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1 MOVIMIENTOS COMBINADOS................................................................................................ 1
2 PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS................................................. 1
3 ALGUNAS COMBINACIONES POSIBLES................................................................................ 1
3.1 MRU + MRU.................................................................................................................................. 1
3.2 MRU+MRUV................................................................................................................................. 1
4 MOVIMIENTO PARABÓLICO.................................................................................................... 2
5 ECUACIONES............................................................................................................................... 2
6 BOMBARDEAR UN BLANCO MÓVIL DESDE UN AVIÓN.................................................... 3
7 MOVIMIENTO DE PROYECTILES CON ÁNGULO................................................................ 4
7.1 ALCANCE HORIZONTAL Y ALTURA MÁXIMA .................................................................... 5
7.2 DISPARO DE PROYECTILES...................................................................................................... 5
8 TIRO HORIZONTAL..................................................................................................................... 5
MOVIMIENTOS COMBINADOS
Un movimiento combinado se da cuando sobre un cuerpo actúan dos o más movimientos.
PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS
Cuando sobre un cuerpo actúan simultáneamente dos o más movimientos, cada uno lo hace independientemente de los demás. La posición que ocupa el móvil al cabo de cierto tiempo es la misma que si esos movimientos actuaran independientes unos de los otros y en forma sucesiva. Dicho de otra manera: si un cuerpo tiene un movimiento compuesto, cada uno de los movimientos componentes se cumple como si los demás no existieran. Ejemplo: Dejamos caer dos bolitas y, desde una misma altura, por ejemplo sobre una mesa, a una de ellas simplemente la dejamos caer, mientras simultáneamente damos a la otra un golpe hacia delante con el dedo. La primera sólo tiene un movimiento: el de caída libre. La segunda, en cambio, tiene dos: la traslación horizontal uniforme y el de caída. Ambas tardan el mismo tiempo en caer: el movimiento de traslación horizontal no tiene ninguna influencia sobre el de caída, que se cumple en el mismo tiempo, haya o no traslación horizontal.
ALGUNAS COMBINACIONES POSIBLES
MRU + MRU
Ejemplos1: Un bote se lanza a la corriente tratando de alcanzar la otra orilla de un río. Si quiere avanzar perpendicular a la orilla debe inclinar el bote, "remar torcido", así logrará avanzar derecho. De lo contrario, si rema perpendicular a la orilla, va a avanzar en forma oblicua debido al arrastre que ejerce sobre él la corriente. Ejemplo2: Un pasajero de un barco camina sobre cubierta (suponiendo que lo hace en línea recta), mientras el barco navega por un río cuyas aguas también se mueven.
MRU+MRUV MRU+TV : Ejemplo1 : Una persona va caminando. Saca una moneda del bolsillo y dándole un golpe verticalmente hacia arriba, la revolea. Sigue caminando, y sin encoger el brazo, la moneda cae nuevamente en su mano Ejemplo2 : Un ciclista que "anda sin manos" lanza hacia arriba un objeto, el cual en determinado instante de la trayectoria, vuelve a sus manos. El objeto, antes de ser lanzado, tiene la misma velocidad que el móvil. Al arrojarlo, le hemos impreso una nueva velocidad hacia arriba. En consecuencia, "al salir" de la bicicleta el objeto tiene dos velocidades. En el ascenso, posee movimiento uniformemente retardado, es decir, en cierto instante no sube más y comienza a caer. Como simultáneamente se va desplazando con la velocidad que poseía la bicicleta, en determinado punto de la trayectoria llega a las manos del ciclista.
MRU+CL: Ejemplos1: El lanzamiento de bombas y/o paracaidistas. para lograr, por ejemplo, que el proyectil caiga en el lugar deseado, su lanzamiento debe producirse antes de estar sobre él, y entonces, cuando la bomba llegue al suelo, el avión estará sobre ese lugar, como si detenido sobre ese sitio hubiera dejado de caer la bomba (Ver Principio de independencia de los movimientos)
Ejemplo2: Colocamos una bolita en el centro de una mesa y le damos un golpe con el dedo. Mientras está sobre la mesa se mueve con movimientos rectilíneo y uniforme (si la mesa es horizontal y no hay roce). Al llegar al borde, cae. Es decir, la bolita, al salir de la mesa, además de su movimiento rectilíneo y uniforme adquiere otro: el uniformemente variado de la caída libre: tiene, entonces, dos movimientos.
Otra posibilidad podría darse al combinar dos MRUV Estos problemas se resuelven aplicando en forma independiente las fórmulas correspondientes a cada movimiento (por el principio de independencia de movimientos). Para ver un ejemplo, podéis tener en cuenta el último problema de la sección de Tiro oblicuo, que también es un movimiento combinado.
MOVIMIENTO PARABÓLICO La composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado resulta un movimiento cuya trayectoria es una parábola.
- Un MRU horizontal de velocidad vx constante.
- Un MRUA vertical con velocidad inicial voy hacia arriba. Si un móvil se desplaza con aceleración constante (en módulo, dirección y sentido) y no coinciden las direcciones de su velocidad y de su aceleración, este móvil está describiendo un movimiento parabólico. Llamamos movimiento parabólico a la trayectoria de un objeto que describe un vuelo en el aire después de haber sido lanzado desde un punto cualquiera en el espacio. Si el objeto tiene una densidad de masa suficientemente grande, los experimentos muestran que, a menudo, podemos despreciar la resistencia del aire y suponer que la aceleración del objeto es debida sólo a la gravedad. Como de costumbre, vamos a definir el eje x como horizontal y el +y en la dirección vertical hacia arriba. En este caso la aceleración es a = - g. j , entonces:
Se recuerda que en movimiento parabólico, en el eje “x” es rectilíneo uniforme, mientras en el eje “y” es uniformemente variado (asociar con tiro vertical y caída libre).
ECUACIONES Las ecuaciones para la posición del cuerpo en el movimiento en dos dimensiones se pueden escribir de la forma siguiente:
Del gráfico 3.1 se pueden obtener las componentes de la velocidad inicial y de la aceleración:
Reemplazando, se obtiene:
Para las componentes de la velocidad se obtiene:
- Como no hay aceleración en la dirección horizontal x, la componente x de la velocidad es constante.
- (^) Como la aceleración en la dirección vertical y es g , las componentes de la posición y de la velocidad en esa dirección son idénticas a las ecuaciones para la caída libre. Entonces, el movimiento de un proyectil se compone de:
- Un movimiento en dirección x , con velocidad constante.
- Un movimiento en dirección y de caída libre. Es el principio de la superposición del movimiento. La ecuación de la trayectoria (la curva geométrica que describe el cuerpo durante el movimiento de proyectil) se puede obtener despejando t – t (^) o de la ecuación en x y reemplazando en la ecuación para y :
que es la ecuación de una parábola. Por lo tanto, la trayectoria del proyectil es parabólica y queda totalmente conocida si se conoce vo y a.
MOVIMIENTO DE PROYECTILES CON ÁNGULO
Un objeto que se lanza al espacio sin fuerza de propulsión propia recibe el nombre de proyectil. Un proyectil es todo objeto al que, tras comunicarle una velocidad inicial, se le abandona a la acción exclusiva de su peso y del rozamiento del aire (del que prescindiremos en lo sucesivo). El movimiento puede considerarse como la composición de un movimiento rectilíneo y uniforme sobre el eje horizontal ox y un movimiento uniformemente retardado sobre el eje vertical oy. Como ejemplo de movimiento uniformemente acelerado estudiaremos el movimiento de proyectiles. Llamamos proyectil a todo cuerpo que, una vez disparado, se mueve bajo la acción de la gravedad. Supondremos en todos los casos que:
- La resistencia del aire es despreciable.
- La aceleración de la gravedad es constante.
- La superficie de la Tierra es plana
- (^) El origen del sistema de referencia se toma en el suelo y a un desplazamiento horizontal nulo respecto al punto de lanzamiento. La velocidad inicial del proyectil (Vo) tiene dos componentes (Vx y Voy) que se calculan con Vx = V (^) o · Coseno F 0 6 1y Voy = V (^) o · Seno F 0 6 1. Al aumentar el ángulo, el alcance horizontal “X”, la altura máxima y el tiempo aumentan. Para cualquier instante del movimiento, la velocidad del proyectil tiene dos componentes (Vx y Vy). La posición también tiene las dos coordenadas (X, Y)
Para todos los proyectiles lanzados con el mismo impulso, la altura máxima, el alcance horizontal y el tiempo están determinados por el ángulo de salida. El alcance máximo se logra con el ángulo de 45°. Con el incremento del ángulo, aumenta la altura máxima y el tiempo. Con ángulos mayores que 45° el alcance disminuye, pero la altura máxima y el tiempo siguen aumentando. Incrementado mas el ángulo, el alcance sigue disminuyendo y la altura máxima y el tiempo continúan incrementándose. En este tipo de movimiento siempre el primer paso es obtener la velocidad inicial en “x” y en “y.
Movimiento según el eje ox :
Movimiento rectilíneo y uniforme, con velocidad: vx. = v0x = v 0 · cos F 06 A x = v0x · t = v 0 · cos F 06 A · t
Movimiento sobre el eje oy :
Movimiento rectilíneo uniformemente retardado, con velocidad inicial v (^) 0y = v0· sen F 06 A y aceleración a = -g
vy = v0y – gt = v0·sen F 06 A-gt y = v0y · t – ½ gt 2 = v (^) 0sen F 06 A · t -1/2 g t^2
Ecuación de la trayectoria:
Escribiendo las ecuaciones de los movimientos sobre cada eje: x = v 0 · cos F 06 A · t
y = v0·sen F 06 A·t-1/2 g·t^2
despejando en la primera t = x/(v (^) 0cos F 06 A) y sustituyendo en la expresión de y:
y = tg F 06 A·x-1/2 g (x/v (^) 0cos F 06 A) 2 que es una ecuadión de la forma y = bx+ax 2 , que corresponde a una parábola
de eje verticual, invertida (a<0), que pasa por el origen y tiene su vértice en: x= (v 02 /2g)·sen2 F 06 A ; y=
(v 02 /2g)·sen^2 F 06 A
ALCANCE HORIZONTAL Y ALTURA MÁXIMA Se trazan las trayectorias de proyectiles disparados con la misma velocidad inicial v 0 pero con los siguientes ángulos de tiro θ : 10º, 20º, 30º, 40º, 45º, 50º, 60º, 70º, 80º, 90º. Las ecuaciones del movimiento de los proyectiles son: x =v 0 · cos θ · t y =v 0 · sen θ · t-g · t 2 / El alcance horizontal de cada uno de los proyectiles se obtiene para y = 0.
Su valor máximo se obtiene para θ =45º, teniendo el mismo valor para θ =45+ α , que para θ =45- α. Por ejemplo, tienen el mismo alcance los proyectiles disparados con ángulos de tiro de 40º y 60º, ya que sen (2·40)=sen(2·60). La altura máxima que alcanza un proyectil se obtiene con v (^) y = 0.
Su valor máximo se obtiene para el ángulo de disparo θ =90º. La envolvente de todas las trayectorias descritas por los proyectiles cuyo ángulo de disparo está comprendido entre 0 y 180º se denomina parábola de seguridad.
Esta denominación hace referencia al hecho de que fuera de esta parábola estamos a salvo de los proyectiles disparados con velocidad v 0. Se trata de la parábola simétrica respecto del eje Y de ecuación y =-ax 2 + b que pasa por los puntos ( x = v 02 /g, y = 0 ), y ( x = 0, y =v 02 /(2g) ) tal como se ve en la figura. La ecuación de dicha parábola es:
DISPARO DE PROYECTILES Consideremos un cañón que dispara un obús desde el suelo (y0=0) con cierto ángulo θ menor de 90º con la horizontal.
Las ecuaciones del movimiento, resultado de la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, son las siguientes:
Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son x=v 0 ·cos θ · t y=v 0 ·sen θ · t-gt 2 / Eliminado el tiempo t , obtenemos la ecuación de la trayectoria (ecuación de una parábola)
TIRO HORIZONTAL
Es un caso particular del tiro parabólico en el que F 06 A=0. Es decir, el ángulo es de 0º con el horizonte. En este tipo de movimiento se lanza el proyectil con todo el impulso en dirección horizontal por lo cual la Vx =V 0 y la Vy = 0. Tomando ahora el eje oy positivo hacia abajo: v (^) x= v 0 x = v (^) 0t vy = g · t y = gt^2 /
Despejando t = x/v 0 y sustituyendo se obtiene y = 1/2 g (x/v0) 2 , que es la ecuación de una parábola de tipo y = ax^2 , con vértice en el origen.
