝒏 (mismo orden de A y B). En forma simple; para sumar matrices se suman los elementos que se encuentren en la misma posición. Ejemplo:

7. OPERACIONES CON MATRICES

𝑨 = 𝟐 𝟏 𝟑 −𝟒 𝟓 𝟕 (^) 𝟐𝒙𝟑 , B = 𝟖 −𝟗 𝟎 𝟏𝟎 𝟔 𝟏𝟏 (^) 𝟐𝒙𝟑 𝑨 + 𝑩 = 𝟐 𝟏 𝟑 −𝟒 𝟓 𝟕 (^) 2𝑥

𝟖 −𝟗 𝟎 𝟏𝟎 𝟔 𝟏𝟏 (^) 2𝑥 = 𝟐 + 𝟖 𝟏 − 𝟗 𝟑 + 𝟎 −𝟒 + 𝟏𝟎 𝟓 + 𝟔 𝟕 + 𝟏𝟏 (^) 2𝑥 = 𝟏𝟎 −𝟖 𝟑 𝟔 𝟏𝟏 𝟏𝟖 (^) 𝟐𝒙𝟑

7.2. Sustracción

La sustracción de matrices esta definida para matrices del mismo orden, es decir si 𝐀 𝐲 𝐁 son matrices del mismo orden 𝐦𝐱𝐧, la sustracción, 𝑨 − 𝑩 es otra matriz de orden 𝒎𝐱𝒏 (mismo orden de A y B). En forma simple; para la sustracción de matrices se restan los elementos que se encuentren en la misma posición. Ejemplo: 𝐴 =

, B =

𝐴 − 𝐵 = 𝟔 𝟏 𝟓 𝟔 𝟑 𝟐 (^3) 𝑥 2 − 𝟒 𝟕 𝟗 𝟏𝟎 −𝟖 𝟏𝟏 (^3) 𝑥 2 =

7.3. Multiplicación i) Multiplicación de un escalar (n° real) por una matriz. Sea la matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛

𝑚𝑥𝑛 Observamos que cada elemento de la matriz queda multiplicada por 𝑘. Ejemplo: 𝑆𝑒𝑎 𝑘 = 3 𝑦 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴 =