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Modelos Probabilísticos
León Darío Bello P.
6.2 MODELOS PROBABILISTICOS.
Son modelos matemáticos apropiados para situaciones reales en condiciones especificas, son importantes por que nos ayudan a predecir la conducta de futuras repeticiones de un experimento aleatorio. Los modelos pueden ser discretos o continuos. Los modelos o distribuciones discretas más comunes son: La Uniforme, Binomial, Poisson y la Hipergeometrica Dado que el enfoque del texto es presentar los modelos más usados en investigación, y más específicamente en áreas sociales y humanísticas, acá se abordarán los temas de la Binomial, la cual es base para definir los tamaños muéstrales y la Poisson, de gran utilidad en teoría de colas o fenómenos de espera. Además, la Hipergeometrica en muchos casos (n grande) se aproxima con el modelo Binomial. En cuanto a las continuas, se utilizan fundamentalmente las siguientes: Z de la
Normal, T de Student, F de Snedecor y la Ji cuadrado ( ^2 ), las cuales serán
objeto de estudio. 6.2.1 MODELO BINOMIAL
Se utiliza además, para calcular probabilidades cuando los posibles resultados sólo pueden ser 2 sucesos excluyentes. Un modelo Binomial cumple las siguientes propiedades:
- El experimento tiene un número fijo de pruebas.
- De cada prueba solo puede presentarse uno de dos resultados. Un éxito o un fracaso.
- La probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso son constante para cada prueba.
- Cada una de las pruebas es independiente de todas las demás, es decir, lo que ocurre en una prueba cualquiera, no afecta los resultados de las otras pruebas. Si una variable aleatoria definida previamente cumple las condiciones anteriores, se dice que ella se distribuye Binomial con parámetros n, p y se
escribe: X b (x, n, p)
La función de probabilidad de densidad y de distribución acumulada de una
variable aleatoria X b (x,n,p) esta dada por:
Es un modelo discreto, es decir, la variable toma valores conocidos y finitos. Es utilizado en gráficos de control para análisis de número o porcentaje defectuoso, adicionalmente se utiliza para calcular probabilidades de aceptación o rechazo de lotes en muestreo de aceptación, de ahí su importancia. Sintaxis en Excel: DISTR.BINOM(núm_éxito;ensayos;prob_éxito;acumulado) Núm_éxito: X Ensayos: n Prob_éxito: p Acumulado. Si el argumento es VERDADERO, devuelve la función acumulada; si es FALSO, devuelve la densidad de probabilidad.
f.d.p
F.D.A
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León Darío Bello P.
Donde: !( )!
x n x
n x
n
n! = 2 * 3 * 4 * ..... ( n - 1 ) * n , por ejemplo 5! = 2 * 3 * 4 * 5
0! = 1
P = probabilidad de éxito y es igual a: x/n.
Q =1-p. Es decir, es el complemento de la probabilidad de éxito.
Los parámetros relevantes de la Binomial son: x = E[x] = np y su varianza V[x]
= x^2 = np(1 - p).
Si bien prácticamente todos los libros poseen los valores tabulados para valores de n pequeños y de p comunes, ahora es posible calcular estas probabilidades con la ayuda del Excel.
Ejemplo 1: Según el último estudio sobre favorabilidad del actual gobernante, éste tiene a su favor el 52% de todos los habitantes mayores de edad. Si de esta población se selecciona al azar 5 personas, a) ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de personas estén a favor del mandatario?, b) máximo 3, c) entre 2 y 4 inclusive estén a favor, d) cuál es el valor esperado y su desviación.
Solución manual.
Sea X = número de personas a favor del mandatario.
Lo primero a determinar es si cumple los requerimientos del modelo Binomial.
La prueba se realiza 5 veces.
Lo que diga una persona es independiente de la opinión de otra.
Sólo se puede presentar un solo resultado, a favor o no.
Al cumplir los requerimientos, entonces, X b (x, 5, 0.52)
Donde P = éxito = 0.
Q = fracaso = 0.
Reemplacemos los valores en la formula.
a) P(x=3) = 10*(0.52)^3 *(0.48)^2 = 0.
Sólo se requiere dar Click en el botón fx para luego seleccionar funciones estadísticas, tal como se aprecia en el cuadro de la izquierda.
Existe una probabilidad moderada de que 3 personas estén a favor del gobernante.
Otra manera de escribir la f.d.p.
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León Darío Bello P. Estadístico
Ejemplo 2: Se estima que en una cirugía al hígado el 10% de los pacientes muere. Si la operación se realiza a 3 personas, cual es la probabilidad de que: a). Exactamente 2 mueran. b). No más de 2 se mueran. c) Al menos 1 pero no más de 2 se mueran.
El objetivo fundamental de éste ejemplo, es mostrar como funciona la tabla diseñada para calcular las probabilidades Binomiales, en la dirección de Internet http://personal5.iddeo.es/ztt/pra/p1_binomial000.htm se encuentra la tabla usando la f.d.p. es decir, muestra las probabilidades puntuales. El pantallazo se presenta luego del ejemplo.
P(X=2) = 0.
P(X 2) = 0.7290+0.1354+0.0071 =0.
P(X=1) + P(X=2) = 0.2430+0.0270 = 0.
6.2.2. Modelo Poisson.
Es una distribución discreta, tiene su principal aplicación en teoría de colas o fenómenos de espera y en control estadístico de calidad, así, como para calcular probabilidades en eventos escasos y en intervalos de tiempo y espacio. Ejemplo, cuál es la probabilidad de que lleguen 5 llamadas en un minuto a un conmutador?, cuál de que se encuentren 4 huecos en un kilometro? Sintaxis en Excel: POISSON(x;media;acumulado). X es el número de sucesos. Media es el valor numérico esperado, usualmente se conoce como lambda .
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Se deben cumplir los siguientes supuestos, el número de llegadas de los sucesos en el intervalo objeto de estudio, ocurren de manera aleatoria y por ende son independientes entre sí, el modelo está definido completamente por
su promedio .
Por último, se debe resaltar, que el promedio, , es proporcional al intervalo
que representa, es decir, sí =2 muertos/semana , entonces, =
muertos/mes.
Si una variable aleatoria definida previamente cumple las condiciones anteriores, se dice que ella se distribuye Poisson con parámetro y se denota así:
X P (x, )
La función de probabilidad de una variable aleatoria X P (x, ) esta dada
por:
x
e f x P x x
x i
, para x = 0, 1,2,.......
Donde:
e= 2.72782 base de los logaritmos neperianos.
Los parámetros relevantes de la Poisson son: x = E[x] y su varianza V[x] = x^2
= x
La función de distribución acumulada esta dada por:
P(X x) = F(x) =
x
e f x Px x
x i
Por último, los parámetros relevantes de la Poisson son: x = E[x] = y su
varianza V[x] = x^2 = , luego la desviación es = raíz( ).
No sobra recordar que es el promedio, luego se calcula como la sumatoria de
los valores dividido por el número de ellos.
Ejemplo 1: El número promedio de individuos que llegan a solicitar información sobre un nuevo producto es de 5 por hora. Determine la probabilidad de que, en una hora determinada, lleguen: a) exactamente 2 usuarios, b) a lo sumo 4, c) más de 4, d) 2 en media hora.
Solución manual.
Sea X= número de personas que solicitan información sobre el producto.
Lo primero a determinar es si cumple los requerimientos del modelo Poisson.
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Ejemplo 2: El número promedio de errores que se detectan en las páginas de los periódicos locales es de 3 por página, determine la probabilidad de que en la página 8 del periódico matutino encuentre:
a. Exactamente 3 errores, b) a lo sumo 4, c) más de 4 en la página 10, d) 2 en dos páginas.
Solución manual.
Sea X= número de errores por página
Requerimientos del modelo Poisson.
Los errores ocurren de manera aleatoria.
Los sucesos ocurren en un intervalo de espacio – página -
X P (x, ). Donde = 3 errores /página.
Reemplacemos los valores en la formula.
a) P(x=3) = (2.7182)-3*3^2 = 0.2240 Existe una moderada posibilidad de
3! que se encuentren 3 errores en una página.
b) P(X 4) = F(4) = P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3) + P(X=4) = 0.
c) P(X >4) = 1 – P(X 4) = 1- 0.8152 = 0.1848. Es poco probable que se
presenten más de 5 errores.
d) Dado que se cambio la unidad de medida, el promedio se altera.
= 6 errores /2 páginas.
P(x=2) = (2.7182)-6*6^2 =0.
2!
Solución Excel.
=POISSON(3;3;0) = 0. = POISSON(4;3;1) = 0.
1 - =POISSON(4;3;1) = 1 - 0.8152 = 01848
=POISSON(2;6;0) = 0.
Solución Tablas.
Valores de
X 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.36789 0.22314 0.13534 0.08209 0.04979 0.03020 0.01832 0.01111 0. 1 0.36789 0.33471 0.27069 0.20523 0.14937 0.10570 0.07327 0.05000 0. 2 0.18395 0.25103 0.27069 0.25653 0.22406 0.18498 0.14654 0.11249 0. 3 0.06132 0.12552 0.18046 0.21378 0.22406 0.21581 0.19539 0.16874 0. 4 0.01533 0.04707 0.09023 0.13361 0.16805 0.18883 0.19539 0.18983 0. 5 0.00307 0.01412 0.03609 0.06681 0.10083 0.13218 0.15631 0.17085 0. 6 0.00051 0.00353 0.01203 0.02784 0.05041 0.07711 0.10421 0.12814 0. 7 0.00007 0.00076 0.00344 0.00994 0.02161 0.03855 0.05955 0.08237 0. 8 0.00001 0.00014 0.00086 0.00311 0.00810 0.01687 0.02977 0.04634 0. 9 0.00000 0.00002 0.00019 0.00086 0.00270 0.00656 0.01323 0.02317 0. 10 0.00000 0.00000 0.00004 0.00022 0.00081 0.00230 0.00529 0.01043 0. 11 0.00000 0.00000 0.00001 0.00005 0.00022 0.00073 0.00192 0.00426 0.
Existe una moderada posibilidad de encontrar exactamente 2 errores en 2 páginas.
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León Darío Bello P. Estadístico
12 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00006 0.00021 0.00064 0.00160 0. 13 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00006 0.00020 0.00055 0. 14 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00001 0.00006 0.00018 0. 15 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00002 0.00005 0. 16 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00002 0. La tabla anterior, se construyó utilizando la hoja electrónica Excel, y se optó por la tabla no acumulada, sin embargo, la construcción de la tabla acumulada se hace de manera similar.
a) P(x=3) = 0.2240 El número se ubica en la Intersección de =3 y X=
b) P(X 4) = F(4) = P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3) + P(X=4)
c) P(X >4) = 1 – P(X 4) = 1- 0.8152 = 0.1848.
El manejo de tabla es similar para cada valor de X, valga decir, si cambia el
promedio, la probabilidad se encuentra en el cruce entre y el valor de X.
Aproximación del modelo Binomial al modelo Poisson: Como ya observó, con ayuda de software con aplicaciones estadísticas es innecesario realizar aproximaciones, ya que el objetivo de éstas, es disminuir la parte operativa del proceso, situación que en la actualidad no es necesario realizarse. Una persona que según sus hábitos tiene una probabilidad de infectarse de 0.01 por día. En muestras de 100 sujetos cada una. Cuál es la probabilidad de que al finalizar el primer día no haya ningún infectado?
El modelo es Binomial, sin embargo, no se tienen valores tabulados para una muestra de 100, además, por fórmula, se presume que es tedioso realizar el cálculo, por esa razón, se ha usado la aproximación al modelo Poisson. No obstante, con la ayuda del Excel, se procede así, sin necesidad de ajustes. =DISTR.BINOM(0;100;0.01;0) = 0.
En caso de aproximar con Poisson, = np =1, en cuyo caso dará:
=POISSON(0;1;0) = 0.3678 Valor que si el tamaño muestral fuese muy grande , puede tener diferencias significativas importantes.
Si se usa la tabla, el valor que se encuentra en la celda correspondiente a X= y =1, es de 0.6378.
6.2.3 MODELO NORMAL.
Sin duda, es la más usada de las distribuciones estadísticas, dado que tiene múltiples aplicaciones en todas las áreas del conocimiento. La sintaxis en Excel es: DISTR.NORM(x;media;desv_estándar;acum). X es el valor bajo el cual se encontrará el área (probabilidad) deseada, Media es la media aritmética de la distribución, Desv_estándar es la desviación estándar de la distribución y Acum es un valor lógico que determina la forma de la función. Si el argumento acum es VERDADERO, la función DISTR.NORM devuelve la función de distribución acumulada. Si el argumento media = 0 y desv_estándar = 1, la función DISTR.NORM devuelve la distribución normal
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León Darío Bello P. Estadístico
quirúrgica se demore: a) A lo sumo 100 minutos, b) Mínimo 200 minutos, c) Entre 110 y 190 y d) Mayor que 40 y menor de 240 y e) ¿Cuál es el tiempo requerido para que el 50% de las intervenciones terminen?.
Solución manual:
Sea X = tiempo que se demora una intervención quirúrgica
X ~ N ( , ^2 ); X ~ N (140, (50)^2 )
Si no se realiza el cambio de variable a se tendría que calcular
la integral, situación poco práctica en la actualidad.
Tipifiquemos:
Z =^50
X 140
~ N (0, 1)
a) P(x 100) = P
x 140
= P ( Z^ ^4 /^5
= P ^ Z ^0.^8 = 0.2119 Valor de la tabla normal.
b) P ( x 200) = 1 – P (x 200)
= 1 – P
x 140
= 1 - P
= 1 – P Z^ ^1.^2 = 1 – 0.8849 = 0.
c) P (110 x 190) = 0. 6 1. 0
P Z P Z
= P (Z < 1) – P (Z -0.6)
d) P (40 < x < 240) =
P Z = P (-2 < Z < 2)
= P (Z < 2) – P (Z -2) = 0.9772 – 0.0228 = 0.
e) Para el caso en que se tiene la probabilidad y el interés es determinar el valor de x, el proceso es inverso, es decir, se busca el valor de Z y se despeja el de x. Para el caso se tiene:
P(x x 0 ) = 0.
Aparte de la parte operativa, es importante interpretar el número hallado. Es relativamente probable que la cirugía se demore menos de 100 minutos. Es poco probable que la una intervención se demore más de 200 minutos, ya que la probabilidad es de 0.1151, aproximándose al cero.
Existe una probabilidad ligeramente mayor a la mitad de que la intervención dure entre 110 y 190 minutos.
Como se ve apenas lógico, es muy seguro que la intervención dure entre 40 y 200 minutos, dado que el intervalo de tiempo es muy amplio.
Z ^6 /^5
En este caso, se busca la probabilidad (0.50) dentro de la tabla normal, encontrando el valor de 0.00.
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León Darío Bello P.
P (Z<(x 0 - )/ )= P (Z<(x 0 -140)/50)= 0.
(x 0 -140)/50)= 0.00 probabilidad de la tabla normal. Al despejar x 0 se tiene:
x 0 = + p(Z) *
x 0 = 140 + 0.00 * 50 = 140.
Solución Excel:
Sea X = tiempo que se demora una intervención quirúrgica
X ~ N ( , 2); X ~ N (140, (50)2)
a) P(x 100).
=DISTR.NORM(100;140;50;VERDADERO)
b) P ( x 200) = 1 – P (x 200).
=DISTR.NORM(200;140;50;VERDADERO) = 0.
P ( x 200) = 1 – P (x 200)= 1 - 0.884930 = 0.
c) P (110 x 190)= P(z<190)-P(z<110)
=DISTR.NORM(190;140;50;VERDADERO) -
=DISTR.NORM(110;140;50;VERDADERO)
d) P (40 < x < 240)= P(z<240)-P(z<40)
Se requieren de 140 minutos para terminar el 50% de las intervenciones quirúrgicas, con un poco más de experiencia, dicho valor se deduce al observar que el 50% de las observaciones se encuentran por debajo de la media, de ahí, la importancia de la figura para intuir, no sólo el lugar del área a encontrar, sino, la probabilidad.
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León Darío Bello P.
d) P(X>x 0 )= 0.05 Se pide el valor de tal manera que el 5% de los indigentes mayores pesen más. Esto quiere decir que el 95% pesarán menos, luego la expresión en términos de menor que, (para usar las tablas acumuladas) es:
P(x x 0 ) = 0.
P (Z<(x 0 - )/ )= P (Z<(x 0 -132)/15)= 0.
(x 0 -132)/15)= 1.
x 0 = + p(Z) *
x 0 = 132 + 1.645 * 15 = 156.
Solución Excel:
Sea X = peso de mayores indigentes en libras.
X ~ N ( , ^2 ); X ~ N (132,225)
a) P(x>155) = 1- P(x<155) =1 – 0.9374 = 0.
=DISTR.NORM(155;132;15;VERDADERO)
b) P ( x <100) = P (x 100) = 0,
=DISTR.NORM(100;132;15;VERDADERO) = 0,
c) P (105 x 143)= P(z<143)-P(z<105)
=DISTR.NORM(143;132;15;VERDADERO) -
=DISTR.NORM(105;132;150;VERDADERO)
d) P(x x 0 ) = 0.05. En éste caso, se requiere entrar la probabilidad para que el
procedimiento entregue el valor de x.
P(x < x 0 ) = 0.95.
Se busca la probabilidad (0.95) dentro de la tabla normal, encontrando el valor de 1.65. El cual se ajusta ya que esta a la misma distancia el valor de Z=1.64. Sólo el 5% de los indigentes pesan más de 156.67 libras.
Modelos Probabilísticos
León Darío Bello P.
=DISTR.NORM.INV(0,95;132;15) = 156.
En todos los casos se obtienen resultados similares y/o más precisos que los encontrados usando los valores de tablas.
Solución Tablas:
Al ser una variable continua, se pueden calcular infinitos valores de probabilidad, el objetivo de éste texto es ilustrar el manejo para aquellos casos en los que no pueda contar con el apoyo de sistemas electrónicos, por lo tanto, la tabla normal se construyó con Excel y se calcularon probabilidades para valores de Z múltiplos de 0.05, no obstante, para ilustrar el manejo con el ejemplo, se procedió a colocar los valores de Z para el ejemplo planteado, planteando de paso, que al tener la tabla en Excel, puede calcular cualquier valor de Z. No sobra comentar, que la tabla normal es acumulada y además, para valores menores de -3.1 la probabilidad va tendiendo a cero, mientras que para valores mayores de 3.1 la probabilidad tiende a 1.
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León Darío Bello P.
- Usando Excel calcule las siguientes probabilidades, teniendo en cuenta que el promedio es $755.000 y la desviación estándar es $45.000. Asuma comportamiento acampanado en los datos.
a) P(X>755.000). b) P(X<900.000) c) P(680.350<X<800.000) d) P(755.000<X<800.000) e) P(X>x 0 )= 0.75 f) P(X<x 0 )= 0. f) P(x 0 <X<x 1 )=0.
Compruebe los resultados anteriores de manera manual.
- Los siguientes datos representan las tasas de interés cobradas por un prestamista durante varios meses.
5.3 5.8 5.3 5.5 5.5 5.4 6.0 6.1 5.5 5.4 5. 5.2 5.4 5.6 5.4 5.3 6.1 4.9 5.5 5.3 5.4 6.0.
Compruebe si los datos son aproximadamente normales (cualquier método) y encuentre las siguientes probabilidades.
g) P(X>5.6). P(X<5.6) P(5.0<X<6.0) h) P(X<x 0 )= 0.15 P(X>x 0 )= 0.90 P(x 0 <X<x 1 )=0.
- Suponga que el 25% de cierta población tiene sangre tipo B. Si se selecciona una muestra de 15 personas calcular la probabilidad de:
a. Tres o más personas tengan ese tipo de sangre. b. Menos de dos tengan ese tipo de sangre. c. Entre dos y cuatro inclusive tengan ese tipo de sangre. d. Siquiera cuatro tengan ese tipo de sangre. e. Cual es el número esperado de personas con ese tipo de sangre.
- Si hay una probabilidad de 0.2 de que un niño cumpla los tiempos mínimos para pertenecer al equipo de natación. Cuál es la probabilidad de que de cuatro niños seleccionados al azar:
a. No se encuentre ninguno apto. b. Exactamente dos estén aptos. c. Máximo dos estén aptos. d. Mínimo dos estén aptos. e. Menos de cuatro pero más de uno.
- Por experiencia pasada se sabe que el 80% de las personas que se preparan adecuadamente para una actividad física, clasifican para representar al departamento en algún evento. Para un grupo de 20 personas, encuentre la probabilidad de que.
a. A lo sumo 15 nos representen. b. Puedan representarnos siquiera la mitad. c. Si el grupo fuera de 120 personas, cuantos se espera que nos representen.
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León Darío Bello P.
- El número promedio de llamadas que llegan al PBX de la Universidad es de 4.5 por minuto. Determine la probabilidad de:
a. En un minuto determinado ocurran 3 ó 4 llamadas. b. Mínimo 3 pero máximo 5. c. A lo sumo 5. d. Recalcule las probabilidades anteriores si el intervalo de tiempo fuera 30 segundos. Analice los cambios y utilice la herramienta más práctica para calcularlas.
- Un centro médico tiene un promedio de 12 usuarios todas las mañanas entre las 10:00 y las 11:00. Si las llegadas siguen una distribución Poisson, calcule la probabilidad de que:
a. Lleguen máximo 12 usuarios en esa hora. b. Lleguen entre 8 y 12 usuarios inclusive. c. Lleguen más de 10 pero menos de 15. d. Menos de 8 o más de 12.
- En la facultad de Psicología, las calificaciones de sus 500 estudiantes tienen una distribución normal con media 3.2 y varianza de 0.1444.
a. Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar pueda habilitar? b. Cuántos estudiantes se espera tenga una calificación de como mínimo 3.2? c. Qué porcentaje de estudiantes no habilitan? d. Si a los estudiantes de más de 4.0 los clasifican como muy buenos, cuantos de ellos están en dicha categoría?
