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MODELOS PROBABILÍSTICOS CONTINUOS
DISTRIBUCIÓN UNIFORME EN UN INTERVALO
Definición : Una variable aleatoria continua X sobre un espacio de probabilidad (S, A, P), tiene distribución
uniforme en un intervalo ( a ; b ), a < b, y se indica X U (a; b) si su función de densidad de probabilidad es
constante en ese intervalo.
x
a x b f x b a
0 paraotrosvalores de
1
Gráfico 1
Observación. Si X U (a; b) entonces f es una función de densidad de probabilidad.
- f ( x ) 0 x R
-
f x dx 1
En efecto:
1 b a
f x puesto que a < b por lo que b – a > 0 entonces su inverso multiplicativo también es
positivo
b
b
a ba
a
b -
b
a
a
- -
f x dx f x dx f x dx f x dx 0 dx dx 0 .dx
1
1 1
x b a ba
b
b a a
Puede observarse que los parámetros de este modelo son a y b.
Se usa la siguiente notación X es U( a, b ) (“ X es uniforme con parámetro a y b ”)
Integrando f ( x ), obtenemos la función de distribución del modelo uniforme.
(^)
x
-
F x f u du
Entonces:
b a
x a u b a
du b a
du b a
F x
x
a
x
a
x
a (^)
De manera que
x b
a x b
x a
F x b a
x a
1 si
si
0 si
Gráfico 2
a x b x
F ( x )
1
F ( x )
a x b x
f ( x )
b a
1
f ( x )= 0
f ( x ) = b a
1
f ( x ) = 0
Esperanza y Varianza
2 2 2 a b
b a.
b a b a.b a
b a
x
b a
xdx b a
dx x..dx b a
x..dx x.
E X x.f x dx x.f x dx x.f x dx x.f x dx
b
a
b
b a
b
a
a
b
b
a
a
Luego, ^
a b E X
Para calcular la varianza necesitamos obtener primeramente E ( X
2 ).
(^3) 3 3
2 2
2 2 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2 2
b ab a
b a.
b a. b ab a
b a
b a
x
b a
x dx
b a
dx x ..dx
b a
x. .dx x
E X x .f x dx x .f x dx x .f x dx x .f x dx
b
a
b
b a
b
a
a
b
b
a
a
Entonces
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
b ab a a ab b b ab a b^ a
b ab a a b b ab a a ab b D X E X E X
Por lo tanto,
2 2 b a D X
Cuando una variable aleatoria está uniformemente distribuida en el intervalo ( a , b ), su densidad es simétrica
en el centro del intervalo 2
a b y así este valor es tanto la media como la mediana de la distribución. (Observe
el Gráfico 1).
Desviación típica.
2 b a D X
Ejemplo. Un colectivo pasa por cierta parada cada 15 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que un señor
que llega en un momento dado tenga que esperar el colectivo más de cinco minutos?
Se define la variable aleatoria X que indica el tiempo de espera, entonces X es U(0, 15). Se calcula en primer
lugar la función de distribución:
1 si 15
si 0 15
0 si 0
15
x
x
x
F x
x
La probabilidad pedida viene dada por: 067
P X 5 1 P X 5 1 F 5 1 ,
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de
distribución describe procesos en los que:
Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que,
el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t , hasta que ello ocurra en un instante tf ,
no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.
Ejemplos de este tipo de distribuciones son:
El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue
este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la datación de fósiles o cualquier materia
orgánica mediante la técnica del carbono 14, C
14 ;
De manera que: ^
x
e x F x
x
Gráfico 4
Esperanza y Varianza
^
lim
lim
lim
lim
2 2
0
0
2
0
0
0 0
0 0
0 0 0
e e
.e
.e
t
x.e e
e dx
x.e E X x.f x dx x. .e dx x.e dx
t t t^ t
t x
t
t x
t
x
x x x
^
Luego,
E X
Para obtener la varianza calculamos E ( X
2 ):
0 2
2
0
2
0
E X x .f x dx x. .e dx x .e dx
x x
Entonces: ^ ^ ^ ^ ^ ^ 2 2 2
D X E X E X
Desviación típica
2
D X
Ejemplo
En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de 0
210 (^) 84 P. Sabiendo que la duración media de un
átomo de esta materia es de 140 días, ¿cuántos días transcurrirán hasta que haya desaparecido el 90% de
este material?
El tiempo X de desintegración de un átomo de 0
210 84 P es una variable aleatoria de distribución exponencial.
Como la duración media de un átomo de 0
210 84 P es de 140 días, se tiene que 140
Entonces el tiempo que transcurre hasta que el 90% del material radiactivo se desintegra es:
ln 01 140 ln 01 322 días
1 09 1 09 ln ln 01
F x e , e , x. e , x , ,
x x
Consideremos otro ejemplo:
Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución
exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha
implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si el marcapasos lleva
funcionando correctamente 5 años en un paciente, ¿cuál es la probabilidad de que haya que
cambiarlo antes de 25 años?
Sea X la variable aleatoria que mide la duración de un marcapasos en una persona. Tenemos que X
sigue una distribución exponencial con
Entonces, 20 20 1 07135
20 16
1
P X F e ,
En segundo lugar
16
5
16
5
16
25
e
e e
F
F F
P X
P X
P X /X
Luego como era de esperar, por ser propio a un mecanismo exponencial,
P X 5 20 /X 5 P X 20
o sea, en la duración que se espera que tenga el objeto, no influye en nada el tiempo que en la
actualidad lleva funcionando. Es por ello que se dice que ``la distribución exponencial no tiene
memoria".
Teorema. Sea X una variable aleatoria con distribución exponencial. Entonces para dos enteros positivos
cualesquiera s y t : P ^ X s t/X s ^ P ^ X t
RELACIÓN ENTRE EL MODELO EXPONENCIAL Y EL MODELO DE POISSON
El modelo exponencial puede obtenerse a partir del modelo de Poisson.
Si una secuencia de eventos ocurre en el tiempo de acuerdo con la ley de Poisson, a un promedio de 𝜇
eventos por unidad de tiempo entonces la variable aleatoria que denota el tiempo transcurrido entre las
ocurrencias del evento tiene distribución exponencial con parámetro .
Ejemplo: Si las llegadas de pacientes a una clínica siguen la ley de Poisson, entonces la distribución del
tiempo entre las sucesivas llegadas es una variable exponencial.
Entonces, sea X la variable aleatoria tiempo de espera entre la ocurrencia de un evento y la ocurrencia del
evento siguiente (variable tiempo entre eventos) y procedamos a determinar la función de distribución de X ,
evaluando el evento ( X > x ) para cualquier intervalo de tiempo específico x. El evento ( X > x ) significa que es
un evento que todavía no ha ocurrido en el intervalo de tiempo (0; x ). De manera que si consideramos Y
variable aleatoria de Poisson que indica el número de ocurrencias de un evento en un intervalo de tiempo,
por la ley de Poisson la probabilidad del evento ( X > x ) es:
P X x P Y e e
0
con = . x donde : promedio de ocurrencias
Se tiene que P ( Y = 0) = P (no ocurra ningún evento en (0; x ))
Como resultado, la función de distribución acumulada de la variable exponencial es:
x F x P X x P X x e
1 1
donde es el número medio de las ocurrencias por unidad de tiempo o espacio en la distribución de Poisson,
x longitud del intervalo de tiempo entre los sucesos y e es la base de los logaritmos naturales.
La función de densidad de la variable exponencial es:
x f x F´ x. e
Consideremos el siguiente ejemplo:
Una sustancia radiactiva emite partículas α, el número de partículas emitidas sigue la Ley de Poisson a un
promedio de 2 partículas por segundo. Calcule la probabilidad de que:
Observación. Si X N(,
2 ) entonces f es una función de densidad de probabilidad.
- f ( x ) 0 para todo x.
2) ^
f x^ dx = 1
En efecto:
2 π
2 π
2 π
0
2
(^22)
1
2
2
2
2
2
x
x x
. e
f x e e
(^00)
σ.
σ σ
e dx e dx
x x 2
2
2
2
2 2
2 π
2 π
σ σ
Aplicamos en (1) integración por sustitución: du dx dx du
x u
Entonces: 2 1
2
2 π
2 π
2 π
2
2 2
2
2
2
2
e dx e ..du e du
u u
x
σ σ σ
Esperanza y varianza. E ( X ) = D
2 ( X ) =
2
Desviación típica. D ( X ) =
2
Proposición. Sea X N(,
2 ). Si f denota la función de densidad de X entonces:
- f está definida y es continua para todo x R.
- f es simétrica respecto de .
- f es creciente en (, ) y decreciente en (, ).
- f tiene puntos de inflexión en x = y x = + .
Demostración
- Las funciones potencia y exponencial son continuas para todo x R por lo tanto, su composición también
lo es.
- La función f es simétrica con respecto a x = .
Gráfico 6
Tomamos dos puntos: x 1 = + b y x 2 = – b que equidistan de x = .
x 2 = b x = x 1 = + b
Las ordenadas f ( x 1 ) y f ( x 2 ) deben ser iguales:
2
2
2
2
2
2 1
2 2 2 1 2 π
2 π
2 π
x b b
f x e e e σ σ σ
2
2
2
2
2
2 2
2 2 2 2 2 π
2 π
2 π
x b b
f x e e e σ σ σ
f ( x 1 ) = f ( x 2 ) x 1 , x 2 / x 1 y x 2 equidistan de x = .
- La función de densidad f presenta un máximo en x = .
2
2
1
2 π
x
f x e σ
e x
..
.x f´x e
x x 2
2
2
2
2 2
2
2 π
2 π
3 σ σ
Ahora, si:
0 posiblemáximoo mínimo
2 π
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x x
x
x
e
e
e x
.
x
x
x
3 σ
Calculamos la segunda función derivada:
2 π
2 π
2 π
2
2 2 3
2 2
2 2 3
2
2
2
2
2
2
x e
.
e
..
.x e
.
f´´x
x
x x
σ
σ σ
3
2 π
2 π
2 π
3
0
2 3
2 2 3
2
2
e
.
e
.
f ´´
σ σ σ
Por lo tanto, f tiene un máximo en x = :
Gráfico 7
Luego: f es creciente en (, ) y decreciente en (, ).
x =
Función de distribución
x x
u
x e du e du
u
2 2
2 2
Gráfico 10
RELACIÓN ENTRE EL MODELO N( ,
2 ) Y EL N(0, 1)
Proposición. Sea X N(,
2 ) entonces
X
Z es normal N(0, 1).
Demostración
2
2
2
2
2 2
D X
X
D Z D
EX
X
EZ E
Corolario. Sea X N(,
2 ) entonces:
a PX a
b a Pa X b
Para facilitar el cálculo de probabilidad con la Distribución Normal Estándar, existen tablas con ( x ) para
algunos valores de x.
Ejercicios resueltos:
Use la Tabla de la Distribución Normal Estándar para cada uno de los siguientes ejercicios.
Sea X variable aleatoria con Distribución Normal Estándar.
Calcule usando la Tabla
a) P ( X 1,45) = (1,45) = 0,
Gráfico 11
b) P ( X 1,45) = (1,45) = 0,
Gráfico 12
c) P ( X 1,45) = 1 – P ( X < 1,45) = 1 – (1,45) = 1 – 0,9265 = 0,
Gráfico 13
d) P (1,25 X 1,45) = (1,45) – (1,25) = 0,9265 – 0,8944 = 0,
Gráfico 14
e) Encuentre x tal que P ( X x ) = 0,64. En la Tabla, el valor de x correspondiente más cercano es 0,36.
Propiedad Importante
Entonces:
(a) (-a) = 1 (-a) (-a) = 1 – 2 .(-a)
(a)
(-a)
(-a)
a 0 a
a 0 a
