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M´ETODOS MATEM ´ATICOS
Curso 2017/ Hoja de ejercicios 1
Ejercicio 1 (*) Decidir, de forma justificada, si son espacios vectoriales:
a) Las matrices de la forma
1 a b 1
con la suma y productos por escalares usuales.
b) Las matrices de la forma
0 a b 0
con la suma y productos por escalares usuales.
c) R × R con las operaciones
(x 1 , x 2 ) + (y 1 , y 2 ) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 )
λ(x 1 , x 2 ) = (λx 1 , 0) definidas para cualesquiera x, y ∈ R × R y λ ∈ R.
Ejercicio 2 (*) En R^2 (con la suma y producto por escalares usuales) se consideran los vectores u = (1, −2), v = (3, 1) y w = (− 1 , 0) con coordenadas dadas en la base can´onica.
a) Decidir si el conjunto {u, v, w} es linealmente independiente.
b) Decidir si el conjunto {u, v, w} es un sistema de generadores de R^2. c) ¿Es {u, v, w} una base de R^2? Justifica brevemente la respuesta.
d) Extrae una base del conjunto {u, v, w} y calcula las coordenadas del vector (− 2 , −3) con respecto a esa base.
Ejercicio 3 Probar que el conjunto M 2 × 3 (R) con la suma de matrices y el producto de matrices por n´umeros reales es un espacio vectorial real. Adem´as, justificar que las matrices
E 1 , 1 =
E 1 , 2 =
E 1 , 3 =
E 2 , 1 =
E 2 , 2 =
E 2 , 3 =
forman una base de M 2 × 3 y que, por tanto, este espacio tiene dimensi´on 6.
Observaci´on: En general, el espacio vectorial Mm×n tiene dimensi´on m·n, lo que puede justificarse a trav´es de la base can´onica an´aloga a la anterior.
Ejercicio 4 (*) En R^3 (con la suma y producto por escalares usuales) se consideran los vectores u = (2, − 1 , 0), v = (0, 1 , 1) y w = (− 1 , 3 , 2) con coordenadas dadas en la base can´onica.
a) Decidir si el conjunto {u, v, w} es linealmente independiente.
b) Decidir si el conjunto {u, v, w} es un sistema de generadores de R^3.
c) ¿Es {u, v, w} una base de R^3? Justifica brevemente la respuesta.
d) Hallar las coordenadas del vector (1, 2 , 2) con respecto a {u, v, w}.
Ejercicio 5 (*) ¿Es el conjunto {(2, 1 , −3), (3, 2 , −5), (1, − 1 , 1)} una base de R^3? En caso afirmativo, calcula las coordenadas del vector (6, 2 , −7) en dicha base.
Ejercicio 6 En el espacio vectorial R^2 , analizar la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores:
a) {(0, 1), (0, 2)}
b) {(1, 1), (2, 2), (− 1 , 1)}
c) {(1, 1), (0, 2), (3, 1)}
En el caso de los conjuntos linealmente dependientes, expresar uno de los vectores como combinaci´on lineal de los restantes.
Ejercicio 7 ¿Es el conjunto
una base de M 2 (R)? En
caso afirmativo, calcula las coordenadas de la matriz
en dicha base.
Ejercicio 8 (*) ¿Cu´ales son las coordenadas del polinomio p(x) = x^3 − x^2 + 2x + 3 con respecto a la base can´onica Bc = { 1 , x, x^2 , x^3 } de P 3 (R)?
Ejercicio 9 Determinar cu´ales de los siguientes conjuntos del espacio vectorial R^3 son siste- ma de generadores, cu´ales son linealmente independientes y cu´ales son bases:
a) {(1, 0 , 0), (1, 1 , 0), (1, 1 , 1), (1, 2 , 3)}
b) {(− 1 , 2 , 1), (1, 0 , 2)}
c) {(1, 0 , 1), (2, − 1 , 3), (0, 1 , −1)}
d) {(1, 2 , −1), (1, 2 , 0), (− 1 , 1 , 3)}
e) {(1, 1 , 1), (1, 1 , 0), (1, 0 , 0)}
En el caso de los conjuntos que sean base, calcular las coordenadas del vector (1, − 1 , 1) con respecto a dichos conjuntos.
Ejercicio 18 Dados los vectores
v 1 = (3, 2 , α, 5) v 2 = (2, − 3 , 5 , α) v 3 = (0, 13 , β, 7)
de R^4 , hallar el valor de α, β ∈ R para que la variedad lineal L(v 1 , v 2 , v 3 ) tenga dimensi´on 2.
Ejercicio 19 (*) En R^3 se considera el subconjunto
U = {(x 1 , x 2 , x 3 ∈ R^3 )|x 1 = x 2 = x 3 }
a) Demostrar que U es un subespacio vectorial de R^3.
b) Calcular la dimensi´on de U y una base suya.
c) Hallar unas ecuaciones param´etricas de U.
Ejercicio 20 (*) Determinar una base y la dimensi´on del subespacio vectorial
P = {p(x) ∈ P 3 (R)|p(x) = p(−x)}.
Ejercicio 21 (*) En R^3 se consideran los subespacios vectoriales
U = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R^3 |x 1 + x 2 + x 3 = 0}
W = L[(1, 1 , 1), (1, 1 , 0), (− 1 , − 1 , 1)]
a) Calcular unas ecuaciones param´etricas, la dimensi´on y una base de U.
b) Calcular unas ecuaciones cartesianas, la dimensi´on y una base de W.
c) Determinar los subespacios vectoriales U ∩ W y U + W.
Ejercicio 22 (*) En M 2 (R) se consideran los subespacios vectoriales
V 1 =
a b a − b a + b
∣ (^) a, b ∈ R
V 2 =
a b c d
a + b + c + d = 0 , 2 a − c − d = 0
Calcular unas ecuaciones param´etricas, unas ecuaciones cartesianas, una base y la dimen- si´on de los subespacios V 1 ∩ V 2 y V 1 + V 2.
Ejercicio 23 Una matriz A se llama sim´etrica cuando At^ = A. En el espacio vectorial M 2 (R), consideremos el conjunto U de todas las matrices sim´etricas (de orden 2):
a) Probar que U es un subespacio vectorial de M 2 (R).
b) Hallar dimU y encontrar una base de U.
c) Calcular las coordenadas de la matriz
con respecto a la base de U dada en el apartado b).
d) Dar unas ecuaciones cartesianas y otras param´etricas de U.
Ejercicio 24 (*) En P 3 (R) con la base B = {x^3 , x^2 , x, 1 } se consideran los siguienets subes- pacios vectoriales
U = L(x^2 + 2x, −x^2 + x, x^2 + x) V ≡
x 1 = 0 x 2 = −β x 3 = 0 x 4 = α + β
W ≡
x 2 + x 3 = 0 2 x 2 − x 3 = 0
Calcular bases, dimensi´on y ecuaciones (tanto param´etricas como cartesianas) de los subespacios U, V y W. Tambi´en para U ∩ V, U ∩ W, V ∩ W, U + V, U + W y V + W.
Ejercicio 25 (*) En R^3 se consideran los subespacios vectoriales
U ≡
x = λ + γ y = μ + γ z = λ + μ + 2γ
W ≡
x − y + 2z = 0
a) Calcular bases, dimensi´on y ecuaciones (param´etricas y cartesianas) de los subespacios U + W y U ∩ W.
b) Hallar las coordenadas del vector (2, 3 , 5) con respecto a la base de U + W obtenida en el apartado anterior.
Ejercicio 26 En R^4 se consideran los subespacios vectoriales
U = L((1, − 1 , 2 , 1), (0, 1 , − 1 , 3), (2, 0 , 1 , −1))
W ≡
2 x − y − 3 z = 0 x − 2 y + 6z − 6 t = 0
Calcular la dimensi´on, una base y ecuaciones de U, W, U ∩ W y U + W.
Ejercicio 27 (*) En R^3 se considera la base B = {(1, − 2 , 1), (− 2 , 2 , 0), (2, 0 , 0)}. Calcular la matriz de cambio de base de B a la base can´onica Bc. Calcular tambi´en la matriz de cambio inverso.
