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Definición de matriz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij
dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
Abreviadamente suele expresarse en la forma A =( aij ), con i =1, 2, ..., m, j =1,
2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el
primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento
a 25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto
es de orden 1 x n.
n a a a a 11 12 13 1 Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =
y por tanto es de orden m x 1.
1 31 21 11 a m a a a
Tipos de matrices :
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por
At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de At^ , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc. De la definición se deduce que si A es de orden m x n , entonces At^ es de orden n x m.
Tipos de matrices :
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = A t
, es decir,
si aij = aji " i, j.
Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At , es
decir, si aij = – aji " i, j.
Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0
La matriz
La matriz
es una matriz nula de orden 3
es una matriz nula de orden 2 x 4
Tipos de matrices :
Tipos de matrices :
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la
diagonal principal son todos nulos. Es decir, a ij = 0 " i < j.
Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la
diagonal principal son todos nulos. Es decir, a ij = 0 " j < i. matriz triangular inferior matriz triangular superior
Operaciones con matrices
Trasposición de matrices
Suma y diferencia de matrices
Producto de una matriz por un número
Propiedades simplificativas
Producto de matrices
Matrices inversibles
La suma de dos matrices A=(a ij ), B=( bij ) de la misma dimensión, es otra matriz
S=( sij ) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión. La suma de las matrices A y B se denota por A+B. Ejemplo Suma y diferencia de matrices Operaciones con matrices Sin embargo, no se pueden sumar.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)
4ª. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A,
recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
Suma y diferencia de matrices Operaciones con matrices Propiedades de la suma de matrices 1ª. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad Asociativa 2ª. A + B = B + A (^) Propiedad conmutativa 3ª. A + 0 = A (0 es la matriz nula)^ Matriz Nula
Producto de una matriz por un número Operaciones con matrices Propiedades del producto de una matriz por un escalar . 1ª. k (A + B) = k A + k B Propiedad distributiva 1ª 2ª. (k + h)A = k A + h A (^) Propiedad distributiva 2ª 3ª. k [h A] = (k h) A^ Propiedad asociativa mixta 4ª. 1 · A = A · 1 = A^ Elemento unidad
Propiedades simplificativas Operaciones con matrices Si A + C = B + C " A = B Si k A = k B " A = B si k es distinto de 0 Si k A = h A " h = k si A es distinto de 0
Operaciones con matrices
Producto de matrices Propiedades del producto de matrices A·(B·C) = (A·B)·C (Propiedad asociativa) Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–^. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C El producto de matrices en general no es conmutativo.
Operaciones con matrices
Producto de matrices Consecuencias de las Propiedades Si A · B = 0 no implica que A = 0 ó B = 0 Si A · B = A · C no implica que B = C En general (A+B)^2 " A^2 + B^2 +2AB, ya que A · B " B · A En general (A+B) · (A–B) " A^2 – B^2 , ya que A · B " B · A
Propiedades de la inversión de matrices (A t )
- = (A - ) **_t La matriz inversa, si existe, es única A
·A = A·A
= I (A·B)
= B -1· A
(A
)
= A (kA)
= (1/k) · A
Matrices inversibles_**
Por el método de Gauss-Jordan Usando determinantes Directamente Observación: Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I , pero que B·A " I , en tal
caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la
inversa de A "por la derecha".
Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada:
