Matemàtiques
Grau en Biologia, Química, Ciències Ambientals, i Biotecnologia.
Doble titulació Biologia / CCAA.
Doble titulació Biologia / Biotecnologia.
Jordi Ripoll i Miss ´
e
Matem`
atiques F. Ci`
encies UdG. Curs 2014-2015. – p. 1/99
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca tu universidad
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Asignatura: Biologia, Profesor: Jordi Ripoll, Carrera: Biologia, Universidad: UdG
Tipo: Apuntes
2015/2016
1 / 22
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Documentos relacionados
Vista previa parcial del texto
¡Descarga matrius y más Apuntes en PDF de Biología solo en Docsity!
Matemàtiques
Grau en Biologia, Química, Ciències Ambientals, i Biotecnologia.
Doble titulació Biologia / CCAA. Doble titulació Biologia / Biotecnologia.
Jordi Ripoll i Miss ´
e
Matem `
atiques F. Ci `
encies UdG. Curs 2014-2015. – p. 1/
Estructura del curs
⋆^
PA
Àlgebra lineal i models matricials de dinàmica
de poblacions. 9 setmanes.
⋆^
PA
Càlcul diferencial i integral en una variable.
Derivació i optimització en múltiples variables. 9 setmanes
⋆^
PA
Equacions diferencials de primer i segon ordre i
modelització. 9 setmanes
Matem `
atiques F. Ci `
encies UdG. Curs 2014-2015. – p. 2/
Introducció als models matricials
⋆^
Matrius
,^ [Sagrada Família, BCN].
⋆^
Evolució en el temps
t^
de
joves
x
i^
adults
y
. El
del joves arriben a edat adulta, en canvi el
dels
adults sobreviuen. Cada adult té en mitjana 2 fills.
x^1
y^0
y^1
(^64 )
x^0
(^80 )
y^0
x^1 y^1
x^0 y^0
i repetim el procés per calcular les succesives generacions.
Matem `
atiques F. Ci `
encies UdG. Curs 2014-2015. – p. 4/
Introducció als models matricials (cont’)^ ⋆
La població creix en el temps encara que s’
estabilitza
^
t^ = 0
.^6
t^ = 1
.^2
.^3
t^ = 2
.^6
.^6
t^ = 3
^
.^2
.^8
t^ = 4
.^6
.^7
t^ = 5
.^4
.^2
t^ = 6
k
^
⋆^
Població total
N
(t
x(
t) +
y(
t),
lim^ t→∞
N^
(t^
N^
(t)
.^6
Matem `
atiques F. Ci `
encies UdG. Curs 2014-2015. – p. 5/
Matrius: fila
×
columna
⋆^
c^ escalars (
R), vectors
~v^
v^1
, v
, v 2
, i matrius (reals)
A^
aij
)^ són un conjunt de valors organitzats per
files (índex
i) i columnes (índex
j). Exemples:
a^
c
b^
d
a^11
a^12
a^21
a^22
a^31
a^32
,^
A^
a^11
a^1
n
...^
am
1
amn
2 ×
3 ×
m
×
n
⋆^
Tipus de matrius
: quadrada (
n^
=^
m
), trasposta
A
T
(n
×
m
), diagonal
D
, zero
O
, identitat
Id
, triangular
superior/inferior
U, L
, simètrica
A
A
T. Matem `
atiques F. Ci `
encies UdG. Curs 2014-2015. – p. 7/
Operacions amb matrius
⋆^
Operació suma
A
B
aij
bij
aij
bij
⋆^
Multiplicació per escalars
c A
c^ (a
) := (ij
c a
)ij
⋆^
El producte de matrius
A
·^ B
només està definit si el número
de columnes de
A
coincideix amb el número de files de
B
Si
A
és de tipus
m
×
n^
i^ B
és de tipus
n
×
p^
llavors
A^
·^ B
aij
bij
n k=
aik
b kj
)^ és de tipus
m
×
p.
A^
·^ B
−→ a ij
bij ↓
^
⋆^
El producte de matrius no és commutatiu
A
·^ B
B
·^ A
Inverses:
A
·^ A
−^1
Id
A
−^1
·^ A
.^ D
−^1
/d
),i
L
−^1
˜L.
Matem `
atiques F. Ci `
encies UdG. Curs 2014-2015. – p. 8/
Sistemes d’equacions lineals
⋆^
1 equació amb 1 incognita:
ax
b. Si
a
solució
única
x
b a
. Si
a
i^
b^6 = 0
cap solució. Si
a
b^
solucions.
Interpretació geom.
: recta
y^
=^
ax
b.
⋆^
2 equacions amb 2 incògnites:
a^11
x^ +
a^12
y^
=^
b^1
a^21
x^ +
a^22
y^
=^
b^2
~u⊥
a^11
, a
12
~v⊥
a^21
, a
22
Interpretació
: 2 rectes o es creuen (sol. única), o són
paral
·leles diferents (cap sol.), o són la mateixa recta
sol.). Vectors perpendiculars a les rectes
~u
v⊥
⋆^
Exemple:
a
2 x
y^
=^
−^2
,^ x
y^
a. (
a^6 =
Matem `
atiques F. Ci `
encies UdG. Curs 2014-2015. – p. 10/
Rectes, vectors i SL
-^ -^ -^
0
5
10
15
(^5) -
SL:
(^2) a x^ +
y^
=^
−^2
,^ x
y^
a. Vectors
:^ (
(^2) a
,^ 1)
i^ (
,^ 1)
. Rectes:
x^ +
y^
=^
−^2
,^4
x^ +
y^
=^
−^2
,^ x
y^
i^ x
y^
.^ a
1 ,^
2 ,^
Matem `
atiques F. Ci `
encies UdG. Curs 2014-2015. – p. 11/
Sistemes d’equacions lineals (cont’)
⋆^
Un sistema lineal de
m
equacions i
n incògnites és una
equació del tipus
a^11
x^1
a^12
x^2
a^1
xn n^
=^
b^1
...^
am
x 1
am
x 2
amn
xn
=^
bm
o en
forma matricial
A ~
x^ =
~ b^ on
A
és la matriu
m
×
n^
del
sistema,
~ b^ vector terme indep., i
~x és el vector incògnita.
⋆^
Exemple 2x3:
−^1
x^1 x^2 x^3
^ =
x^2
x^1
2 x
x^1
Matem `
atiques F. Ci `
encies UdG. Curs 2014-2015. – p. 13/
Sistemes d’equacions lineals (cont’)
⋆^
Dos sistemes lineals són equivalents si tenen les mateixessolucions.
L’important en una equació són les solucions
⋆^
Operacions elementals
per files (columnes) sobre una
matriu: (1) permutar dues files (columnes), (2) multiplicaruna fila (columna) per un escalar no nul, (3) sumar a una fila(columna) un múltiple d’una altra. ⋆^
Mètode de Gauss
:^ (
A|
~b)
(U
~ |b^1
).^
rang
(A
Exemple:
−^1
−^2
−^1
Matem `
atiques F. Ci `
encies UdG. Curs 2014-2015. – p. 14/
Determinants
⋆^
El determinant d’una matriu quadrada
(n
m
) és un valor
real que dona una informació valuosa sobre la matriu. Estàrelacionat amb àrea/volum i amb la resolució de SL (tambéamb la matriu inversa). ⋆^
Determinant i inversa
×^
a^
c
b^
d
−^1
=^
1 det
d^
c
b^
a
,^
det =
a d
b c
⋆
a^
c
b^
d
x y
, ax
cy,
(a d
b c
)y
⋆^
Determinant
×
regla de Sarrus
.^ +diag. -antidiag.^ Matem `
atiques F. Ci `
encies UdG. Curs 2014-2015. – p. 16/
Determinants (cont’)
⋆^
Determinant
×^
4 i en general: desenvolupar per una fila o
columna (
regla de Laplace
⋆^
El determinant d’una matriu diagonal o triangular és elproducte dels elements de la diagonal principal. ⋆^
det(
A^
·^ B
) = det(
A)
·^ det(
B)
,^ det(
A^
+^
B)
6 = det(
A) + det(
B)
⋆^
det(
A·
−B
det(
A) det(
B)
,^ det(
c A
n c det(
A)
,^ det(
A) = det(
TA
⋆^
Operacions elementals
: canvi de fila (col.)
canvi de
signe, canviar una fila (col.) per la fila (col.) més un múltipled’una altra fila (col.) no altera el determinant. Una fila (col.)per un escalar, el det queda multiplicat per aquest escalar.
Matem `
atiques F. Ci `
encies UdG. Curs 2014-2015. – p. 17/
Matriu inversa
⋆^
Existeix la
matriu inversa
(quadrada)
A
−^1
si i només si
det(
A)
i llavors
A ~
x^ =
~ b^ té solució única
~x^
=^
−A
1 ~b^
⋆^
Càlcul matriu inversa en general
A
−^1
1 det(
A)
( Adjunts
)T.
Adjunt: signe i determinant del menor complementari. ⋆^
La inversa d’una matriu simètrica (si
∃) també és simètrica.
⋆^
(A
−^1
A
,^ (
A^
·^ B
B
−^1
·^ A
−^1
,^ (
TA
−A
1 T)
⋆^
Matrius ortogonals
Si
A
·^ A
T^ =
Id
A
T^ ·
A
.^
det(
A) =
1 ,^
−A
A
T.
⋆^
Exemples de M.O.:
1 3
−^2
√^2
√^7
√^7
−^3
Matem `
atiques F. Ci `
encies UdG. Curs 2014-2015. – p. 19/
Rotacions al pla
⋆^
Rotació d’angle
(i centre l’origen) al pla:
(^0 ≤
α<
2 π
R
α^
cos
−^
sin
sin
cos
,^
det(
R
Només cal transformar 2 vectors: e.g.
,^ 0)
i^ (
,^ 1)
⋆^
′^ ~x
=^
Rα
~x^ , les rotacions (
α^
) només deixen fix l’origen.
Cap vector es transforma en la mateixa direcció, llevat de α^
(identitat) i
α
π^
(simetria central).
⋆^
Transformació inversa
:^ R
−^1 α^
=^
R
−α
R
T, és una α
rotació d’angle oposat.
R
α^
és una matriu ortogonal.
⋆^
Composició de 2 girs
:^ R
· Rα
R
α+
producte com-
mutatiu. Fórmules addició d’angles:
cos(
α^
+^
,^ sin(
α^
+^
Matem `
atiques F. Ci `
encies UdG. Curs 2014-2015. – p. 20/