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Asignatura: Matemáticas Empresariales II, Profesor: maria jesus, Carrera: Derecho + Administración y Dirección de Empresas, Universidad: UCM
Tipo: Apuntes
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Definición de Matriz: Se denomina matriz de orden n x m a un conjunto de elementos dispuestos en n filas y m columnas y se simboliza
11 12 1 21 22 2
1 2
n n n m ij n m n n nm
a a a a a a A a a a a
⋅ ⋅
1 ⋅ n
m ·
Matrices triangulares son las que tienen nulos los elementos que están situados a uno de los lados de la diagonal principal.
11 12 1 22 2
n n
nn
a a a a a
a
11 21 22
1 2
n n ... nn
a a a
a a a
k ⋅ A = ( k a ⋅ i j )
An m (^) ⋅ + Bn m (^) ⋅ = Cn m (^) ⋅ / ci j = ai j + bi j
1
m
Toda matriz cuadrada lleva asociado un escalar que se denomina determinante de la matriz y se simboliza o . Para las matrices de orden 2, el cálculo del determinante se realiza de la siguiente forma
det( A )
11 12 2 2 11 22 12 21 21 22 x
a a A a a a a a a
El determinante de una matriz de orden 3, se calcula del siguiente modo
11 12 13 3 3 21 22 23 31 32 33
x
a a a A a a a a a a
13 22 31 11 23 32 12 21 33
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
Calculamos ahora el determinante de la matriz B
Dado un determinante se puede hallar otro con el mismo valor siempre que todos los elementos de una fila o columna sean ceros excepto uno de ellos
Calcularemos el determinante de una matriz de orden 4 directamente con un ejercicio.
1 2 1 1 2 1 2 1 1 0 3 2 1 2 1 4
Para conseguir un cero en el primer elemento de la 3ª columna restamos a la 1ª columna la 3ª columna y tenemos que:
Y por último para conseguir un cero en la 4 columna, a la 1ª columna le sumamos la 4ª.
1 0 0 1 2 3 0 1 1 2 4 2 1 0 2 4
A
− = − − −
El cálculo del determinante se realiza de la siguiente forma
Para el determinante de nuestro ejemplo
11 12 13 14 11 22 23 24 21 22 23 24 21 22 23 24 11 32 33 34 31 32 33 34 31 32 33 34 42 43 44 41 42 43 44 41 42 43 44
( 1) i^ j
a a a a a b b b a a a a a b b b a b b b a a a a a b b b b b b a a a a a b b b
1 1
El rango de una matriz es el máximo número de vectores fila o columna linealmente independientes. Lo representaremos como.
Ejemplo Calcular el rango de la matriz
En primer lugar calculamos su determinante, puesto que si su valor es distinto de cero, la matriz tendría rango 3.
rg A ( ) = r
Puesto que el determinante vale cero, tomamos un menor de orden inferior, en este caso de orden 2 y volvemos a calcular el determinante
Tomamos por ejemplo el menor
y calculamos su determinante
Como es distinto de cero, diremos que la matriz tiene rango 2
rg A ( ) = 2
Ejemplo
Calcular la inversa de la matriz
1º Calculamos el determinante de la matriz
Como es distinto de cero la podemos invertir.
2º calculamos la transpuesta
3º calculamos la matriz adjunta de la transpuesta
A^ t
adj A^ t
