¡Descarga Matrices y determinantes y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Cap´ıtulo 6
MATRICES Y DETERMINANTES
6.1. Introducci´on
Las matrices y los determinantes son herramientas del ´algebra que facilitan el ordenamiento de
datos, as´ı como su manejo.
Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados b´asicamente en el siglo XIX
por matem´aticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irland´es William Hamilton.
Las matrices se encuentran en aquellos ´ambitos en los que se trabaja con datos regularmente
ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales , Econ´omicas y Biol´ogicas.
6.2. Matrices. Definici´on yprimeros ejemplos
Una matriz es una tabla rectangular de n´umeros reales dispuestos en filas y columnas del modo:
A =
a 11 a 12 a 13... a 1 n
a 21 a 22 a 23... a 2 n
. . .
am 1 am 2 am 3... amn
Columnas de la matriz A
Filas de la matriz A
Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la matriz lleva dos sub´ındices. El
primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna.
As´ı el elemento a 23 est´a en la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representar´an con letras
may´usculas.
Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:
A =
B =
C =
1 5
A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tama˜no es 2 x 2.¿Qu´e elemento es a 21 ?.
B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tama˜no es 2 x 3.¿Qu´e elemento es b 23 ?.
C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tama˜no es 4 x 3.¿Qu´e elemento es c 42 ?.
En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tama˜no o dimensi´on es m
x n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nº de filas y en segundo lugar el de columnas.
6.3. Tipos de matrices
- Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.
Por ejemplo,
A =
es una matriz nula de tama˜no 2x5.
- Se llama matriz fila a la que s´olo tiene una fila, es decir su dimensi´on es 1x n.
Por ejemplo, ( 1 0 − 4 9
es una matriz fila de tama˜no 1 x 4.
- Se llama matriz columna a la que s´olo consta de una columna, es decir su dimensi´on ser´a m x
1, como por ejemplo:
C =
es una matriz columna de tama˜no 3 x 1.
- Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo n´umero de filas que de columnas, es decir su
dimensi´on es n x n. La matriz ( 2 13 4 ) del primer ejemplo anterior es cuadrada de tama˜no 2 x 2 o
simplemente de orden 2.
Otro ejemplo de matriz cuadrada es:
D =
de orden 3.
Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos
a 11 , a 22 , a 33 ,... , ann, siendo la matriz:
A =
a 11 a 12 a 13... a 1 n
a 21 a 22 a 23... a 2 n
. ..
an 1 an 2 an 3... ann
En la matriz D del ejemplo anterior, su diagonal principal estar´ıa formada por 1, 5, 0.
Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal. Es decir, Traza (A)=a 11 +
a 22 + a 33 +... + ann , y en el caso de D, Traza (D)= 1+5+0 = 6.
La diagonal secundaria es la formada por los elementos a 1 n, a 2 ,n− 1 , a 3 ,n− 2 ,... , an 1.
En la matriz D estar´ıa formada por 3, 5, -3.
Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares.
Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son
nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.
Son ejemplos de estas matrices:
E =
Triangular inferior
F =
1 3 0 9 − 5
0 0 π
Triangular superior
En Matem´aticas, un grafo es una colecci´on cualquiera de puntos conectados por lineas.
Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar:
- Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, lineas que unan un punto consigo
mismo, ni lineas paralelas, es decir, lineas que conectan el mismo par de puntos.
- Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada linea, mediante una flecha.
Estos tipos de grafo pueden verse en la figura:
Figura 6.1: Grafo, Grafo simple y Grafo dirigido.
Relacionadas con los grafos se pueden definir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nos
fijaremos en la llamada matriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente,
de tal forma que:
- un 1 en el lugar (i,j) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la fila i hasta el punto de la
columna j mediante una linea que los una directamente.
- un 0 en el lugar (i,j) expresa la imposibilidad de ir del primer punto al segundo mediante una
linea que los una directamente.
La matriz de adyacencia del grafo dirigido de la figura anterior ser´a:
A
B
C
D
A B C D
Ejercicio
Escribe las correspondientes matrices de adyacencia de los grafos:
Dibuja los grafos dirigidos que correspondan a las matrices de adyacencia:
A
B
C
A B C
A
B
C
D
A B C D
6.5. Operaciones con matrices
6.5.1. Suma ydiferencia
Dadas dos matrices A y B podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla.
Para sumar o restar dos matrices del mismo tama˜no, se suman o restan los elementos que se encuentren
en la misma posici´on, resultando otra matriz de igual tama˜no.
Por ejemplo: ( 2 1 3
− 4 2 1
2x
2x
2x
Si las matrices tienen diferente tama˜no, no se pueden sumar o restar entre s´ı.
Propiedades de la suma (y diferencia) de matrices:
a) Conmutativa: A + B = B + A
b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
c) Elemento neutro: La matriz nula del tama˜no correspondiente.
d) Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A.
Ejemplo:
Si
A =
3x
=⇒ −A =
3x
porque:
3x
3x
3x
Ejercicios:
- Las exportaciones, en millones de euros, de 3 pa´ıses A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los a˜nos
2000 y 2001 vienen dadas por las matrices:
A 2000 =
A
B
C
X Y Z
′ 7 0
′ 5
14
′ 5 10 1
′ 2
20
′ 9 3
′ 2 2
′ 3
A
A
B
C
X Y Z
′ 3 7 1
15
′ 7 11
′ 1 3
′ 2
21 0
′ 2 4
′ 3
Calcula y expresa en forma de matriz el total de exportaciones para el conjunto de los dos a˜nos.
¿Cu´antos millones ha exportado el pa´ıs B al Z en total?
Calcula el incremento de las exportaciones del a˜no 2000 al 2001 con los datos del ejemplo anterior.
- Calcula x, y, z en la suma:
x − y − 1 2
1 y −x
0 z 2
y 0 z
−z 2 3
− 2 3 x
- Calcula a, b, c para que se cumpla la igualdad:
3 − a b − 2
4 −c + 1 6
2 a + b 4
1 − c 2 0
− 1 a 2
2 0 6
es sim´etrica (compru´ebalo).
En una matriz sim´etrica, los elementos son sim´etricos respecto a la diagonal principal.
Ejercicio: ¿Puede ser sim´etrica una matriz que no sea cuadrada?¿Por qu´e?.
Matriz antisim´etrica, es aquella para la que se cumple que A
t = −A.
Por ejemplo:
B =
es antisim´etrica (comprueba).
En una matriz antisim´etrica, los elementos de la diagonal principal son siempre nulos (¿por qu´e?),
y los restantes son opuestos respecto a dicha diagonal.
Ejercicios:
- Dadas las matrices A =
(^) y B =
(^) calcula 3At^ − Bt.
- Obtener las matrices X e Y que verifiquen los sistemas:
a)
2 X − 3 Y =
X − Y =
) (^) b)
X + Y =
X − Y =
) (^) c)
2 X + Y =
X + 2Y =
6.5.4. Producto de matrices
Hay que dejar claro ya desde el principio que no todas las matrices pueden multiplicarse. Dos
matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condici´on:
“Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, A·B , es condici´on indispensable que el n´umero
de columnas de A sea igual al n´umero de filas de B”
Si no se cumple esta condici´on, el producto A·B no puede realizarse, de modo que esta es una
condici´on que debemos comprobar previamente a la propia multiplicaci´on.
Una vez comprobado que el producto A·B se puede realizar, si A es una matriz m x n y B es una
matriz n x p (observ emos que el nº de columnas de A = n = nº de filas de B), entonces el producto
A·B da como resultado una matriz C de tama˜no n x p del siguiente modo:
“El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C=A·B, se obtiene multiplicando
los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados”
Ve´amoslo mediante un ejemplo:
Para multiplicar las matrices:
A =
2x
y B =
4x
primero comprobamos que se puede realizar el producto A·B, pues el nº de columnas de A es 4 y el
nº de filas de B tambi´en es 4, y el resultado, seg´un lo dicho ser´a una matriz de tama˜no 2 x 3, tiene 2
filas y 3 columnas:
2x
4x
2x
S´olo nos falta completar los elementos de la matriz producto. Para ello, seguimos la regla anterior:
El elemento de la fila 1 y columna 1 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1
de A por la columna 1 de B y sumar, es decir:
El elemento de la fila 1 y columna 2 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de
A y la columna 2 de B y sumar:
El elemento de la fila 1 y columna 3 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de
A y la columna 3 de B y sumar:
As´ı sucesivamente se obtienen (comprueba):
2x
Ejercicios:
- Para las matrices A y B anteriores, calcula B·A
- Si A =
, B =
, calcula si es posible A·B y B·A. ¿Coinciden?.
- Lo mismo si A =
, B =
- Calcula todos los productos posibles entre las matrices:
A =
B =
C =
Adem´as, calcula A
2 y A
3 .
- Para las matrices
A =
B =
C =
D =
calcula:
A + B, 3 A − 4 B, A · B, A · D, B · C, C · D, A
t · C, D
t · A
t , B
t · A, D
t · D, D · D
t
Si tenemos un n´umero real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para
el producto, es decir un n´umero real x tal que 2·x = 1, el producto de 2 por x sea igual al elemento
neutro, el 1.
Evidentemente, en el caso de los n´umeros reales es bien f´acil despejar x para obtener, en nuestro
caso, que x =
, es decir, el inverso de un n´umero real es otro n´umero que multiplicado por ´el da el
elemento neutro, el 1.
Todo n´umero real, salvo el 0, tiene inverso.
Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n,
cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices,tal que
A · X = In
es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In.
Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los n´umeros reales:
- No podemos “despejar” la matriz X del modo X =
In
A
, porque no hemos definido la divisi´on de
matrices.
- No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analog´ıa
con los n´umeros).
Definamos, en primer lugar, el t´ermino de matriz inversa:
Dada una matriz cuadrada de orden n , A, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es
no singular o que es regular ), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A
y representada por A
− 1 y tal que:
A · A
− 1 = In
y
A
− 1 · A = In
Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.
Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es ´unica (s´olo hay una). Para calcular dicha matriz
inversa, podemos utilizar dos v´ıas:
6.6.1. M´etodo directo:
Consiste en determinar A
− 1 planteando un sistema de ecuaciones, es decir, si por ejemplo queremos
determinar la inversa de la matriz A =
, lo que estoy buscando es otra matriz de igual tama˜no
(orden 2) tal que A · A
− 1 = I 2 y A
− 1 · A = I 2 , es decir, si A
− 1
x y
z t
, se tiene que cumplir que :
A · A
− 1 = I 2 =⇒
x y
z t
x + 2z y + 2t
−x + z −y + t
x + 2z = 1
y + 2t = 0
−x + z = 0
−y + t = 1
Es decir, hemos de resolver un sistema de 4 ecuaciones con 4 inc´ognitas, aunque en realidad son 2
sistemas de dos ing´onitas cada uno (uno con x y z y otro con y y t).
Resolviendo el sistema se obtiene que
x =
, y =
, z =
, t =
por lo que la matriz inversa es:
A
− 1
1 3
− 2 3 1 3
1 3
Se puede comprobar que tambi´en se cumple que A
− 1 · A = I 2 , luego A es invertible, tiene inversa. Si
el sistema no tiene soluci´on, la matriz no tiene inversa.
Por ejemplo, en el caso en que A =
, del mismo modo :
A · A
− 1 = I 2 =⇒
x y
z t
x + z y + t
2 x + 2z 2 y + 2t
x + z = 1
y + t = 0
2 x + 2z = 0
2 y + 2t = 1
Y por ejemplo de 2x+2z=0 se obtiene x = -z, si se sustituye en la primera ecuaci´on es -z+z=1, es
decir 0 = 1 (imposible). El sistema no tiene soluci´on.
Por tanto A no es invertible, es singular.
Este m´etodo directo s´olo se suele utilizar para matrices cuadradas de tama˜no 2, puesto que para
las de tama˜no 3 obtenemos un sistemas de ¡9 ecuaciones con 9 inc´ognitas! que realmente es dif´ıcil de
resolver.
6.6.2. M´etodo de Gauss-Jordan:
Consiste en hacer transformaciones elementales en las filas de la matriz para llegar a obtener la
matriz identidad. Realizando estas mismas transformaciones con la matriz identidad llegamos a la
matriz A
− 1 .
Se llama transformaci´on elemental en una matriz a:
T1) Multiplicar o dividir una fila por un n´umero real distinto de cero.
T2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un n´umero real no nulo.
T3) Intercambiar el lugar de dos filas entre s´ı.
Veamos como se realiza el m´etodo de Gauss-Jordan, realiz´andolo a la vez con la matriz
i) Consideramos la matriz formada por A y la matriz identidad correspondiente. En nuestro caso:
(A|I 2 ) =
ii) Se hace la matriz triangular superior (es decir, hacemos ceros por debajo de la diagonal principal)
usando transformaciones elementales en filas.
La mejor forma de realizar esto es hacer cero los elementos por debajo de la diagonal en la primera
columna usando la fila 1. Luego, hacer cero los elementos por debajo de la diagonal en la segunda
columna usando la fila 2, y as´ı sucesivamente.
En nuestro caso, basta sumar la fila 2 con la fila 1, y se obtiene:
(A|I 2 ) =
F 2 +F 1 −−−−→
iii) Una vez hecha la matriz triangular superior, se hace la matriz triangular inferior, haciendo
ceros a los elementos por encima de la diagonal. El proceso es parecido al anterior:
- Calcular por el m´etodo de Gauss-Jordan la inversa de las matrices:
A =
B =
- Dada la matriz diagonal D =
(^) calcula su inversa. ¿C´omo calcular´ıas de forma
r´apida la inversa de una matriz diagonal cualquiera?.
6.7. Rango de una matriz
Un concepto muy importante relacionado con las matrices es el de rango. El concepto de ran-
go se encuentra ligado al de “independencia lineal” de filas o columnas de una matriz, pero no se
introducir´a de esta manera porque se requieren conceptos que no conocemos.
Baste saber que se define el rango de una matriz como el n´umero m´aximo de filas o columnas
linealmente independientes.
Sin embargo, el c´alculo del rango de una matriz lo abordaremos desde otra perspectiva, utilizando
el m´etodo de Gauss.
Supongamos que tenemos una matriz cualquiera A a la que aplicamos el m´etodo de Gauss con el
fin de simplificarla lo m´as posible (es decir, consiguiendo que tenga el mayor n´umero de ceros posible),
realizando operaciones elementales en filas.
Llamaremos rango de la matriz A y lo representaremos por Rg(A) al n´umero de filas no nulas de
la matriz tras aplicarle el m´etodo de Gauss.
Ejemplo: Calcular el rango de las siguientes matrices:
A =
B =
C =
D =
a)
F 2 − 2 ·F 1 −−−−−→
, Rg(A)=1 ,s´olo una fila distinta de cero.
b)
F 2 F 1 −−−−→
, Rg(B)=2 hay 2 filas no nulas.
c)
F 2 − 2 ·F 1 −−−−−→
F 3 +F 1 −−−−→
F 3 +2·F 2 −−−−−→
Rg(C)=2 hay 2 filas no nulas.
d)
2 ·F 2 +F 1 −−−−−→
, Rg(D)=1, s´olo una fila no nula.
Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto que el rango de cualquier matriz siempre es menor o
igual que el n´umero de filas de la matriz.
De hecho se verifica que el rango de cualquier matriz siempre es menor o igual que su n´umero de
filas y de columnas, pues el proceso para hacer el m´etodo de Gauss se puede hacer indistintamente
mediante operaciones elementales en filas o en columnas.
Esto permite, antes de calcular el rango de una matriz, saber entre qu´e valores va a estar ese rango.
Por ejemplo, en el caso c) del ejemplo, como la matriz es 3x3 , el rango s´olo puede ser 0, 1, 2 ´o 3,
no hay otras posibilidades.
En el caso del apartado d), como la matriz es 2 x 3, el rango s´olo puede ser 0,1 ´o 2. (De hecho,
podemos reducir esto algo m´as , pues una matriz s´olo tiene rango cero si es la matriz nula).Resumiendo:
Propiedad: Si A es una matriz de tama˜no m x n no nula se cumple que:
1 ≤ Rg(A) ≤ min{m, n}
Ejemplo: Calcular en funci´on de k el rango de la matriz:
A =
3 3 k
Aplicando Gauss,
A =
3 3 k
F 2 − 3 ·F 1 −−−−−→
0 0 k − 6
Ahora es ev idente que si k-6=0, la ´ultima fila es nula. Por tanto, si k=6, la ´ultima fila es nula y el
rango de A es 1, Rg(A)=1, mientras que si k-6 es distinto de cero, es decir si k es distinto de 6, hay 2
filas no nulas y el rango de A es 2, Rg(A)=2. Resumiendo:
Si k = 6, entonces Rg(A)=
Si k=6, entonces Rg(A)=
La siguiente propiedad permite relacionar el concepto de rango con el de matriz inversa visto
anteriormente:
Propiedad:
Una matriz cuadrada A tiene inversa ⇐⇒ Rg(A) es m´aximo.
Ejercicios:
- Calcula el rango de A seg´un los valores de k: A =
5 − 1 k
.¿Para qu´e valores de k tiene A
inversa?.
- Calcula el rango de las matrices:
A =
B =
C =
D =
6.8. Determinantes
Introduciremos a continuaci´on el concepto de determinante asociado a una matriz cuadrada. Este
concepto permite simplificar operaciones matriciales tales como el c´alculo del rango o de la matriz
inversa.
Definici´on:
Si es una matriz 2 x 2 se define el determinante de la matriz A, y se expresa como det(A) o bien
|A|, como el n´umero:
det(A) = |A| =
a 11 a 12
a 21 a 22
∣ =^ a^11 ·^ a^22 −^ a^12 ·^ a^21
Ejemplos: El c´alculo de los determinantes de orden 2 es bien sencillo, por ejemplo:
del producto de los elementos de una linea cualquiera de la matriz (fila o columna) elegida, por sus
correpondientes adjuntos.
Se puede demostrar, aunque dicha demostraci´on excede los contenidos del curso, que el valor del
determinante no depende de la fila o columna elegida para calcularlo.
Ejemplo: Para la matriz A =
(^) ,aplicando la definici´on, si elegimos la fila tercera queda:
det(A) = 3 ·
∣ + 0^ ·
Si hubi´esemos elegido otra fila o columna, por ejemplo la columna 2, quedar´ıa:
det(A) = 4 ·
Ejercicio: Calcula, desarrollando por la fila que t´u elijas los determinantes de las matrices:
6.9. La regla de Sarrus
La definici´on de determinante es bastante engorrosa y se hace mucho m´as pesada a medida que
aumenta el orden de la matriz A.
En el caso de las matrices cuadradas de orden 3, esta regla facilita el c´alculo de dichos determi-
nantes.
Si la matriz es A =
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
, entonces el determinante de A se calcula mediante la resta
de dos expresiones obtenidas del siguiente modo:
Llamaremos sumandos positivos a los obtenidos al multiplicar:
- Los elementos de la diagonal principal,a 11 · a 22 · a 33.
- Los elementos de la linea paralela superior a la diagonal principal por el elemento aislado de la
esquina inferior izquierda:a 12 · a 23 · a 31.
- Los elementos de la linea paralela inferior a la diagonal principal por el elemento aislado de la
esquina superior derecha:a 21 · a 32 · a 13.
Gr´aficamente:
Figura 6.2: Sumandos positivos
Llamaremos sumandos negativos a los obtenidos al multiplicar:
- Los elementos de la diagonal secundaria,a 13 · a 22 · a 31.
- Los elementos de la linea paralela superior a la diagonal secundaria por el elemento aislado de la
esquina inferior derecha: a 12 · a 21 · a 33.
- Los elementos de la linea paralela inferior a la diagonal secundaria por el elemento aislado de la
esquina superior izquierda: a 32 · a 23 · a 11.
Gr´aficamente:
Figura 6.3: Sumandos negativos
Y entonces det (A)= Sumandos positivos - Sumandos negativos.
Por ejemplo, en el caso de la matriz anterior:
A =
, se tiene que aplicando la regla de Sarrus:
det(A)=(-2)· 7 ·2+4· 3 ·(-3)+6· 5 ·0-(3· 7 ·5+0·(-2)·(-3)+6· 4 ·2)=-28-36-105-48=-217.
Ejercicio: Comprobar, mediante la regla de Sarrus, los determinantes de orden 3 obtenidos en el
ejercicio anterior.
6.10. Propiedades de los determinantes
Algunas propiedades importantes que tienen los determinantes, y que se enuncian sin demostraci´on,
son:
- Si una matriz tiene una linea (fila o columna) de ceros, el determinante vale cero.
Esta propiedad es evidente, puesto que por definici´on de determinante, basta elegir dicha linea
para desarrollar y el determinante ser´a 0.
Como hemos dicho, hemos de tener especial cuidado al aplicar esta regla con determinantes, puesto
que no podemos hacer las mismas operaciones que con las matrices, lo que puede confundir.
Por ejemplo, si queremos calcular el determinante:
C =
mediante la regla de Sarrus es:
det(C)=5+16+0-(12+2+0)=21-14=7.
Si hici´esemos ceros en la primera columna, y desarroll´asemos nos deber´ıa dar lo mismo. Ahora
bien,podemos hacer cero el 4 de la primera columna mediante:
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 2 3
0 1 2
4 1 5
F 3 − 4 ·F 1
∣ =^ −7 + 14 = 7.
lo que es correcto. Sin embargo, si queremos hacer cero el 1 de la primera columna ser´ıa un error
hacer: (^) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
4 ·F 1 −F 3 −→
no obtenemos lo mismo, porque hemos multiplicado la fila sustituida por un n´umero y eso altera el
valor del determinante. Luego la fila a sustituir conviene no multiplicarla, como en el primer ejemplo,
puesto que si no nos damos cuenta, podemos variar el valor del determinante.
6.11. Relaci´on entre la inversa ylos determinantes
Hay una estrecha relaci´on entre la inversa de una matriz cuadrada y su determinante. De hecho se
verifica que:
Propiedad: Una matriz cuadrada A tiene inversa ⇐⇒ |A| = 0.
Adem´as, en este caso, la matriz inversa de A, A
− 1 se calcula de la manera:
A
− 1
(Adj(A)
t
|A|
donde Adj(A) denota la matriz adjunta de A, es decir, aquella que se obtiene de sustituir cada elemento
de A por su adjunto.
Ejemplo: Calcular, si es posible, la inversa de la matriz A =
En primer lugar,|A| =
= 0 + 0 + 0 − (1 − 3 + 0) = 2 y por tanto A tiene inversa.
Calculando Adj(A), se obtiene:
Adj(A) =
Por tanto,
(Adj(A)
t ) =
Y entonces, se obtiene:
A
− 1
3 2
− 1 2
1 2 3 2
− 1 2
3 2 1 2
− 1 2
1 2
Ejercicio: Calcular la inversa anterior por el m´etodo de Gauss.
6.12. Aplicaci´on de los determinantes al c´alculo del rango
Los determinantes tambi´en proporcionan una forma sencilla de calcular el rango de una matriz
cualquiera.
Un definici´on alternativa de rango de una matriz es:
El Rango de una matriz A es el tama˜no del mayor menor complementario no nulo que est´e incluido
dentro de la matriz.
Aplicando este criterio, calculemos el rango de las matrices siguientes:
A =
B =
C =
D =
a) S´olo hay un menor de orden 2, que es:
Como es nulo, el rango de la matriz NO es 2. Menores de orden 1 hay 4, por ejemplo | 1 | = 1, que es
no nulo,luego el rango de la matriz es Rg(A)=1 (el tama˜no de dicho menor complementario).
b) S´olo hay un menor de orden 2, que es:
Como no es nulo, el rango de la matriz es Rg(B)=2 (el tama˜no de dicho menor complementario).
c) S´olo hay un menor de orden 3, que es:
Como es nulo, podemos asegurar que el rango NO es 3.
Menores de orden 2 hay 9. Calculando alguno:
resulta que es no nulo, luego el rango es Rg(C)=2 (el tama˜no de dicho menor complementario).
d) El menor m´as grande que podemos formar es de orden 2. Hay 3 de ellos:
