Módulo Matemática 2024, Transcripciones de Matemáticas

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CONTENIDOS

BÁSICOS DE

LÓGICA-MATEMÁTICA

ÁREA Y PERÍMETRO

El perímetro y el área son dos elementos fundamentales en matemática. Para ayudarte a

cuantificar el espacio físico y también para proveer las bases de matemáticas más

avanzadas como en el álgebra, la trigonometría, y el cálculo.

Perímetro

El perímetro de una figura plana es la distancia alrededor de la figura. Puedes imaginar una cuerda siguiendo los lados de la figura. La longitud de la cuerda será el perímetro. O caminar alrededor de un parque, caminas la distancia del perímetro del parque. Algunas personas encuentran útil pensar “peri-metro” donde peri es “periferia” y metro es “medida”.

Si la figura es un polígono , entonces puedes sumar todas las longitudes de sus lados para encontrar el perímetro. Ten cuidado de asegurarte que todas las longitudes están medidas en las mismas unidades. Medimos el perímetro en unidades lineales, que representan una sola dimensión. Ejemplos de unidades de medida de longitud son pulgadas, centímetros, o pies.

Por ejemplo:

El perímetro de es: P= 5cm+6cm+5cm+6cm=22cm Esto significa que una cuerda envuelta alrededor del polígono y que recorre toda la distancia, medirá 22 centímetros de largo.

Área del círculo

El rea de un r ulo es la superfi ie que o upa. ara hallarla es om n utilizar la siguiente f rmula r siendo el n mero pi utilizado en mu hos asos omo y r el radio de la circunferencia.

Teorema de Pitágoras

En todo tri ngulo re t ngulo de atetos a y b e hipotenusa h el lado opuesto al ngulo recto), el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

Recordemos que:  el tri ngulo es rectángulo porque tiene un ngulo re to es de ir un ngulo de grados.  la hipotenusa es el lado opuesto al ngulo re to  las ltimas f rmulas anteriores se o tienen de la primera.

Situaciones problemáticas

1) ¿Cuál es el área sombreada en la siguiente figura?

Se puede observar un círculo dentro de un cuadrado de L=9cm El Área del cuadrado será El Área del círculo será , como vemos en el dibujo el diámetro del círculo es 9cm, por ende su radio será 4,5cm. Por lo tanto: El área sombreada será la resta entre el área del cuadrado y el área del circulo:

2) Hallar el perímetro de la siguiente figura plana:

Podemos observar que el lado EF=6cm y el lado AB=4cm, por lo que el lado CD=6cm- 4cm=2cm. Por otro lado, el lado AF=5cm y el lado BC=3cm, por lo que el lado DE=5cm- 3cm=2cm. Visto que contamos con las medidas de todos los lados podemos sumarlos para hallar finalmente el perímetro de la figura. P=4cm+3cm+2cm+2cm+6cm+5cm=22cm

Ejercicios

1) Hallar el perímetro de cada una de las siguientes figuras planas:

a)

b)

LENGUAJE COLOQUIAL. LENGUAJE SIMBÓLICO

La gente en la vida cotidiana tiende a no pensar problemas reales en términos matemáticos. Usan el lenguaje común para describir estas situaciones. Pero las palabras se pueden traducir en el lenguaje de las matemáticas.

Lenguaje coloquial Es el que usamos normalmente, que puede ser oral o escrito, y está formado por las distintas palabras del idioma.

Lenguaje simbólico Se denomina así a las ideas matemáticas expresadas con un símbolo o grupo de símbolos.

En matemática constantemente pasamos del lenguaje simbólico al coloquial y viceversa, puesto que esto permite el planteamiento y la resolución de distintas situaciones problemáticas.

Algunos ejemplos sencillos de conversiones de un lenguaje a otro son:

Importante

· Para expresiones en lenguaje simbólico aquí utilizaremos la letra x (que es la más frecuente), aunque es indistinto usar cualquier otra letra. · Si entre un número y una letra no se indica la operación, se entiende que hay un signo de multiplicar. Ejemplo: 4 x = 4 .x.

Ejemplos · asamos la expresi n oloquial “el do le de un n mero disminuido en uno” a expresi n simbólica: 2 x - 1.

· Pasamos la expresión simbólica 4 x + (4 x + ) a expresi n oloquial “el u druplo de un número mas el consecutivo de este último.

Ejercicios

1) Unir con flechas según corresponda.

A un número le quitamos cinco x- 5 El doble de un número 2 x + 3 El cuadrado de un número 5x El quíntuplo de un número 2 x La suma de un número y su cuadrado x ² El doble del siguiente de un número x + x ² La suma entre el doble de un número y tres 2.( x + 1)

2) Unir con una flecha cada oración con su expresión simbólica.

3) Indicar simbólicamente, llamando x al número desconocido:

a) La suma entre un número y seis: ………………………. b) La diferencia entre ocho y un número: ………………… c) Un número disminuido en catorce: …………………….. d) El séxtuplo de un número: ……………………………... e) Nueve unidades menos que un número: ……………….. f) El doble de, un número aumentado en once: …………... g) El doble de un número aumentado en once: …………... h) El doble de un número más uno: ……………………… i) El quíntuplo de un número menos tres: ………………... j) El producto de un número y su consecutivo: …………... k) Un número entero impar: ………………………………

4) Completar la tabla

PORCENTAJE

En matemática, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción de 100 por iento que signifi a “de ada ”). Es a menudo denotado utilizando el signo por entaje % , que se debe escribir inmediatamente después del número al que se refiere, sin dejar espacio de separación. Por ejemplo: "treinta y tres por ciento" se representa mediante 33% y significa 'treinta y tres de cada cien'.

Un porcentaje es una fracción que tiene como denominador 100.

Cálculo de porcentajes

Para calcular el porcentaje de una cantidad se multiplica el número del porcentaje por la cantidad y se divide por cien.

Veamos un ejemplo dónde calcularemos el porcentaje de un número:

Porcentajes como aumentos y descuentos Los porcentajes se utilizan con frecuencia para indicar que una cantidad aumenta o crece.

Ejemplos

1) La temperatura media anual en una determinada localidad es de 20°C. Si la media aumenta un 2%, ¿cuántos grados aumentaría la temperatura media?

Los 20 grados son el 100%. Calculamos el 2%:

Un incremento del 2% en la temperatura sería un aumento de 0.4°C. Esto significa que la temperatura media sería de 20.4ºC, que es el 102ºC de la temperatura media actual.

2) La población de una ciudad pasó de 10 millones de habitantes a 9 millones en tan solo un año. ¿Qué porcentaje de decrecimiento poblacional hubo?

El número de habitantes inicial es el 100%. Como el decrecimiento fue de 1 millón, calculamos el porcentaje que representa esta cifra sobre el total:

Aplicamos regala de 3:

Hubo un decrecimiento del 10%.

Ejercicios

1. El número de habitantes de una localidad se redujo en 2500 habitantes, lo que supuso una caída del 25%. ¿Cuántos habitantes había antes y después de esta caída?
2. La puntuación de Diego en un videojuego empezó siendo de 1400 puntos. El primer mes, bajó la puntuación un 5%. El segundo, bajó un 10%. ¿Qué puntuación tiene Diego actualmente? ¿Qué porcentaje ha disminuido en total su puntuación?
3. Daniel ten a € en su uenta y en dos meses onsiguió ahorrar otro 55% del dinero que ya tenía. ¿Cuánto dinero ahorró en los dos meses?
4. El número de libros de Joana este año es un 35% superior al del año anterior. Si ahora tiene 810 libros, ¿cuántos libros tenía Joana el año pasado?
5. En 2010, el precio de la vivienda subió un 10%. En 2011, subió un 5%. ¿Cuál era el precio de una vivienda en si en era de 8 €? ¿Su i el pre io un 5% en estos dos años? ¿Por qué?

Ejemplos de proporcionalidad inversa

1) Supongamos que 3 pintores tardan 20 días en pintar un mural. Es claro que si duplicamos el número de pintores, el tiempo que se necesita para pintar la barda se reduce a la mitad, es decir 6 pintores tardarán 10 días. De igual manera si reducimos el número de pintores a una tercera parte, el tiempo requerido para realizar la misma tarea será el triple. Es decir 1 pintor, tardaría 60 días. Al saber lo que tarda un pintor, ya podemos completar una tabla como la siguiente.

Así que el número de personas que realizan una tarea es inversamente proporcional al tiempo que tardan. A mayor número de personas corresponde menos tiempo. A menor número de personas corresponde más tiempo.

2) Supongamos que un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h La velocidad y el tiempo son otro ejemplo de magnitudes inversamente proporcionales: A más velocidad corresponde menos tiempo. A menos velocidad corresponde más tiempo. Por lo que si doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la mitad. Es decir, si la velocidad es de 120 km/h el tiempo del trayecto será de 3 horas.

Ejercicios resueltos

1. Un grifo que larga 18l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7l por minuto?

“Son magnitudes inversamente proporcionales , ya que a menos litros por minuto tardará más en llenar el depósito.”

Solución:

l/min h l/min h

2. Tres obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros? “Son magnitudes inversamente proporcionales , ya que a más obreros tardarán menos horas.”

Solución:

obreros h obreros h

3. Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas? “Son magnitudes directamente proporcionales , ya que a menos horas se correrán menos kilómetros”.

Solución:

km h km h

kms

4. Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80 €, ¿cuánto pagará Ana? “Son magnitudes directamente proporcionales , ya que a más kilos, más euros.”

Solución:

kg € kg €

Ejercicios

1) El pre io por kilo de queso azul es de. 5€. ¿Cu nto nos ostar n 5g de queso? Indi ar si es una proporcionalidad directa o inversa. 2) Un autobús recorre 70km en dos horas. ¿Cuánto tardará en realizar un viaje de 345km? Indicar si es una proporcionalidad directa o inversa. 3) Si tardamos 3 horas en estudiar los 5 primeros temas del examen, ¿cuántas horas más necesitamos para terminar de estudiar si en total hay 17 temas? 4) Tres personas tardan 12 horas en pintar un muro. ¿Cuántas personas se necesitan si se quiere finalizar la tarea en tan solo 4 horas?

PROBABILIDADES

Probabilidad es un valor entre 0 y 1, que indica la posibilidad relativa de que ocurra un evento.

La fórmula de probabilidad es la siguiente:

Mientras más se acerca el valor de la probabilidad a 0, disminuye la posibilidad de que ocurra el evento. Mientras más se acerca el valor a 1, aumenta la posibilidad de que ocurra.

La probabilidad de que ocurra un evento es 0, si es imposible que ocurra ese evento. Por otro lado, la probabilidad de que un ocurra un evento es 1, si es seguro que ocurrirá ese evento.

Ejemplos

Ejemplo 1: La moneda de México, tiene 2 caras: águila y sello. ¿Cuál es la probabilidad de obtener águila al lanzar una moneda?

Solución: Primero calculamos el número total de casos posibles que se dan al lanzar la moneda. En este problema, son 2 casos posibles, se obtiene águila o se obtiene sello. Ahora, calculamos el número de casos favorables. Si lanzamos la moneda, tenemos 1 caso de águila. Por lo tanto, la probabilidad de obtener águila sería:

Podemos colocar como respuesta: 0,5 o 50%.

Ejemplo 2: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 5 al lanzar un dado?

Solución: Primero calculamos el número total de casos posibles que se dan al lanzar un dado. En este problema, son 6 casos posibles, ya que el dado puede arrojar 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Ahora, calculamos el número de casos favorables. Si lanzamos un dado, tenemos 1 caso en el que se obtiene 5. Por lo tanto, la probabilidad de obtener un 5 sería:

La respuesta sería: 0,1667 o 16,67%.

Ejercicios

1. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 3 al lanzar un dado?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que no salga un 4 al lanzar un dado?

3. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número menor o igual que 3 al lanzar un dado?

4. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 3 al lanzar un dado?

5. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número mayor o igual que 5 al lanzar un dado?

6. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número mayor que 5 al lanzar un dado?

7. Si en una bolsa hay 5 papeles rojos, 3 verdes y 7 violetas, ¿cuál es la probabilidad de que salga un papelito?

8. Si en una bolsa hay 5 papeles rojos, 3 verdes y 7 violetas, ¿cuál es la probabilidad de que salga un papelito negro?

9. Si en una bolsa hay 5 papeles rojos, 3 verdes y 7 violetas, ¿cuál es la probabilidad de que salga un papelito violeta?

10. Si en una bolsa hay 5 papeles rojos, 3 verdes y 7 violetas, ¿cuál es la probabilidad de que no salga un papelito rojo?

Tipos de gráficos estadísticos

Gráfico de barras Un gráfico de barras es una representación gráfica en un eje cartesiano de las frecuencias de una variable cualitativa o discreta.

En uno de los ejes se posicionan las distintas categorías o modalidades de la variable cualitativa o discreta (en el ejemplo, el tipo de cereal) y en el otro el valor o frecuencia de cada categoría en una determinada escala (en el ejemplo, la producción en millones de toneladas de granos).

Ejemplo:

Podríamos realizar las siguiente preguntas: ¿De qué cereal se produjo la mayor produccion? ¿Y la menor? ¿Cuántas toneladas de trigo se vendieron?

Gráfico de sectores Un gráfico de sectores es una representación circular de las frecuencias relativas de una variable cualitativa o discreta que permite, de una manera sencilla y rápida, su comparación.

Ejemplo

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

cebada trigo avena centeno

Producción agrícola 2007

Series

5 estrellas 4 estrellas 3 estrellas 2 estrellas 1 estrella

Podríamos hacer las siguientes preguntas: ¿Cuáles son los hoteles que predominan en esa ciudad turística? ¿Los hoteles de una estrella son los menos eligieron los turistas?

Gráfico de líneas En este tipo de gráfico se emplean líneas para delimitar el valor de una variable dependiente respecto de otra independiente.

También puede usarse para comparar los valores de una misma variable o de diferentes investigaciones utilizando el mismo gráfico (usando diferentes líneas). Es usual que se emplee para observar la evolución de una variable a través del tiempo.

Ejemplo: Veamos el precio de tres productos a lo largo del tiempo a través del siguiente gráfico:

Algunas preguntas que podrían hacerse: ¿En algún momento los tres productos valieron lo mismo? ¿Qué producto obtuvo el valor más alto del mercado? ¿En qué año?

Ejercicios

1) Observar el gráfico y responder: a) ¿Entre qué meses hubo una caída en la cantidad de milímetros llovidos? b) ¿En que mes la lluvia fue de 160ml? c) ¿En enero cuántos ml cayeron?