Solución Óptima y Algoritmo de Convergencia: Un Problema de Transporte, Diapositivas de Matemáticas

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Solución óptima y

Algoritmo de convergencia

Destino Origen 1 2 3 Oferta A (^45) 10 8 4 45 B 45 9 5 5 7 50 C 3 25 6 20 9 45 D 5 7 30 6 30 Demanda 90 30 50 170 Revisemos la tabla final de nuestro primer ejemplo, la solución inicial que nos proporciona es: Z 1 = X 11 C 11 +X 21 C 21 +X 22 C 22 +X 32 C 32 +X 33 C 33 +X 43 C 43 Z 1 = 45x10 + 45x9 + 5x5 + 25x6 + 20x9 + 30x Z 1 = 1390 X12 : C 12 - U 1 – V 2 = X13: C 13 - U 1 – V 3 = X23: C 23 - U 2 – V 3 = X31: C 31 - U 3 – V 1 = X 41 : C 41 - U 4 – V 1 = X42: C 42 - U 4 – V 2 = = 2 = - 5 = - 1 = - 7 = - 2 = 4

• 1 - 5
• 1 - 8
• 0 - 8
• 1 - 9

• 2 - 9
• 2 – 5 Comprobamos si nuestra SBFI es óptima. Para toda (i,j) tal que Xij es No Básica, se debe cumplir que Cij - Ui - Vj ≥ 0 Como existen 4 valores negativos, entonces la solución NO es ÓPTIMA, Por lo que, debemos procede a iterar para hallar la solución óptima.

También, podemos determinar la variable que ENTRA a la solución considerando el algoritmo mejorado para la prueba de Optimalidad. Verificando cada una de las trayectorias de revisión y los criterios de Costo marginal. [Explicadas en Algoritmo mejorado para prueba de Optimalidad). Destino Origen 1 2 3 Oferta A 45 10 8 4 45 B (^45) 9 5 5 7 50 C 3 25 6 20 9 45 D 5 7 30 6 30 Demanda 90 30 50 170 + +

- - Obteniendo los C osto M arginales U nitarios de cada celda vacía ( Variable No Básica ) CMUA2 = X 11 = + 8 - 5 + 9 - 10 = 2 (Empeora la solución) CMUA3 = X 13 = + 4 - 9 + 6 – 5 + 9 - 10 = - 5 (Mejora la solución) CMUB3 = X 23 = + 7 - 9 + 6 - 5 = - 1 (Mejora la solución) CMUC1 = X 31 = + 3 - 9 + 5 - 6 = - 7 (Mejora la solución) CMUD1 = X 41 = + 5 - 9 + 5 – 6 + 9 - 6 = - 2 (Mejora la solución) CMUD2 = X 42 = + 7 - 6 + 9 - 6 = 4 (Empeora la solución)

1. Para determinar la variable que ENTRA a la solución, debemos elegir la variable no básica que tenga el valor negativo mas grande [En términos absolutos]. ( si existen 2 o más variables no básicas con el mismo valor elegir la que tenga el menor costo de transportación).
2. Para determinar la variable que SALE debemos “definir trayectorias de revisión”, también llamadas «loops» o «reacción en cadena». En este punto se definen dos tipos de variables para receptoras y donadoras, de acuerdo a la variación de signo que se produzca en el polígono que permite la transferencia desde la variable de salida a la variable entrante. El valor de las variables básicas se ajusta para satisfacer las restricciones de oferta y demanda.

Destino Origen 1 2 3 Oferta A 45 10 8 4 45 B 45 9 5 5 7 50 C 3 25 6 20 9 45 D 5 7 30 6 30 Demanda 90 30 50 170 **Para nuestro caso asignamos a Ɵ el valor de 25, y realizamos el circuito sumando y restando.

+**

- - Destino Origen 1 2 3 Oferta A 45 10 8 4 45 B 20 9 30 5 7 50 C 25 3 6 20 9 45 D 5 7 30 6 30 Demanda 90 30 50 170 Observe que después de las sumas y restas, hemos eliminado el cero resultado de restar 25- 25

Verificamos que cumpla con el criterio de equilibrio: m + n - 1 = # asignaciones. 4 + 3 - 1 = 6 asignaciones, y tenemos 6 variables básicas. Por lo tanto, Sí cumple. Destino Origen 1 2 3 Oferta A 45 10 8 4 45 B 20 9 30 5 7 50 C 25 3 6 20 9 45 D 5 7 30 6 30 Demanda 90 30 50 170 Procedemos a obtener el segundo valor de Z Z 2 = 45x10 + 20x9 + 30x5 + 25x3 + 20x9 + 30x Z 2 = 1215 ¿Es óptimo? Realizamos la prueba de Optimalidad (Por cualquiera de los 2 métodos vistos) y verificamos, que Z 2 = 1215 NO ES ÓPTIMO. Se continua iterando (repetimos los pasos) hasta encontrar la solución óptima.

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Actividad No. 4

Del siguiente problema de transporte, obtenga la Solución óptima. Utilice cualquiera de los 3 métodos vistos para obtener la SBFI. Se debe mostrar cada una de las iteraciones realizadas, así como, sus respectivas comprobaciones. Valor: 40 puntos

En la ampliación de de la carretera Mérida-Puerto Juárez, tramo parcial Valladolid-Chemax del kilómetro 163 + 000 al 192 + 550 se realizan trabajos de movimiento de tierras, los volúmenes de material preferentemente “sascab” que se requieren se obtendrán de bancos de material ubicados en la cercanía de la obra. Los acarreos se llevaran a cabo con volquetes de 8 m^3 de capacidad, en la región la tarifa de acarreo esta determinado por kilometro recorrido y es de $ 8. 90. Los datos requeridos para la resolución del problema se encuentran en el expediente técnico del proyecto (ver documento: Datos del proyecto). Analice toda la información técnica proporcionada y lleve a cabo: a) El planteamiento del problema. b) Obtenga la SBFI por cualquiera de los 3 métodos. c) Obtenga la Solución Óptima aplicando el algoritmo de convergencia. d) Interprete los resultados y redacte la argumentación de su solución considerando que el objetivo del modelo de transporte es Minimizar los costos.