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ESPACIOS VECTORIALES REALES
Nociones previas Antes de definir la estructura algebraica de espacio vectorial necesitamos conocer otras estructuras algebraicas, el grupo y el cuerpo.
•^
Un GRUPO es una estructura algebraica formada por un conjunto G de elementos y una operación interna y cerrada
+^
que opera con los elementos del conjunto G y que
cumple las siguientes
propiedades
-^ Asociativa:
(^
G c b a c b a c b a c b a
- Existencia en G de elemento neutro:
.
,
0
0
G a
a
a a^
∈ ∀ = + = +
- Existencia del opuesto de cualquier elemento de G: . 0 ) ( /
) ( ,^
= − + ∈ − ∃ ∈ ∀ a a G a G a
- Si además la operación es conmutativa:
G b a a b b
a^
∈
∀
= +^
,
,^
el grupo se denomina
conmutativo o abeliano.
•^
Un CUERPO es una estructura algebraica formada por un conjunto K de elementos y
dos operaciones internas y cerradas, suma
+^
y producto interno
( )⋅^
que verifican:
(K,+) tiene estructura de grupo. El producto interno verifica las siguientes
propiedades
- Asociativa:
.
, ,
), (
) (^
K c b a c b a c b a c b
a^
∈ ∀ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
- Distributiva respecto de la suma:
.
, ,
,
)
(^
K c b a c a b a c b
a^
∈ ∀ ⋅ + ⋅ = + ⋅
- Existencia en K de elemento neutro:
K
a
a
a
a^
- Existencia del inverso de cualquier elemento de K distinto del neutro de la suma: . 1
/
,) 0 (^
1
1
1
= ⋅ = ⋅ ∈ ∃ ≠ ∈ ∀
−
−
−^
a a a a K a a K a
Ejemplos de espacios vectoriales
{^
} ℜ ∈
= ℜ
b a b a^
, /) , ( 2
es el conjunto de pares de números reales
{^
c b a c b a^
3
es el conjunto de ternas de números reales
{^
}ℜ ∈
= ℜ
n
n
n^
a
a a a
a a^
, , , /) , , , (^
2 1
2 1
K
K
es el conjunto de n-tuplas o n-adas de números reales
Propiedades de los espacios vectoriales •^
El producto de un escalar por el vector nulo es el vector nulo:
.
, 0
0
K k
k^
∈ ∀
= ⋅
-^
El producto del escalar nulo por cualquier vector es el vector nulo:
V
v
v^
•^
.
,
), (
) ( ) (^
V v K k v k v k v
k^
∈ ∀ ∈ ∀ ⋅ − = ⋅ − = − ⋅
•^
Si
⋅^ v
k^
entonces o bien
0
k^
o bien
v^
Ejemplo
2 ℜ
tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo
ℜ
con las dos operaciones
siguientes:
Operación interna:
) , ( ) , ( ) ,
(^
2 1 2 1 2 1 2 1 b b a a b b a
a^
=
Operación externa:
(^
2
1
2 1
a
a
a a^
Dependencia e independencia lineal Los
vectores
{^
} n v
v v^
,^
2 1
K
son
linealmente
independientes
si
ninguno
de
ellos
es
combinación lineal de los demás. Son linealmente dependientes si al menos uno de ellos escombinación lineal de los demás.
Criterio para caracterizar la dependencia e independencia lineal •^
Los vectores
{
} n v
v v^
, , ,^
2 1
K
son linealmente dependientes si existe alguna combinación
lineal de ellos igual al vector nulo con algún escalar distinto de cero:
0
2 2 1 1
= ⋅ + + ⋅ + ⋅
∃^
n n^
v k
v k v k^
K
con algún
n
i
k^ i
K 1
•^
Son linealmente independientes si la única combinación lineal de ellos igual al vector nulo es la que tiene todos los escalares nulos:
Si
0
0
2 1 2 2 1 1
= = = = ⇒ = ⋅ + + ⋅ +
⋅^
n
n n^
k k k v k v k v
k^
L
K
Interpretación geométrica En
2 ℜ
hay infinitos pares de vectores linealmente independientes, basta que no sean
colineales (proporcionales). Tres o más vectores de
2 ℜ
serán necesariamente linealmente
dependientes.
En
3
hay infinitas ternas de vectores linealmente independientes, basta que no sean
coplanares. Cuatro o más vectores de
3 ℜ
serán necesariamente linealmente dependientes.
Sistema generador y base de un espacio vectorial Sistema generador
de un espacio vectorial
V
es un conjunto de vectores
{
} s v
v v^
, , ,^
2 1
K
tales
que todo vector de
V
sea combinación lineal de ellos:
s s^
v k v k v k v V
v^
K 2 2 1 1 ,
Base
de un espacio vectorial
V
es un conjunto de vectores que además de ser sistema
generador son linealmente independientes.
Observaciones a la definición anterior - Base = Sistema de referencia- Puesto que una base es un sistema generador, todo
vector del espacio queda precisado
mediante sus coordenadas en relación a la base, al ser tal especificación única
por ser los
vectores de la base linealmente independientes (teorema de unicidad de las coordenadas).
- La elección de una base equivale entonces a escoger un sistema de referencia con respecto al cual situar los elementos de dicho espacio.
Ejemplo Dado el conjunto de vectores
{
}) (^5) , (^3) ( ), (^1) , (^1) ( ), 2 , 1 (−
a)
Comprobar que es un sistema generador de
2 ℜ
b)
Hallar las coordenadas del vector (0,1) respecto de dichos vectores c)
Demostrar que
{
}) (^1) , 1 ( ), 2 , 1 (−
es base de
2 ℜ
d)
Hallar las coordenadas del vector (0,1) respecto de dicha base
Bases canónicas Todo vector
n
v^
ℜ ∈
puede expresarse de la siguiente forma:
(^
)^
(^
)^
(^
)^
n n
n^
e a e a e a a a a
v^
⋅ + + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + ⋅ + ⋅
=^
K
K
K
K
K
2 2 1 1 2 1
(^1) , , 0 , 0
(^0) , , (^1) , 0
(^0) , , 0 , 1
A los vectores
{
} n e
e e^
,^
2 1
K
se les llama base canónica de
n ℜ
. Demostración:
a)
Son linealmente independientes
2 1 2 2 1 1
⋅^
n
n n^
k k k v e e k e
k^
L
K
b)
Son sistema generador
n n
n n
n
n n
x k x k x k
e k e k e k x x x x x x
=
=
=
⇒ ⋅ + + ⋅ + ⋅ = ⇒
ℜ∈
∀
, ,
,
) , , , ( ) , , , (
2 2 1 1
2 2 1 1 2 1 2 1
L
K
K
K Base canónica de
2 ℜ :^
{^
(^1) , (^0) ( ), 0 , 1 (
Base canónica de
3 ℜ :^
{^
, (^0) , (^0) ( ), (^0) , (^1) , 0 (), (^0) , 0 , (^1) (
Base canónica de
4 ℜ :^
{^
}) 1 , (^0) , (^0) , 0 (), (^0) , 1 , 0 , 0 (), (^0) , 0 , (^1) , (^0) ( ), 0 , (^0) , (^0) , 1 (
Dimensión de un espacio vectorial Si en un espacio vectorial
V
el mayor conjunto de vectores linealmente independientes tiene
n
vectores, entonces la dimensión de
V
es
n
La dimensión de un espacio vectorial coincide con el número de vectores de sus bases:
n n^
= ℜ
= ℜ
= ℜ
= ℜ
)
dim(
4 )
dim(
3 )
dim(
2 )
dim(
2 3 4 M
Ejemplo Calcular el rango de
=
6 2 8 4
7 4 6 3
9 7 4 2
6 5 2 1 A
Llamamos
4 3 2 1
, , ,^
c c c c^
a las cuatro columnas de la matriz.
Si tomamos las dos primeras columnas vemos que todos los determinantes de orden dos que podemos formar son nulos:
0 8 4
6 3 0 8 4
4 2 , 0 6 3
4 2 , 0 8 4
2 1 , 0 6 3
2 1 , 0 4 2
2 1
= = = = = =
Esto significa que
c^^1
y^ c^ son linealmente dependientes, en concreto^2
1 2
2 c c^
⋅ =^
.
Vemos a continuación qué ocurre con
c^^1
y^ c^ :^3
0 7 2
5 1
≠^
, luego ya sabemos que el rango va a ser al menos igual a dos y que los vectores
c^^1
y^
c^ son linealmente^3
independientes.
Terminamos añadiendo
c^^4
:
0 6 2 4
7 4 3
9 7 2 , 0 6 2 4
9 7 2
6 5 1 , 0 7 4 3
9 7 2
6 5 1
=
=
=^
, por lo que el rango no ha subido a tres y
c^ es combinación lineal de^4
c^1 y
c^ ; en^3
concreto,
3 1 4
c c c^
=^
. Entonces,
2 )( = A
rango
.
Aplicaciones prácticas del cálculo del rango
•^
Conocer el máximo número de vectores linealmente independientes que hay en un
conjunto de vectores.
•^
Saber si un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores dados.
Ejercicio Averiguar si son base de
4 ℜ
los siguientes vectores:
{^
Ejercicio En el espacio vectorial
3 ℜ
se consideran los vectores
) 2 , 3 , 0 (), (^6) , (^0) , 1 (), , 6 , (^
−
−^
b a^
. Encontrar la
relación que debe existir entre
a
y
b
para que los tres vectores sean linealmente dependientes.
Cambio de base en un espacio vectorial Sea
V en un espacio vectorial tal que
n V Dim
=) (^
con
{^
} n u
u B^
,..., 1 =^
y^
{^
} n
v v B^
,..., 1
′^ =
. Buscamos la
relación entre las coordenadas de un vector
x
en la base
B y
B ′^ , conociendo las coordenadas
de
i u^
en términos de los
vi
n
n^
V B
V B^
′⊂
→
⊂
{^
} n
u
u u B^
,..., ,^
2 1 =^
{^
} n
v
v v
B^
,..., ,^
2 1 ′=
B n
n n^
x x u x
ux x^
) ,..., (
...
1
1 1
=
=^
'
1
(^11)
) ,..., (
...
B n
n n^
x x v x
vx x^
′ ′ = ′ + + ′ =
=
=
=
=
′^ ′^ B nn
n n
n nn
n
n
B n
n n
a a a v a v a u a a a v a v a u
)
,..., , (
...
)
,..., , (
...
2 1
1 1
1
21 11
1
1 11 1
K K K K K
^
Ecuación matricial de cambio de base:
B
B^
′
→
X P
X
′ BB
′^ =
,^
BB
P
Matriz del cambio de base
B
B^
′ x (^1) ... ′ x n
11 1 a ... a^ n
... ... ...
n nn a^1 ... a
x^1 ... x^ n
⇒^
′=
′=
n nn
n n
n n^ xa
x a x
x a
x a x
...
...
... 1 1
1
1 11 1
43 42 1
B
un
u^^1
^
Propiedades 1.
BB P^
es una matriz regular:′
n
P Rg
BB
= )′ (^
y en consecuencia
∃^
(^1) − ′ BB P
B B P^
′^
(^1) − ′
=^
BB P
BB
BB
BB
P
P
P^
′
′′ ′
′′
⋅
=
BE
EB
BB
P
P
P^
⋅
=^
− ′
′
1
,^
canónica
base
E
B
E
B^
BE
BE^
P
P^
′
→
→
′
