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Apuntes de M´etodos Num´ericos Semestre: Agosto 2020 - Enero 2021
UNIDAD II: RA´ICES DE ECUACIONES
2.2.2 M´ETODO DE NEWTON-RAPHSON.
El m´etodo de Newton-Raphson es, quiz´a, uno de los m´etodos m´as eficientes res- pecto a la convergencia, siempre y cuando se cumplan las condiciones necesarias y suficientes para la funci´on relacionada con la ecuaci´on que se quiere resolver. Para deducir la f´ormula de iteraci´on de Newton se hace uso de una herramienta ma- tem´atica llamada polinomios de Taylor visto en algunos cursos de c´alculo integral.
Definici´on 1 (Serie de Taylor). Sea f una funci´on que tiene derivadas de todos los ´ordenes en un punto x 0 2 R. Entonces se puede calcular los coeficientes de Taylor
an = f^
(n)(x 0 ) n!. Decimos que la serie de potencias
f (x) =
∑^1
n=
f (n)(x 0 ) n!
(x x 0 )n
es la expansi´on de de Taylor centrada en x 0. Se le llama el n-´esimo polinomio de Taylor a la expasi´on de la serie hasta el t´ermino n, esto es
Pn(x) = f (x 0 ) + f ′(x 0 ) (x x 0 ) + f ′′(x 0 ) 2!
(x x 0 )^2 +... + f (n)(x 0 ) n!
(x x 0 )n^.
Supongamos que f 2 C^2 [a, b], lo que significa que f es una funci´on que se puede derivar dos veces en el intervalo [a, b]. Sea p 0 2 [a, b] una aproximaci´on de p tal que f ′(p 0 ) ̸= 0 y jp p 0 j es ”peque˜no”. Considere el primer polinomio de Taylor para f (x) alrededor de p 0 y evaluando x = p,
f (p) f (p 0 ) + f ′(p 0 )(p p 0 ) + f ′′(ξ(p))
(p p 0 )^2 2
donde ξ(p) est´a entre p y p 0. Dado que p es una soluci´on o ra´ız de la ecuaci´on f (x) = 0, entonces f (p) = 0 y
0 f (p 0 ) + f ′(p 0 )(p p 0 ) + f ′′(ξ(p)) (p p 0 )^2 2
Se requiere que jp p 0 j sea lo m´as peque˜no posible, de tal manera que (p p 0 )^2 es mucho m´as peque˜no a´un y as´ı
0 f (p 0 ) + f ′(p 0 )(p p 0 ). 1
2
Despejando a p
p p 0 f (p 0 ) f ′(p 0 ) Y esta ´ultima expresi´on nos prepara para introducir el m´etodo de Newton-Raphson, el cual comienza con una aproximaci´on inicial p 0 y genera un sucesi´on fpng^1 n= definida por
(0.1) pn = pn 1
f (pn 1 ) f ′(pn 1 )
, para n 1.
Ejemplo 1. Encontrar una aproximaci´on de la ra´ız de la ecuaci´on x^3 = 5 + 2x^2 en el intervalo [2, 4] con una exactitud de 10 ^4 usando el m´etodo de Newton-Raphson.
Soluci´on. Ya habiamos encontrado una aproximaci´on de la ra´ız de esta ecuaci´on con el m´etodo de punto fijo. Ahora aplicamos la f´ormula de iteraci´on de Newton- Raphson (0.1) para encontrar la r´aiz. Primero modificamos la ecuaci´on x^3 = 5+2x^2 a la forma x^3 2 x^2 5 = 0. La funci´on es f (x) = x^3 2 x^2 5 y su derivada es f ′(x) = 3x^2 4 x. Y evaluando en las dos funciones en x = pn 1 tenemos
f (pn 1 ) = (pn 1 )^3 2(pn 1 )^2 5
y f ′(pn 1 ) = 3(pn 1 )^2 4(pn 1 ).
Y sustituimos en la ecuaci´on (0.1)
pn = pn 1
(pn 1 )^3 2(pn 1 )^2 5 3(pn 1 )^2 4(pn 1 )
, para n 1.
Comenzamos la primer iteraci´on consideramos el mismo punto inicial p 0 = 3 que en el m´etodo de punto fijo, y obtener p 1
p 1 = p 0
(p 0 )^3 2(p 0 )^2 5 3(p 0 )^2 4(p 0 )
(3)^3 2(3)^2 5
3(3)^2 4(3)
Para la segunda iteraci´on
p 2 = p 1
(p 1 )^3 2(p 1 )^2 5 3(p 1 )^2 4(p 1 )
Para la tercera iteraci´on
p 3 = p 2
(p 2 )^3 2(p 2 )^2 5 3(p 2 )^2 4(p 2 )
Y as´ı sucesivamente se obtienen
p 4 = 2. 690647448 p 5 = 2. 690647448
Como podemos observar fue suficiente con hacer 4 iteraciones para llegar a una aproximaci´on de la ra´ız con un estimaci´on de 5. 28 10 ^7. Por lo que concluimos que una muy buena aproximaci´on de la ra´ız de x^3 = 5 + 2x^2 es p = 2.690647448.
