Probabilidades: Definiciones, Independencia y Distribuciones - Prof. Salafranca, Apuntes de Psicología

¡Descarga Probabilidades: Definiciones, Independencia y Distribuciones - Prof. Salafranca y más Apuntes en PDF de Psicología solo en Docsity!

UNITAT 4

FONAMENTS DE

PROBABILITAT

qüestions bàsiques

• lalala experiment aleatoriexperiment aleatoriexperiment aleatori és qualsevol procés que produeix observacions (per exemple,és qualsevol procés que produeix observacions (per exemple,és qualsevol procés que produeix observacions (per exemple, llançant una moneda).
• Els possibles resultats d'un experiment aleatori es diuen els resultats (els resultats ( per exemple, obtenir creu o caps quan llançar una moneda).per exemple, obtenir creu o caps quan llançar una moneda).
• lalala espai mostral,espai mostral,espai mostral, denotada perdenotada perdenotada per , és el conjunt de tots els possibles els resultats d'un experiment aleatori.
• Qualsevol subconjunt de l'espai de mostra es coneix com unaQualsevol subconjunt de l'espai de mostra es coneix com unaQualsevol subconjunt de l'espai de mostra es coneix com una esdeveniment,esdeveniment,esdeveniment, que pot serque pot serque pot ser simple o compost. A més trobemsimple o compost. A més trobem certesacertesa iii impossibleimpossibleimpossible esdeveniments.esdeveniments.esdeveniments.

X "Tossingacoin"

X "Tossinga moneda" ' HT'' '

qüestions bàsiques

• propietats principals (cont.):
  • lleis distributives:
  • i,i, Les lleis de DeMorgan:Les lleis de DeMorgan:

ABCACBC

ABCACBC

1 1

1 1

C C jo jo jo jo C C jo jo jo jo

la la

la la

DEFINICIONS de la probabilitat

• definició clàssicadefinició clàssica de probabilitat:de probabilitat:
• definició estadísticadefinició estadística de probabilitat:de probabilitat:
• definició geomètricadefinició geomètrica de probabilitat:de probabilitat:

() Pr ().

k

Pennsilvània Ob Una n

Pr () lim. n

k ob A

n

Pr ( / 2 / 2).

dx

ob x dx X x dx ba

La probabilitat condicional i INDEPENDÈNCIA

• Donats dos esdevenimentsDonats dos esdevenimentsDonats dos esdevenimentsDonats dos esdevenimentsDonats dos esdevenimentsDonats dos esdevenimentsla ila ila ila ila ila iB en un espai de la mostra i Prob (B) ≠ 0, laB en un espai de la mostra i Prob (B) ≠ 0, laB en un espai de la mostra i Prob (B) ≠ 0, laB en un espai de la mostra i Prob (B) ≠ 0, laB en un espai de la mostra i Prob (B) ≠ 0, laB en un espai de la mostra i Prob (B) ≠ 0, la probabilitatprobabilitatprobabilitatprobabilitatprobabilitatprobabilitat condicionalcondicionalcondicionalcondicionalcondicionalcondicional dedededededela donatla donatla donatla donatla donatla donatB es defineix comB es defineix comB es defineix comB es defineix comB es defineix comB es defineix com
• Els dos esdeveniments sónEls dos esdeveniments sónEls dos esdeveniments són independentindependentindependent si la següent expressió és veritable:si la següent expressió és veritable:si la següent expressió és veritable:
• Per tant, l'expressió també és cert quan els esdevenimentsPer tant, l'expressió també és cert quan els esdevenimentslala iiiB són independents:B són independents:B són independents:

Pr

Pr |.

Pr

ob AB

ob AB

ob B

Pr ob AB Pr un ob Pr ob B.

Pr ob AB| Pr un ob.

La probabilitat total i teoremes de Bayes

• Teorema de la probabilitat total: donatdonatdonatdonatlalalala jojojojo de ser tal quede ser tal quede ser tal quede ser tal que i , per a tot i ≠ j, amb

Prob (AProb (AProb (AProb (AProb (A i)i)i)i)i) ≠ 0 per a tot≠ 0 per a tot≠ 0 per a tot≠ 0 per a tot≠ 0 per a toti. Llavors per a qualsevol subconjunt B,i. Llavors per a qualsevol subconjunt B,i. Llavors per a qualsevol subconjunt B,i. Llavors per a qualsevol subconjunt B,i. Llavors per a qualsevol subconjunt B,

Cal observar que la reunióCal observar que la reunióCal observar que la reunióCal observar que la reuniólalalala jojojojo També podria ser infinita.També podria ser infinita.També podria ser infinita.També podria ser infinita.

• Bayes'Theorem:

1

n laii AA jo j

1

prob prob prob |.

n jo jo jo

B la BA

1

prob prob prob |

prob |.

prob (^) prob prob |

k k k k n jo jo jo

AB la BA AB B la BA

VARIABLES DE CLASSIFICACIÓ A L'ATZAR:

• variables aleatòries es poden classificar en
  • discret
    • finit
    • infinit
  • continu
    • absolutament contínua
    • parcialment contínua
• Depenent del nombre de variables, variables aleatòries es poden classificar en:
  • unidimensional
  • bidimensional
  • n-dimensional

MASSA funció de probabilitat: Variables aleatòries discretes

• La següent funció correspon a la definició de la funció de massa de probabilitat per a variables aleatòries discretes:

pk () Pr ob X k( ).

prob esdeveniment., Assajos 0,2,

distribució binomial

(^0 5 10) x 15 20 25 0

0,

0,

0,

0,

0,2 prob esdeveniment. 0,

distribució geomètrica

(^0 2 4) x 6 8 10 0

0,

0,

0,

0,

0,

prob esdeveniment. Els èxits, 0,45,

Distribució binomial negativa

x

(^00 10 20 30 40 )

0,

0,

0,

0,08 Significar 3

Distribució de Poisson

x

(^00 2 4 6 8 10 )

0,

0,

0,

0,

0,

0,

probabilitat probabilitat

probabilitat probabilitat

DISTRIBUCIÓ DE FUNCIÓ: variables aleatòries discretes

• funció de distribució acumulativa o funció de distribució per a variables aleatòries discretes es defineix com

F k () Pr ob X k( ).

prob esdeveniment., Assajos 0,1,

distribució binomial

x

(^00 2 4 6 8 )

0,

0,

0,

0,8 1

prob esdeveniment. 0,

distribució geomètrica

x

(^00 20 40 60 )

0,

0,

0,

0,8 1

prob esdeveniment. Els èxits, 0,1,

Distribució binomial negativa

(^0 50 100) x 150 200 250 0

0,

0,

0,

0,8 1

límit inferior, límit superior 0,

Discrete distribució uniforme

0 0,4 0,8 (^) x 1,2 1,6 2 0

0,

0,

0,

0,8 1

probabilitat acumulada probabilitat acumulada

probabilitat acumulada probabilitat acumulada

DISTRIBUCIÓ DE FUNCIÓ: variables aleatòries contínues

• funció de distribució acumulativa o funció de distribució per a variables aleatòries contínues es defineix com

() ().

x F x dx fx

És a dir, Std. prog.0,

distribució normal

• 5 - 3 - 1 1 3 5 x

0

0,

0,

0,

0,8 1

Significar 10

distribució exponencial

x

(^00 10 20 30 40 50 )

0,

0,

0,

0,8 1

límit inferior, límit superior0,

distribució uniforme

x

(^00) 0,4 0,8 1,2 1,6 2

0,

0,

0,

0,8 1

Forma 10

Distribució de Pareto

x

(^01) 1,5 2 2,5 3 3,5 4

0,

0,

0,

0,8 1

probabilitat acumulada probabilitat acumulada

probabilitat acumulada probabilitat acumulada

DESACORD

• Variància per a variables aleatòries discretes s'obté com
• Variància per a variables aleatòries contínues es calcula com segueix:
• La desviació estàndard s'obté com l'arrel quadrada de la variància.

2 2 2 2 1

Pr

a

jo jo jo

EX x ob X x

2 2 2 2 ()

b

1

EX x dx fx

Asimetria i curtosi

• La asimetria es pot calcular així:
• Kurtosis s'obté per mitjà de

4 4 4 2 3 4 3 4 3.

ExEx XE

3 3 3 1 3 3.

ExEx XE

distribució binomial

• Un experiment aleatori en el qual només hi ha dos resultats possibles disjunts i es diuUn experiment aleatori en el qual només hi ha dos resultats possibles disjunts i es diuElEl judici de Bernoulli. Si A i B indica els resultats admissibles, Prob (A) = i Prob (B) = 1 -.judici de Bernoulli. Si A i B indica els resultats admissibles, Prob (A) = i Prob (B) = 1 -.
• Suposem queSuposem queSuposem queSuposem queSuposem quen independentn independentn independentn independentn independentassajos de Bernoulli es duen a terme i la variable aleatòriaassajos de Bernoulli es duen a terme i la variable aleatòriaassajos de Bernoulli es duen a terme i la variable aleatòriaassajos de Bernoulli es duen a terme i la variable aleatòriaassajos de Bernoulli es duen a terme i la variable aleatòria d'interès és el nombre d'èxits. Aquesta variable aleatòria es diues diubinomial,binomial, representat per B (n,).
• Per distribucions binomials, la funció de massa de probabilitat i la funció de distribució acumulativa són els següents:

() Pr ( ) (1)(1) NKK NKK

n

pk ob X k

k (^0)

() Pr ( ) (1)

ik

jo

F k ob X k n^ NII

jo

distribució binomial