memoria pendulo simple, Ejercicios de Física

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MEMORIA PÉNDULO SIMPLE

Andrés Iglesias Puerta

IOI

1.OBJETIVO

En esta práctica, nuestro objetivo será medir la oscilación de un péndulo simple en función de la longitud del hilo que une la base con la esfera metálica y del ángulo de la desviación inicial.

Mediante este experimento obtendremos un valor experimental para la aceleración de la gravedad.

2.INTRODUCCIÓN

El péndulo simple conocido hoy día y el que vamos a estudiar, ya fue descubierto en

1581 por Galileo Glilei, un magnífico astrónomo, filósofo, ingeniero, matemático y

físico italiano del Renacimiento.

La historia de cómo lo descubrió, fue a los diecisiete años cuando estaba en una

catedral. Allí, observó cómo las lámparas que colgaban del techo oscilaban de un lado

para otro, movidas por las corrientes de aire. A veces realizaban grandes oscilaciones y

otras veces pequeñas. Sin embargo, Galileo se tomó el pulso para medir cuanto tiempo

tardaban en realizar cada oscilación, y ya fueran grandes o pequeñas siempre tardaban

lo mismo en completarlas.

A partir de esta observación, descubrió la ley del péndulo simple que conocemos hoy.

Este descubrimiento revolucionó la forma de medir el tiempo ya que el péndulo oscila

constante y siempre tarda lo mismo en describir una oscilación completa, por lo que

conociendo el número de estas podremos llegar a saber el tiempo transcurrido.

En esta práctica vamos a estudiar las leyes del péndulo y comprobar la veracidad de

estas.

3. MÉTODOS Y MATERIALES.

A continuación, vamos a detallar los materiales empleados para realizar la práctica y el modo en el que los emplearemos.

Los materiales necesarios para realizar esta práctica son:

-Hilo

-Esfera metálica

-Soporte metálico

-Barrera fotoeléctrica

-Regla

Mediremos el semiperiodo del péndulo simple, realizando unas cinco medidas de

tiempo. Gracias a ellas obtendremos el valor medio para los diferentes valores de

longitud de la cuerda del péndulo simple incluyendo el diámetro de la bola de acero.

La primera medición la comenzaremos con una longitud total (longitud del hilo más el

diámetro de la bola de acero) 1,025 m hasta 0,225 m en pasos de 0,1m.

Es decir, realizaremos nueve medidas en total.

A continuación, presentamos la tabla de los valores que hemos obtenido:

L ±(0,0005) (m)

t/ ± (0,001) (s)

t/ ± (0,001) (s)

t/ ± (0,001) (s)

t/ ± (0,001) (s)

t/ ± (0,001) (s)

(s) ±(εt/2^ ) (s)

T (s)

(±εT ) (s)

ln(T) (s)

±(ε ln (T) ) (s)

ln(L) (m)

(±εln(l) ) (m)

1,025 1,061 1,064 1,06 1,065 1,063 1,063 0,002 2,125 0,004 0,754 0,0053 0,025 0,

0,925 1,018 1,019 1,018 1,017 1,017 1,018 0,001 2,036 0,002 0,711 0,0028 -0,078 0,

0,825 0,961 0,965 0,963 0,964 0,961 0,963 0,002 1,926 0,004 0,655 0,0061 -0,192 0,

0,725 0,871 0,87 0,872 0,971 0,87 0,891 0,045 1,782 0,090 0,578 0,1558 -0,322 0,

0,625 0,839 0,841 0,839 0,841 0,841 0,840 0,001 1,680 0,002 0,519 0,0039 -0,470 0,

0,525 0,761 0,765 0,764 0,766 0,762 0,764 0,002 1,527 0,004 0,423 0,0094 -0,644 0,

0,425 0,697 0,699 0,697 0,698 0,699 0,698 0,001 1,396 0,002 0,334 0,0060 -0,856 0,

0,325 0,616 0,615 0,616 0,618 0,619 0,617 0,002 1,234 0,003 0,210 0,0143 -1,124 0,

0,225 0,524 0,521 0,521 0,521 0,522 0,522 0,001 1,044 0,003 0,043 0,0703 -1,492 0,

El error cometido a la hora de medir la longitud, lo hemos hallado tomando la mitad de la sensibilidad de la regla ya que se trata de un instrumento analógico. Como en este caso nuestra regla es milimetrada, el error será un milímetro entre dos:

εregla =0,001/2=0,0005mm

El error cometido a la hora de medir cada uno de los semiperiodos lo hemos calculado mediante su sensibilidad. Ya que su error es el incremento entre dos medidas que pueda mostrar el cronómetro, al tratarse de un aparato digital.

εcronómetro=0,001s

El error cometido a la hora de calcular la media de cada uno de los semiperiodos hallados, lo hemos obtenido multiplicando por tres la desviación estándar:

εt/2=

Para hallar el error cometido a la hora de calcular el periodo, lo obtenemos mediante la derivada parcial del periodo respecto del semiperiodo multiplicado por el error del semiperiodo. De tal forma que nos quede:

εt= * ε (^) t/2 = 2 * εt/

Para hallar el error tanto del logaritmo del periodo y del logaritmo de la longitud nos basta con hacer la derivada parcial del logaritmo de T respecto de T por el error del periodo y la derivada parcial de la longitud respecto de la longitud por el error de esta, respectivamente. De tal forma que quede:

ΕLn(T)= * εT

ΕLn(L)= * εL

A continuación, vamos a mostrar la representación gráfica del periodo en función de la longitud.

A continuación, vamos a mostrar la representación gráfica del logaritmo neperiano del periodo en función del logaritmo neperiano de la longitud.

Como se puede observar el logaritmo neperiano del periodo aumenta a medida que aumentamos el logaritmo neperiano de la longitud del hilo del péndulo.

Cabe destacar que las barras de error están representadas tanto en el eje y como en el eje x, pero debido a sus errores tan pequeños no se pueden apreciar.

A continuación, vamos a representar la ecuación de la recta, su coeficiente de correlación lineal y los valores de la pendiente y su ordenada en el origen:

• Ecuación de la recta

Ln(T) = 0,472*Ln(L) + 0,

• Ordenada en el origen

n=0,7398 ± 0,

• Pendiente

m=0,472 ± 0,

• Coeficiente de correlación

R² = 0,

Como se puede observar, las magnitudes representadas son directamente proporcionales, ya que, a medida que aumenta el logaritmo neperiano de la longitud, también lo hace el logaritmo neperiano del periodo. Además, podemos decir que la toma de datos ha sido bastante precisa debido a que el coeficiente de correlación nos da muy próximo a 1 (R²=0,9991)

Calcular el valor teórico para la pendiente de la recta anterior

A continuación, vamos a calcular el valor teórico de la pendiente de la recta mediante la que hemos representado el logaritmo neperiano del periodo en función del logaritmo neperiano de la longitud.

La pendiente teórica la obtendremos de la siguiente ecuación:

T = 2π *

Hecha ya la transformación (con logaritmos) obtenemos esta ecuación de la que obtenemos nuestra pendiente teórica:

Ln(T)= *Ln(L) + Ln( )

Como podemos observar la ecuación hallada es del tipo y =mx+n donde la pendiente es igual a m=1/

Comparando la pendiente teórica con la obtenida experimentalmente podemos deducir que hemos obtenido unos buenos resultados ya que no distan mucho una de otra.

m (^) exp=0,

m (^) teórica=0,

C alcular el valor de la aceleración de la gravedad.

A continuación, vamos a calcular el valor de la aceleración de la gravedad a partir de la ordenada en el origen que hemos obtenido (n=0,7398).

Tenemos que transformar la ecuación T=2 *() 1/2^ en una ecuación del tipo y=mx+n

Ln(T)= Ln(2 π * L 1/2^ * >>>>> Ln(T)= *Ln(L) + Ln( )

Una vez con la ecuación transformada podemos deducir que la ordenada en el origen equivale a la expresión Ln( ) y como sabemos que tiene que ser igual a 0,7398, nos bastará con igualar la expresión obtenida a dicho valor de tal forma que:

Ln( ) = 0,

Al despejar la g obtenemos que la gravedad tiene un valor de:

g=8,99 m/s^2

El error cometido a la hora de medir cada uno de los semiperiodos lo hemos calculado mediante su sensibilidad. Ya que su error es el incremento entre dos medidas que pueda mostrar el cronómetro, al tratarse de un aparato digital.

Εcronómetro=0,001s

El error cometido a la hora de calcular la media de cada uno de los semiperiodos hallados, lo hemos obtenido multiplicando por tres la desviación estándar:

εt/2=

Para hallar el error cometido a la hora de calcular el periodo, lo obtenemos mediante la derivada parcial del periodo respecto del semiperiodo multiplicado por el error del semiperiodo. De tal forma que nos quede:

εt= * ε (^) t/2 = 2 * εt/

Para calcular el error del ángulo, hemos tenido que hacerlo por derivadas parciales ya que se trata de una medida indirecta obtenida de la longitud del péndulo y la separación con la vertical. Hemos usado la siguiente fórmula:

ε (^) φ = (^) * εΔx + (^) * εLp

Siendo Δx el incremento de la longitud de la bola de acero respecto de la vertical y Lp la longitud del péndulo. De tal forma que nos queda la siguiente expresión:

ε (^) φ = * εΔx + * εLp

A la hora de calcular el error del seno de la mitad del ángulo, debemos hacer la derivada parcial del seno de la mitad del ángulo respecto del ángulo y multiplicarlo por el error correspondiente de cada ángulo. De tal forma que quede así:

= (^) * ε (^) φ

Por último, a la hora de calcular el error del seno al cuadrado de la mitad del ángulo, hemos hecho la derivada parcial del seno al cuadrado de la mitad del ángulo respecto del seno de la mitad del ángulo. Es decir:

= (^) *

De donde obtenemos la expresión final que queda de la siguiente forma:

= (^) *

Una vez obtenido todos los datos y sus errores nos disponemos a representar el periodo en función del seno al cuadrado de la mitad del ángulo en la siguiente gráfica:

A continuación, vamos a representar la ecuación de la recta, su coeficiente de correlación lineal y los valores de la pendiente y su ordenada en el origen:

• Ecuación de la recta

T = 0,7999* [sin 2 (φ 0 /2)] + 1,

• Ordenada en el origen

n= 1,4075± 0,

• Pendiente

Los errores de la medición del tiempo solamente puede ser un error del instrumento ya que se trata de una fotocélula y nadie tiene que pulsar ningún botón, por lo que el error es mínimo dado a su alta precisión y será menor a 0,001 segundo.

Como conclusión, yo creo que el error más notable no ha sido ni la regla ni la medición del tiempo, sino que al ir variando el ángulo a medida que lo hacemos más grande el error va aumentando porque no se produce un balanceo limpio y perfectamente centrado, como ocurre con ángulos pequeños. Es decir, al agarrar el péndulo para darle el impulso se desvía un poco respecto a la vertical ya se hacia la izquierda o derecha y a medida que aumentamos el ángulo el desvío se va haciendo más notable hasta que se aprecia el error.

6.DISCUSIÓN

¿En el punto 2 de los resultados, a qué se debe la posible desviación de at frente al valor obtenido para a (^) exp?

Podría deberse a un erro humano a la hora de hacer las medidas de la longitud del péndulo o un error en los instrumentos de medida, en este caso la regla y el cronómetro. Sin embargo, son errores poco probables ya que no son muy significativos. El error más probable que se ha podido dar es un error humano a la hora de soltar el péndulo para medir el tiempo que tarda en realizar una oscilación. Este error se da por no alinear perfectamente el péndulo con la vertical y darle un pequeño ángulo lateral que produce que la oscilación no se perfectamente limpia.

En el punto 3 de los resultados, comparar los valores teóricos a (^) t y bt con los valores experimentales y discutir el resultado.

Una vez que hemos obtenido los valores experimentales y teóricos de la pendiente y la ordenada en el origen de la ecuación que representa el periodo en función del seno al cuadrado del ángulo doble vamos a compararlos.

mexperimental = 0,7999± 0,

mteórica = 0,

nexperimental = 1,4075± 0,

nteórica = 1,

La ordenada en el origen nos ha salido muy parecida por lo que esta medida ha sido muy buena. Sin embargo, la pendiente experimental de la teórica dista mucho una de otra por algún tipo de error.

7.CUESTIONES

1. Discutir cómo puede influir en el cálculo de g realizado en el punto 2 de los Resultados la altura del laboratorio sobre el nivel del mar y la rotación de la Tierra. Dar una estimación de la influencia sobre la medida.

En cuanto a la altura del nivel del mar, los resultados han podido verse influidos por ella. Esto se debe a que la gravedad de la tierra se halla mediante la siguiente fórmula:

g=-G*

Entonces, como podemos observar la gravedad se ve influida por la altura, ya que a mayor altura menor será la gravedad.

2. Comparar esta forma de medir la aceleración de la gravedad con otra que se conozca

El instrumento que vamos a comparar para medir la gravedad se trata de un gravímetro. Este, es un aparato que se ha diseñado expresamente para medir el incremento de gravedad entre dos puntos distintos. Suelen ser masas en suspensión por medio de un muelle cuyo principio básico de funcionamiento es tener la masa suspendida, la cual le causa una elongación al muelle producida por la fuerza que actúa sobre la masa. Es decir, la fuerza de la gravedad.

Por otro lado, tenemos el péndulo simple que hemos estudiado que también sirve para medir la gravedad como bien hemos demostrado anteriormente. Sin embargo, en vez de medir la gravedad con un muelle y una masa como hace el gravímetro, la podemos medir realizando varias pruebas para minimizar el error y despejándola de la formula

Ln(T)= Ln(2 π * L1/2^ *

https://www.youtube.com/watch?v=ILE877O0koc&t=72s

https://es.symbolab.com/solver/partial-derivative-calculator/%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D% 7B%5Cpartial%20x%7D%5Cleft(arcsin%5Cleft(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%5Cright)% 5Cright)

https://www.ecured.cu/Pendiente_de_una_recta

https://www.google.es/search?q=simbolo+de+grado&oq=simbolo +de&aqs=chrome.0.69i59j69i57j0l4.2271j0j7&sourceid=chrome&ie=UTF-

https://es.symbolab.com/solver/partial-derivative-calculator/%5Cfrac%7B%E2%88%82%7D %7B%E2%88%82x%7D%5Cleft(arcsin%5Cleft(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D%5Cright)% 5Cright)

https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/derivadas/derivadas-trigonometricas-inversas- derivada-del-arcoseno-l

https://ekuatio.com/como-pasar-de-grados-a-radianes-y-de-radianes-a-grados/

https://historiafyq.wordpress.com/2016/10/24/galileo-y-el-pendulo/

https://web.archive.org/web/20180119201133/http://www.astronomia2009.org.mx/

http://www.dmae.upct.es/~pepemar/mateprimero/trigonometria/raztridoble.htm

https://geodesiaudec.wordpress.com/2010/11/24/formas-de-medir-la-gravedad/

http://personales.upv.es/jpadin/tema621.pdf