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modelos continuos de prob, Apuntes de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

modelos de probabilidade contínuos - modelo uniforme, modelo exponencial, modelo normal

Tipo: Apuntes

2019/2020

Subido el 12/03/2020

catarinarilho
catarinarilho 🇪🇸

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MODELOS CONTÍNUOS
Utiliza-se em variáveis aleatórias contínuas
É uma função contínua cujo domínio um intervalo, ou
intervalos, onde a função está definida
A esta função chama-se função densidade
O seu gráfico está completamente acima do eixo dos xx
Quando a variável é discreta, a soma de todas as probabilidades
associadas a cada valor da variável é igual a 1.
Quando a variável é contínua, a área total compreendida entre o
gráfico da função densidade e o eixo dos xx é igual a 1.
Seja X uma variável aleatória contínua
,- a probabilidade num dado ponto é zero
P(X=k)=0
,- a probabilidade num dado intervalo corresponde à área
entre a função densidade e o eixo dos xx, dentro deste
intervalo
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¡Descarga modelos continuos de prob y más Apuntes en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity!

MODELOS CONTÍNUOS

 Utiliza-se em variáveis aleatórias contínuas

 É uma função contínua cujo domínio um intervalo, ou

intervalos, onde a função está definida

 A esta função chama-se função densidade

 O seu gráfico está completamente acima do eixo dos xx

Quando a variável é discreta , a soma de todas as probabilidades

associadas a cada valor da variável é igual a 1.

Quando a variável é contínua , a área total compreendida entre o

gráfico da função densidade e o eixo dos xx é igual a 1.

Seja X uma variável aleatória contínua

̶- a probabilidade num dado ponto é zero

P ( X = k )= 0

̶- a probabilidade num dado intervalo corresponde à área

entre a função densidade e o eixo dos xx, dentro deste

intervalo

I – MODELO UNIFORME

 Utiliza-se quando a variável aleatória contínua se encontra

uniformemente distribuída num intervalo qualquer [a, b]

 se considerarmos dois subintervalos com a mesma amplitude,

a probabilidade que lhes está associada é exatamente a

mesma

o modelo uniforme tem função densidade de probabilidade:

f ( X )=

ba se X ∈ [ a ,b ] 0 se X ∉ [ a , b ]

A sua representação gráfica é

O valor médio é dado por μX = E^ (^ X^ )^ =^

a + b 2 P ( c ≤ X ≤ d )=

ba

× ( c − d ) ou

cd ba

Exemplo1:

Suponha que o tempo de duração de pequenos anúncios num

canal de televisão é uma variável aleatória contínua

uniformemente distribuída entre 7 segundos e 18 segundos.

pensar em “unidades (de um intervalo) necessárias para que

ocorra um sucesso”

o modelo exponencial tem função densidade de probabilidade:

f ( X )= { λ ∙ eλx se X ∈ [ 0 , + ] 0 se X ∉ [− ∞ , 0 ] λ > 0

O valor médio é dado por μX = E^ (^ X^ )^ =^

λ P ( a ≤ X ≤ b )= eλaeλb

Exemplo 2:

Uma empresa de fabrico de discos rígidos de computador sabe

que, no modelo XPTO20, o tempo entre falhas (em centenas de

horas) pode ser modelado por um modelo exponencial de

parâmetro λ =0,

2.1. Qual é a probabilidade de o disco rígido não ter nenhuma

falha nas primeiras 200 centenas de horas de

funcionamento?

2.2. Determine o tempo médio entre falhas (MTFB – Medium

Time Between Failures )

2.3. Sabendo que o disco não teve nenhuma falha nas primeiras

200 centenas de horas, determine a probabilidade de falhar

nas 300 centenas de horas seguintes.

Atividade 6 (página 188)

III – MODELO NORMAL

 Representada por uma curva– chamada curva de Gauss

 A curva tem a forma de sino e é simétrica em relação à média,

a que corresponde o valor máximo da curva

 Fica completamente definida pelos parâmetros média ( μ ) e

desvio-padrão ( σ^ )

 A área total sob a curva é igual a 1 (ou 100%)

 À medida que o tamanho das amostras aumenta, melhor é a

aproximação do modelo normal (Teorema do limite central)

o modelo normal tem função densidade de probabilidade:

f ( X )=

∙ e −( Xμ )^2

2 σ^2 , μ ∈ R , σ ∈ R +^ ¿¿

Diz-se que a variável aleatória X tem uma distribuição normal de

parâmetros μ^ e σ^ , e representa-se por X^ N^ ( μ^ ,^ σ^ )