matrius 1, Ejercicios de Álgebra

¡Descarga matrius 1 y más Ejercicios en PDF de Álgebra solo en Docsity!

Matrius (I)

Matrius.

Expressi´o general:       a 11 · · · a 1 n

· · · · ·

· · · · ·

· · · · ·

am 1 · · · amn

Matrius.

Expressi´o general:       a 11 · · · a 1 n

· · · · ·

· · · · ·

· · · · ·

am 1 · · · amn

Matriu quadrada ´es la que t´e m = n

Operacions elementals amb matrius:

Situem-nos a l’espai Mmn, de matrius de m files i n columnes, podem

considerar-hi:

(^1) Suma

(^2) Producte per escalar.

(^3) Producte de matrius.

Pivot:

S’anomena pivot d’una fila (columna) al primer terme no nul de la fila

(columna).

Pivot:

S’anomena pivot d’una fila (columna) al primer terme no nul de la fila

(columna).

L’objectiu del que segueix ´es transformar una matriu mitjan¸cant

operacions elementals (que definirem) en una matriu “redu¨ıda ”.

Definici´o: Es diu que una matriu ´es esgraonada per files si compleix:

(^1) Si A(la matriu) t´e files nul·les aquestes estan al final.

(^2) El pivot de cada fila no nul·la ´es 1.

(^3) El pivot de cada fila no nul·la ´es a la dreta del de la fila anterior.

(^4) Els elements d’una mateixa columna que el pivot d’una fila, i que

estan a sota seu, s´on tots zero.

Pivot:

S’anomena pivot d’una fila (columna) al primer terme no nul de la fila

(columna).

L’objectiu del que segueix ´es transformar una matriu mitjan¸cant

operacions elementals (que definirem) en una matriu “redu¨ıda ”.

Definici´o: Es diu que una matriu ´es esgraonada per files si compleix:

(^1) Si A(la matriu) t´e files nul·les aquestes estan al final.

(^2) El pivot de cada fila no nul·la ´es 1.

(^3) El pivot de cada fila no nul·la ´es a la dreta del de la fila anterior.

(^4) Els elements d’una mateixa columna que el pivot d’una fila, i que

estan a sota seu, s´on tots zero.

Es diu esgraonada redu¨ıda si, a m´es de les condicions anteriors, compleix:

(^1) Els elements que apareixen en la mateixa columna que el pivot d’una

fila s´on tots zero.

Transformacions elementals per files:

(^1) Intercanviar files

(^2) Multiplicar una fila per un escalar

(^3) Sumar files (que pr`eviament poden haver estat multiplicades per

escalars).

Matrius equivalents per files: es diu que dues matrius s´on equivalents

per files, si podem passar de l’una a l’altra per un nombre finit de

transformacions elementals.

Transformacions elementals per files:

(^1) Intercanviar files

(^2) Multiplicar una fila per un escalar

(^3) Sumar files (que pr`eviament poden haver estat multiplicades per

escalars).

Matrius equivalents per files: es diu que dues matrius s´on equivalents

per files, si podem passar de l’una a l’altra per un nombre finit de

transformacions elementals. Obviament, aixo ´es una relaci´o d’equival`encia

Lema:

Si A i B, matrius esgraonades redu¨ıdes per files, s´on equivalents llavors

A = B.

Es pot provar per inducci´o (?).

Teorema: Tota matriu ´es equivalent per files a una matriu esgraonada

redu¨ıda per files. (`obviament, ´es cert el mateix resultat per a columnes)

Es demostra aplicant adequadament successives transformacions

elementals.

Definici´o: Donada A ∈ Mm×n(R), anomenem forma normal de Hermite

per files a l’´unica matriu esgraonada redu¨ıda per files, obtinguda de A per

transformacions elementals.

Definici´o:

Rang d’una matriu A ´es el nombre de files no nul·les de la seva forma

normal de Hermite per files

Obviament, si` A ∈ M m×n(R) el rang (A)≤^ m,^ n.

Sistemes d’equacions v matrius

Siguin

A =

a 11 · · · a 1 n

· · · · ·

· · · ·

· · · · ·

am 1 · · · amn

, X =

x 1

·

·

·

xn

, B =

b 1

·

·

·

bm

L’expressi´o AX = B ´es un sistema d’equacions ( m equacions, n

inc`ognites).

Si considerem la matriu (A|B)

(A|B) =

a 11 · · · a 1 n b 1

· · · · · ·

· · · · · ·

· · · · · ·

am 1 · · · amn bm

(A|B) =

a 11 · · · a 1 n b 1

· · · · · ·

· · · · · ·

· · · · · ·

am 1 · · · amn bm

Si busquem la matriu associada redu¨ıda per files de (A|B), veiem que el

sistema d’equacions associat t´e les mateixes sol·lucions, ´es a dir ´es

equivalent a l’inicial.

Teorema de Rouch´e-Frobenius: Donat un sistema AX = B

(^1) El sistema ´es compatible si rang (A)=rang(A|B).

(^2) El sistema ´es compatible determinat si i nom´es si

rang(A)=rang(A|B)=n, on n ´es el nombre d’inc`ognites.