MATEMÁTICAS
(ALGEBRA LINEAL)
Licenciatura en Administración y
Dirección de Empresas
Curso 2005-2006
UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS
Facultad de Ciencias Jurídicas y Sociales
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca tu universidad
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Operaciones con espacios vectoriales, Apuntes de Matemáticas
Documento que presenta conceptos relacionados con operaciones en espacios vectoriales, como el producto de vector por escalar, la suma de vectores, la base canónica y el cálculo de autovalores y autovectores.
Tipo: Apuntes
2012/2013
1 / 45
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Documentos relacionados
Vista previa parcial del texto
¡Descarga Operaciones con espacios vectoriales y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
MATEMÁTICAS
(ALGEBRA LINEAL)
Licenciatura en Administración y
Dirección de Empresas
Curso 2005-
UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS
Facultad de Ciencias Jurídicas y Sociales
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad
TEMA 1.
ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL
1.Definición: Espacio Vectorial.
Sean los conjuntos:
- K, con estructura de cuerpo: A sus elementos los llamaremos escalares y denotaremos con las letras: a, b, a, ß,…
- V, cuyos elementos llamaremos vectores y denotaremos como: u , v , w ... Se dice que V tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo K, escrito {V, K}, si en él se definen las dos operaciones siguientes y se cumplen una serie de propiedades:
ß Ley de composición u operación interna Interna significa que asigna a cada par de vectores de V otro vector de V. La operación se denota (+) y se denomina “suma de vectores”. V × V → V ( u , v )→ u + v El Conjunto V con la operación interna suma, {V, +}, debe verificar las siguientes propiedades: a- Propiedad asociativa: ( u + v )+ w = u +( v + w ) b- Propiedad conmutativa: u + v = v + u c- Elemento neutro: ∃ 0 ∈ V /∀ u ∈ V : 0 + u = u d- Elemento opuesto: ∀ u ∈ V / ∃− u ∈ V / u +(− u )= 0 Nota: las propiedades a, c y d caracterizan la estructura de Grupo, si además se verifica la propiedad “b”, se dice que es Grupo Abeliano.
ß Operación externa Externa significa que asigna a cada elemento de V y otro de K (conjunto con estructura de cuerpo), un vector de V. La operación se denota por “ • ”y la denominaremos “producto (de vector) por escalar” V × K → V ( u , λ )→ λ • u = λ u
Además, los conjuntos V y K con las operaciones de “suma de vectores” y “producto por escalar” deben verificar las siguientes propiedades: a- Distributiva respecto de la suma de vectores: λ ( u + w )= λu + λw b- Distributiva respecto a la suma de escalares: ( λ + μ ) u = λu + μu c- Pseudo asociativa o asociativa mixta: ( λμ ) u = λ ( μu ) d- El elemento neutro del cuerpo K es también el elemento neutro de la operación externa: 1 u = u
5. Definición: Dependencia e independencia lineal de vectores
Sea S = { v 1 , v 2 ,..., vp }∈ V
- S es un conjunto de vectores linealmente independientes si λ 1 v 1 + ... + λp vp = 0 ⇒ λ 1 =...= λp = 0
- S es un conjunto de vectores linealmente dependiente o conjunto ligado ⇔ ∃∗ λi ≠ 0 / λ 1 v 1 +...+ λpv p = 0
ß Observaciones :
- Relación D.L y C.L: { v (^) 1 ,..., vp } son L.I ⇔ Ningún vi es C.L del resto. { v (^) 1 ,..., vp } son L.D ⇔ Algún vi es C.L del resto.
- Cualquier conjunto de vectores que contenga al 0 será L.D. ya que 0 es C.L. de cualquier conjunto de vectores.
- Cualquier conjunto de vectores que contenga dos vectores iguales o proporcionales será L.D.
ß Interpretación geométrica.
- En ℜ^2 para que un par de vectores sea L.I. basta que no sean proporcionales. Tres o más vectores en ℜ^2 serán necesariamente linealmente dependientes.
- (^) En ℜ (^3) para que una terna de vectores sea L.I, basta con que no sean coplanarios. Cuatro o más vectores en ℜ^3 serán necesariamente linealmente dependientes. 6. Teorema de unicidad de coordenadas
Si { v (^) 1 ,... , vp }es un conjunto de vectores L.I. y el vector x es combinación lineal de los
vectores { v (^) 1 ,... , vp }entonces sus coordenadas λ (^) 1 ,..., λp ∈ℜ son únicas.
ß Demostración: Supongamos que ∃ λi ∈ℜ, i = 1 , 2 ,... p tal que x = λ (^) 1 v 1 +...+ λp vp y que
∃ β (^) i ∈ℜ, i = 1 , 2 ,... p tal quex = β (^) 1 v 1 +...+ βp vp. Restando las dos igualdades tenemos: 0 = ( λ (^) 1 − β 1 ) v (^) 1 +...+( λp − βp ) vp = γ 1 v 1 +...+ γpv p , Es decir, una combinación lineal de vectores igualada al vector nulo. Cómo los vectores son L.I. todos los coeficientes de la combinación lineal deben ser iguales a cero y en consecuencia: λ (^) k − βk = 0 ⇒ λk = βk con k = 1 ,...., p de manera que λ (^) 1 , λ 2 ,..., λp son únicas.
7. Definición: Sistema Generador (S.G.)
{ v (^) 1 , v 2 ,..., vn }es un sistema generador de un espacio vectorial V ⇔ ∀ u ∈ V : ∃ λ 1 (^) ,..... λn ∈ K tal que u = λ 1 (^) v 1 + λ 2 v 2 +...+ λn vn.
8. Definición : Base de un espacio vectorial
B = { v (^) 1 ,..., vn } ⊂ V es una BASE del espacio vectorial V ⇔
sonL I
sonSG ( 2 ).
ß Observaciones : Puesto que una base es un sistema generador, todo vector del espacio queda precisado mediante sus coordenadas en relación a la base, al ser tal especificación única puesto que los vectores de la base son linealmente independientes. La elección de una base equivale entonces a escoger un sistema de referencia con respecto al cual situar los elementos de dicho espacio. En definitiva: Base = Sistema de referencia del espacio vectorial.
9. Teoremas relativos a las bases
Teorema 1. Todo sistema generador contiene una base:
Observación : De todo sistema generador se va a poder extraer una base: bastará eliminar los vectores que sean combinación lineal de otros, de modo que sólo queden los linealmente independientes.
Teorema 2. Supongamos un espacio vectorial en el que existe una base formada por “n” vectores, entonces cualquier conjunto de “n” vectores linealmente independientes que podamos encontrar constituirá una base.
Teorema 3. Supongamos un espacio vectorial en el que existe una base formada por “n” vectores, entonces el máximo número de vectores linealmente independientes que pueden encontrarse en ese espacio es “n”.
Observación : Supongamos un espacio vectorial en el que existe una base formada por “n” vectores, entonces todas las bases tienen “n” vectores.
Observación : Una BASE es un SISTEMA GENERADOR MÍNIMO (que contiene el menor número posible de vectores capaces de generar todo el espacio). Simultáneamente, una BASE es un conjunto L.I. máximo (que contiene el mayor número posible de vectores L.I.).
10. Definición: Dimensión de un espacio vectorial: Dim ( V )= n ∈ N
Mínimo número de escalares necesarios para determinar a cualquier vector del espacio o, lo que es lo mismo, número de vectores que componen una base cualquiera del espacio.
ß Ejemplo:
Calcular el rango de
A
Nota: Rg ( A )= Rg ( At )
1 ≠ 0 ⇒ Rg ( A )≥ 1
c 1 c 2
c 2 es combinació n lineal de c 1 : se elimina c 2 y se sustituye por c (^) 3 (puede comprobarse que c (^) 2 = 2 c 1 ).
≠ 0 ⇒ Rg ( A )≥ 2 c 1 y c (^) 3 son linealmente independientes
c 1 c 3
c 1 c (^) 3 c 4
c 4 es combinación lineal de c 1 y c (^) 3 (puede comprobarse que c (^) 4 = c 1 + c (^) 3 ). De
manera que: (^)
Rg ( A ) Rg ( c 1 , c 3 ) Rg 2 7
ß Aplicaciones vectoriales del cálculo del rango
- Conocer el máximo número de vectores linealmente independientes de entre un conjunto de ellos.
- Saber si un vector es, o no, combinación lineal de un conjunto de vectores dados.
13. Cambio de base en un espacio vectorial
Sea V en un espacio vectorial tal que Dim ( V )= n con B = { u 1 ,..., un }y B ′^ ={ v 1 ,..., vn }.
Buscamos la relación entre las coordenadas de un vector x en la base B y B ′ , conociendo las coordenadas de ui en términos de los vi
B ⊂ Vn → B ′⊂ V n B = { u 1 , u 2 ,..., un } B ′={ v 1 , v 2 ,..., vn } x = x 1 u 1 +... + xn un =( x 1 ,..., xn ) B x = x 1 ′ v 1 +... + xn ′ vn =( x 1 ′,..., xn ′) B '
′
′
n n nn n n n nn B
n n n B
u a v a v a a a
u a v a v a a a
1 1 1 2
1 111 1 11 21 1 KKKK K
ß Ecuación matricial de cambio de base: B → B ′
X ′^ = PBB ′ X , PB (^) B ′=Matriz del cambio de base B → B ′
x n
x ...
1
1
11 ... a n
a
nn
n
a
a ...
1
x n
x ...
1 ⇒
n n nn n
n n
x a x a x
x a x a x
11
1 11 1 1
B
u 1 un
ß Propiedades
- PB (^) B ′ es una matriz regular: Rg ( P (^) B B ′ )= n y en consecuencia ∃ PBB ′−^1
- PB (^) ′ B = PBB ′−^1
3. PB B ′′ = PB ′ B ′′⋅ PBB ′
- PB (^) B ′= PB ′ E −^1 ⋅ PBE , E = basecanónica
B P → BE^ E P → EB ′ B ′
TEMA 2.
SUBESPACIO VECTORIAL
1. Definición: Subespacio vectorial (S.V)
Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K y sea S un subconjunto de V. S ⊂ V es subespacio vectorial de V si es un espacio vectorial sobre K con las mismas operaciones definidas en V.
ß Observaciones De las propiedades de espacio vectorial se deduce que han de cumplirse estos cuatros requisitos:
- ∀ u , v ∈ S : u + v ∈ S (suma cerrada en S )
- ∀ λ ∈ K , ∀ u ∈ V , λu ∈ S (producto por escalar cerrado en S )
- ∃ 0 ∈ S ⊂ V /∀ u ∈ S : u + 0 = u ( ∃ elemento neutro en S )
- ∀ u ∈ S ⊂ V / ∃− u ∈ S / u +(− u )= 0 ∈ S ( ∃ elemento opuesto en S ) 2. Condicion necesaria y suficiente de subespacio vectorial
Dados dos vectores cualesquiera de S , su combinación lineal da lugar a otro vector de S : ∀ u , v ∈ S ⊂ V , ∀ λ , μ ∈ K : S es S.V. de { V , K }⇔ λu + μv ∈ S
ß Ejemplo
S = {( a , a , a )∈ℜ^3 / a ∈ℜ} ={ ( 1 , 1 , 1 ),( 2 , 2 , 2 ),...}
3. Definición: Variedad lineal
Dado el conjunto de vectores { v (^) 1 ,..., vp }⊂ V , se denomina variedad lineal engendrada
por { v (^) 1 ,..., vp }y se denota por L ( v 1 , v 2 ,..., vp }al conjunto de todos los vectores que son
combinación lineal de { v (^) 1 ,..., vp }.
ß Observaciones
1.- S = L ( v 1 , v 2 ,..., vp }es un subespacio vectorial de V cuya dimensión es: Dim ( S )= v ≤ p ≤ Dim ( V )
2.- { v (^) 1 ,..., vp }es un sistema generador de S. } { (^) i }
p l
S Lv vp x V x ∑ iv
1
( 1 ,..., / λ y
en consecuencia { v (^) 1 ,..., vp }no puede ser sino un sistema generador de S.
ß Ejemplo
{ } { }
{ } }
= = = = =− =
0 1 , 0 1 , 0
1 2 3
1 2 3 3
12 3 123 14243 λμ λ μ λ μ
λ μ λ μ λ μ λ μ
λ μ λμ
x x x
L x x x x x
S = L { ( 1 , 1 , 1 ),( 2 , 2 , 2 ) }={( a , a , a )∈ℜ^3 / a ∈ℜ}
ß Observación Todos los conceptos ya vistos en relación con los espacios vectoriales: bases, coordenadas, etc., son inmediatamente extensibles a los subespacios vectoriales ya que un subespacio vectorial no deja de ser un espacio vectorial.
En particular, una base de un subespacio vectorial S será cualquier sistema generador de S ⊂ V ,formado exclusivamente por vectores linealmente independientes. (Basta considerar que S es un espacio vectorial y los resultados ya conocidos sobre bases de espacios vectoriales)
ß Ejemplo
{( 1 , 1 , 1 ),( 2 , 2 , 2 ) }es sistema generador de^ S^ pero no es base.
4. Definición : Dimensión de un subespacio vectorial S ⊂ V
Dim ( S )puede ser definida de las siguientes formas equivalentes: a) máximo número de vectores linealmente independientes que pueden encontrarse en S. b) número de vectores de una base cualquiera de S c) grados de libertad al establecer las coordenadas (componentes) de un vector cualquiera de S.
ß Valores de Dim ( S ) S ⊂ V ↓ 0 ≤ Dim ( S )≤ Dim ( V ) ↓ ↓ S = { 0 } S ≡ V
v Escribiendo S como: {^
3 1
3 2 1 x x
x x S x se tiene que:
3 2 1 1
Dim S = n − rg A = − rg rg
6. Ecuaciones paramétricas y ecuaciones cartesianas de un subespacio vectorial 1. Ecuaciones paramétricas → Ecuaciones cartesianas
= = = { ∈ℜ = + + i ∈ℜ} ECUACIONESuna por componenttPARAMÉTRICe AS
S L ( v ,..., vp ) L ( v ,..., vr ) x n / x λ v ... λrvr , λ ( )
Dim ( S )= Rg ( v 1 ,..., vp )= r ≤ p
Se verifica que ∀ x ∈ S , x es combinación lineal de la base ( v 1 (^) ,..., vr )con lo que Rg ( v 1 ,..., vr , x )= Rg ( v 1 ,..., vr )= r. En tal caso, forzando a que todos los menores de orden " r + 1 "sean nulos, se obtienen las ecuaciones cartesianas de S , esto es, el sistema homogéneo que caracteriza a S.
2. Ecuaciones cartesianas → Ecuaciones paramétricas
= { ∈ℜ / = 0 , ∈ m × n , ∈ n × 1 , 0 ∈ m × 1 } CARTESIANAECUACIONESS
S x n^ AX A M X M M 123
Dim ( S )= n − rg ( A )= n − h = r
Resolviendo el sistema homogéneo que caracteriza a S quedan las " h " variables no libres en función de las " r " variables libres: n
VARIABLESrDimSLIBRES
h hrn NO nVARIABLESLIBRES
RgA h
x xh x x ∈ℜ = =
- += = =
(parámetroseneltérminoindependiente )
( )
1 º( )
Dando a las " r " variables libres, valores de la forma:
( x 1 (^) ,..., xh , 1 , 0 ,..., 0 ),( x 1 ,..., xh , 0 , 1 , 0 ,..., 0 ),...,( x 1 ,..., xh , 0 ,..., 0 , 1 ),
se obtienen " r " vectores linealmente independientes que forman una base de S. Conocida la base, se conoce la variedad lineal que genera al subespacio S , con lo que el paso a las ecuaciones paramétricas es inmediato.
TEMA 3.
APLICACIONES LINEALES
1. Definición: Aplicación lineal
Sean V y V ′ dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K. La aplicación f : V → V ′ se llama aplicación lineal o transformación lineal si satisface los dos requisitos siguientes:
- ∀ v 1 (^) , v 2 ∈ V : f ( v 1 + v 2 )= f ( v 1 )+ f ( v 2 )
- ∀ k ∈ K , ∀ v ∈ V : f ( k ⋅ v )= k ⋅ f ( v )
o equivalentemente: ∀ a , b ∈ K ,∀ u , v ∈ V : f ( au + bv )= f ( au )+ f ( bv )= a ⋅ f ( u )+ b ⋅ f ( v )
ß Ejemplo
f : ℜ 2 →ℜ^2 , f ( x 1 , x 2 )=( x 1 + x 2 , 2 ) no es aplicación lineal ya que, por ejemplo, para a = b = 1 , u =( 1 , 0 )y v =( 0 , 1 ):
f [( 1 , 0 )+ ( 0 , 1 ) ]= f ( 1 , 1 )=( 2 , 2 ) f ( 1 , 0 )+ f ( 0 , 1 )=( 1 , 2 )+( 1 , 2 )=( 2 , 4 )
2. Propiedades 1. Toda aplicación lineal transforma el vector nulo de V en el vector nulo de V ′: f ( (^0) V )= (^0) V ′ 2. La imagen del opuesto de un vector es el opuesto de la imagen: f (− v )=− f ( v ), ∀ v ∈ V 3. Las aplicaciones lineales transforman los subespacios vectoriales de V en subespacios vectoriales de V ′^. 3. Definición: Núcleo de una aplicación lineal f : V → V ′
Ker f = { v ∈ V / f ( v )= (^0) V ′}
4. Definición: Imagen de la aplicación lineal f : V → V ′
f ( V ) =Img f = { v ′∈ V ′/ ∃ v ∈ V , f ( v )= v ′}
Como 2 2 3
rg rg , una base de Im f será, por ejemplo, B ′= {( 1 , 2 ),(− 1 ,− 3 )}. Por tanto, Dim (Im f )= 2 , siendo sus ecuaciones paramétricas: Im f = { x ′∈ℜ^2 / x ′= λ 1 ( 1 , 2 )+ λ 2 (− 1 ,− 3 ), λ 1 , λ 2 ∈ℜ}.
Puede comprobarse cómo efectivamente se cumple que: Dim ( ℜ^3 )= Dim ( Kerf )+ Dim (Im f )
6. Expresión matricial
Dada la aplicación lineal f : Rn^ → Rm , donde en ambos espacios suponemos que los vectores están referidos a la base canónica, f queda perfectamente determinada por una matriz A ∈ Mm × n.
Ecuación matricial de f respecto de las bases consideradas: Y = AX , A ∈ Mm × n :
=
mn
n
n
m m DEy f x COORDENADAS
m a
a
a
a a
a a
a a
y
y
y
2
1
1 2
21 22
11 12
()ENR
2
1
m
r r
COORDENADADExEN R n S
xn
x
x 2
1
...
r
ß Observaciones
- A ∈ Mm × n es la matriz asociada a f respecto de las bases consideradas (bases canónicas)
- Las columnas de A son las imágenes de los vectores de la base canónica del espacio inicial: f ( e 1 ),..., f ( en ). En consecuencia, puesto que la imagen de cualquier vector es única, A es única.
- Podemos reducir el análisis de las propiedades de f al estudio de su matriz asociada A.
ß Ejemplo
Dada la aplicación lineal f : ℜ^3 →ℜ^2 , tal que f ( x 1 , x 2 , x 3 )= ( x 1 (^) − x 2 , x 1 + x 3 ), su expresión matricial es de la forma:
Y X A
y
y x
x
x y x x
y x x
y y y f x x x x x x x
⇒ ^ −
×
2
1 3
2
1 2 1 3
1 1 2
1 , 2 1 2 3 1 2 1 3
23
7. Proposición : Dim (Im f )= Rg ( A )
Al ser Im f = AX el subespacio vectorial de ℜ m , generado por las columnas de A.
ß Ejemplo
Sea f : ℜ^2 →ℜ^3 definida por las ecuaciones:
3 2
2 1 2
1 1
y x
y x x
y x .
En tal caso, podemos escribir
{
Y
y
y
y
3
2
1
A
X
x
x
2
2
( )
1
( 1 ) 2
x x
fu f u
?----- S.G----?
donde {( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 )}(columnas de A ), generan Im f , y puesto que éste es un subespacio vectorial, para conocer Dim ( f ), basta con saber el número de vectores (columnas de A ) linealmente independientes, esto es, el Rg ( A ):
2 (Im ) 1
Rg ( A ) Rg = = Dim f
Y en consecuencia, en este caso, el sistema generador {( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 )}resulta ser una base de Im f.
ß Ejercicio
Expresar en forma matricial, determinar el núcleo y el conjunto imagen de la aplicación lineal:
f : ℜ^3 →ℜ^3 / 3 1 3
2 2
1 2 3
f e e e
f e e
f e e e
- Solución -
a) Ecuación matricial:
x y f x AX
f → = =
TEMA 4.
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES
1.Definición: Matrices Semejantes
Se dice que dos matrices cuadradas A y B son semejantes, si existe una matriz regular P que verifica: (^) B = PAP −^1
2. Definición: Matriz Diagonal
Una matriz cuadrada se dice que es una matriz diagonal si todos los términos fuera de la diagonal principal son cero. (Algunos de los elementos de la diagonal principal podrían eventualmente ser cero tambié n)
El problema de la diagonalización de una matriz A consiste en determinar si existe una matriz semejante B =Λ que sea diagonal.
3. Definición: Autovector y Autovalor
Dada la matriz cuadrada A de orden n, el vector (^) x ∈ Rn^ , x ≠ 0 ,es autovector (o vector propio) de A ⇔ ∃ λ ∈ R / Ax r= λx. Al escalar λ se le denomina Autovalor (o valor propio ) asociado.
4. Cálculo de autovalores y Autovectores
La matriz ( A − λIn )se denomina matriz característica y su determinante:
λ
λ
λ λ λ −
nn
n
n
n n
n a
a
a
a a
a a
a a P A I ... ...
( )^2
1
1 2
21 22
11 12
es el denominado polinomio característico, cuyas raíces son los autovalores. En consecuencia, los autovalores serán las soluciones de la ecuación: P ( λ )= det( A − λIn )= 0.
El conjunto de autovectores x^ r^ = X asociados a cada autovalor λi , obtenido de la ecuación anterior, vendrá dado por el conjunto: L ( λi )= { x ∈ℜ n /( A − λiIn ) X = 0 }
ß Demostración:
x ∈ Rn^ , x ≠ 0 , es^ autovector^ ⇔^ AX^ = λ^ X = λInX ⇒(^ A^ −^ λi^ In ) X =^0 ,^ con det( A − λI (^) n )= 0 , de modo que el sistema homogéneo anterior admita solución (^) x ≠ 0.
5. Propiedades 1. { L ( λi )}es un subespacio vectorial de dimensión: n − rg ( A − λIn ) 2. Autovectores asociados a autovalores distintos son linealmente independientes 3. Dada A ∈ Mn no podrán existir más de n autovalores reales distintos. 4. ∑ λi = Tr ( A ) 5. (^) i A
n i ∏^ = =
λ 1
- Si A es triangular los autovalores serán los elementos de la diagonal principal:
a i n a
a
a a
a a A (^) i ii
nn
n
n , 1 , 2 ,..., ... 0 0 ...
2
1 22
11 12 ⇒ = =
= λ
- Si λi es autovalor de A , λ^2 es autovalor de A^2. Además todos los autovectores de A también lo serán de A^2.
- Los autovalores de A y de At son los mismos.
ß Ejemplo
Sea
A ,
los autovalores resultan de la ecuación:
[ ]
2
1 simple
doble
P A I
λ
λ λ λ λ
λ λ λ λ λ
λ
λ λ λ
El conjunto de autovectores asociados a λ = 2 es S ( λ = 2 )={ x ∈ℜ^3 / x =( X 1 , 0 , 0 )}, ya que: S ( λ = 2 )= { x ∈ℜ^3 /( A − 2 I ) X = 0 }
{
3 2
2 2 3
2 3
2
3
2
1 3
x x
x x x
x x
x
x
x
x x