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2 INTRODUCCIÓN................................................................................................................................ 1
3 LOS SISTEMAS DE REFERENCIA .................................................................................................. 2
4 SISTEMA DE COORDENADES CARTESIANES............................................................................. 4
4.1 ABSCISA.............................................................................................................................................. 5
4.2 PLANO REAL...................................................................................................................................... 5
4.3 FORMULA DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS................................................................. 5
5 FORMULAS DEL PUNTO MEDIO................................................................................................... 6
5.1 PUNTOS NOTABLES EN EL SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS.......................... 6
5.2 CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA EN COORDENADAS CARTESIANAS..................... 6
5.3 LOS NUEVOS EJES ESTÁN GIRADOS Y DESPLAZADOS RESPECTO DEL ANTIGUO.......... 6
6 SISTEMA DE COORDENADES POLARS........................................................................................ 7
7 COORDENADAS EN EL ESPACIO................................................................................................... 8
7.1 CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA EN COORDENADAS CARTESIANAS..................... 8
8 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE REFERENCIA............................................................. 8
8.1 SISTEMAS INERCIALES Y NO INERCIALES................................................................................ 9
8.2 SISTEMAS INERCIALES................................................................................................................... 9
8.3 SISTEMAS NO INERCIALES. .......................................................................................................... 9
9 MOVIMIENTO DE LA PARTÍCULA................................................................................................. 10
9.1 CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA...................................................................................... 11
9.2 CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA ORTONORMALES..................................................... 11
10 MOVIMIENTOS RELATIVOS........................................................................................................... 12
11 EJERCICIOS........................................................................................................................................ 12
INTRODUCCIÓN
El seguiment d’aquest curs necessita d’uns coneixements elementals de matemàtiques i física que exposem a continuació. L’objectiu d’aquest document no és l’exhaustivitat en l’exposició, sinó únicament la comprensió dels conceptes i la correcta aplicació de les tècniques procedimentals, és per això que seran recursos didàctics prioritaris la profusió d’exemples i algunes regles o normes que possibilitin la correcta utilització de les tècniques procedimentals i els conceptes, per sobre de definicions pesades i tediosos algoritmes. Es a dir, volem que el lector entengui i sàpiga treballar, més que tingui una exhaustiva rigurositat. La primera cosa que hem de tenir en compte a l'hora d'analitzar qualsevol cosa des de la perspectiva de la Física són els sistemes de referència. Aquests són vitals a l'hora de fer mesures, ja que el fet que estem en un sistema de referència o en un altre afecta directament a les mesures que realitzem. Exemples :
- Imaginem que tenim dues persones aturades en dos llocs diferents que estan parlant a través d'un telèfon mòbil. La primera persona li pregunta a la segona a quina distància té el seu cotxe. Ell ens respon que a cent metres de la seva posició. Aquesta informació no és suficient perquè nosaltres coneguem la posició del cotxe, ja que en principi no sabem a quina distància es troba l'altre persona respecte de nosaltres.
Mirem doncs a la imatge de dalt. El fet de tenir dos sistemes de referència ens obliga a conèixer la posició d'un d'ells respecte de l'altre per poder mesurar distàncies correctament. El fet d'estar desplaçat un respecte de l'altre fa que en absolutament totes les mesures de distància que es fa en el primer sistema, hi aparegui un desplaçament A respecte de la mateixa mesura realitzada en el segon sistema de referència.
- La situació varia considerablement en el cas de mesurar velocitats. En aquest cas, les mesures realitzades des del primer o el segon sistema de referència són idèntiques. La velocitat, és una mesura realitzada a partir dels increments d'espai i de temps. En els dos casos, els desplaçaments són idèntics, ja que en el segon sistema de referència tots els vectors porten sumat un desplaçament que s'acaba anulant en calcular l'increment.
Mirem doncs a la imatge de dalt. El fet de tenir dos sistemes de referència ens obliga a conèixer la posició d'un d'ells respecte de l'altre per poder mesurar distàncies correctament. El fet d'estar desplaçat un respecte
de l'altre fa que en absolutament totes les mesures de distància que es fa en el primer sistema, hi aparegui un desplaçament A respecte de la mateixa mesura realitzada en el segon sistema de referència.
Δ B = B-B'
Δ C = C-C' = (B+A) - (B'+A') = B-B' = Δ B
Els mateixos arguments serviran també per al càlcul d'acceleracions, ja que aquests provenen dels increments de velocitats i si aquestes últimes no varien, tampoc ho faran les acceleracions.
- Anem en cotxe i fem la mesura de la velocitat d'un altre cotxe que ens adavanta. Mesurem 10Km/h Aquesta mesura no li servei de res a algú que està fora del cotxe, ja que la velocitat que ell mesuri dependrà de la nostra velocitat. Tan sols li serviria aquesta mesura en el cas que també li informéssim de la nostra velocitat.
LOS SISTEMAS DE REFERENCIA
Un sistema de referencia es un sistema de coordenadas vectoriales que elegimos libremente a la hora de hacer estudios de sistemas físicos. Es decir, no es una elección única la que se puede hacer, podemos escoger entre una infinidad de sistemas de referencia, todos igualmente válidos. Desde el punto de vista de la validez de las fórmulas generalmente sólo nos referiremos a sistemas de referencia inerciales , pero los sistemas de referencia no inerciales también se eligen algunas veces, sobre todo en movimientos circulares. Para describir el movimiento de un cuerpo hemos de saber por qué puntos del espacio ha pasado (su trayectoria) Esto lo podemos conseguir con un sistema de referencia. Si el movimiento es rectilíneo, el sistema de referencia será una recta. Las estrellas más lejanas del firmamento son utilizadas a menudo como sistemas de referencia en reposo (absolutos) ya que su movimiento es imperceptible desde la Tierra.
Se denomina sistema de referencia al conjunto de cuerpos que, convencionalmente, se consideran inmóviles y respecto de los cuales se analiza el movimiento de otros cuerpos. Un sistema de referencia en el plano está formado por un punto O que se llama origen del sistema , y por dos vectores que constituyen la base del sistema. Desde el punto de vista estrictamente matemático, un sistema de referencia en un espacio vectorial de dimensión n está formado por n vectores linealmente independientes, formando una base del espacio, y por un punto, definido por n coordenadas, que suele llamarse origen del sistema de referencia. En el dominio de la física, el espacio suele ser V 3 , la base más habitual es la llamada ortonormal {i, j, k}, y el origen se sitúa a conveniencia del observador. Los vectores de la base son i = (1,0,0), j = (0,1,0) y k = (0,0,1). Si al llarg d’aquest curs volem descriure posicions d’objectes es clar que necessitem un sistema que ens permeti entendrens. Per exemple, reproduïm una conversa telefònica amb un amic nostre, en la que li volem relatar un incident que a succeït a l’aula amb un company C.
Jo : Hola A, et trucava perquè volia explicar-te el que li ha passat a C avui a classe.
Amic A : Explica, explica
J : Mira estava C a classe, quan ha sonat una sirena i en aixecar-se s’ha donat un cop que s’ha quedat estabornit.
A : On has dit que estava C? Demanem una posició concreta (figura I.1.1)
J : Allí al mig de la classe.
A : Sí però a on?
J : Recordes com és l’aula? Acordem una sistema de mesura (files i cadires) es a dir un sistema de coordenades.
A : Sí
- UNITAT DE MESURA En l’eix vertical: comptem en metres En l’eix horitzontal: comptem en metres
- SENTIT Eix vertical: des de la pissarra a la porta. Eix horitzontal: Des del passadís central, mirant cap a la porta, a Dreta o Esquerra.
POSICIÓ : 5 m en vertical, 3 m horitzontal a la D
Per definir, un sistema de referència podem triar com a un punt O origen el que nosaltres desitgem. Normalment escollirem el que mes ens faciliti l’estudi que volem realitzar. En quant al sistema de coordenades hi han de diferents tipus. Veurem aquí els que més farem servir al llarg del curs: el sistema de coordenades CARTESIANES i el sistema de coordenades POLARS.
SISTEMA DE COORDENADES CARTESIANES Fue Descartes el primero que utilizó el método de las coordenadas para indicar la posición de un punto (en el plano o en el espacio), por eso se suele decir coordenadas cartesianas. Descartes utilizó, para representar un punto en el plano, dos rectas perpendiculares entre sí. La posición del punto se lograba midiendo sobre los ejes las distancias al punto, de la manera que se puede ver en el dibujo.
Observa el mapa. Hemos trazado dos ejes numerados: uno horizontal y el otro vertical, los cuales se cortan en el punto cero (0), situado en Madrid (kilómetro cero)
El eje horizontal es el eje de abscisas (XX’). El eje vertical es el eje de ordenadas (YY’). El punto 0 de corte de los ejes, es el origen de coordenadas. El sistema de referencia formado por dos ejes perpendiculares (ejes coordenados) que se cortan en un punto (el origen) recibe el nombre de sistema cartesiano y divide el plano en cuatro cuadrantes. Las coordenadas de un punto del plano P(a, b) se expresan con un par ordenado de números:
- El primero, a, que se denomina abscisa.
- El segundo, b, que se denomina ordenada. Las coordenadas referidas a un sistema cartesiano se llaman coordenadas cartesianas y pueden ser números enteros o decimales
Las coordenadas en el primer cuadrante serán (+, +), las del segundo cuadrante serán (-, +), las del tercer cuadrante serán (-, -) y las del cuarto cuadrante serán (+, -). El primer número de una coordenada representa el lugar horizontal del punto y el segundo número representa el lugar vertical del punto.
En aquest sistema definim un eix com a eix X en unitats determinades (si son de distància: metres, centímetres, etc.) i un eix perpendicular en aquest X, de forma que sigui el resultat de girar l‘eix X 90º en el sentit contrari de les agulles del rellotge. L’eix Y estarà en les mateixes unitats que l’eix X. Les coordenades ( x,y ) d’un punt seran la distancia x que tinc que recorre sobre l’eix X i la distància y que hem d’avançar paral·lelament a l’eix Y per arriba al punt.
Si el valor d’x o el d’y són negatius considerarem que la distància que hem de recórrer és en la direcció contraria a la que indica l’eix. La figura I.1.4 mostra alguns exemples.
En l’exemple de posicionar el nostre company C a l’aula, recordem que el sistema de files cadires, de fet eren dos eixos perpendiculars. En el cas de utilitzar unitats de mesura de distància tindríem un sistema de coordenades cartesià, només cal canviar els noms:
- ORIGEN DE COORDENADES Pissarra serà el punt O - SISTEMA DE COORDENADES
- EIXOS Des de la pissarra: vertical cap a la porta (anomenat Y) i horitzontal, es a dir, perpendicular a l’anterior (anomenat X)
- UNITAT DE MESURA En l’eix Y: comptem en metres En l’eix X: comptem en metres
- SENTIT Eix Y: positiu de la pissarra cap a la porta. Eix X: Des de l’eix Y, positiu a la dreta.
POSICIÓ : X = + 3 m; Y = + 5 m (figura I.4)
ABSCISA Medida tomada sobre el eje horizontal en el sistema de coordenadas cartesiano. Es el primero de las dos coordenadas que hacen referencia a un punto. Así, el punto de coordenadas (3, 2) tiene como abscisa el número 3. El eje de las abscisas en el Sistema de Coordenadas Cartesianas es semejante a la Recta Real. A la derecha del origen se representan los números positivos mientras que a la izquierda del origen se representan los números negativos. De manera similar, los puntos que están por arriba del origen sobre el eje de las ordenadas representan los números positivos, mientras que los puntos que están por debajo del origen sobre el eje de las ordenadas representan los números negativos. PLANO REAL Al plano, formado por eje de abscisas y eje de ordenadas se le conoce como plano real , ya que contiene todos los elementos del conjunto R de los números reales.
FORMULA DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Calcular la distancia entre dos puntos en el plano es muy sencillo. Si haces un
Sean (x0,y0) las coordenadas del origen de coordenadas de los ejes X-Y respecto al nuevo sistema de coordenadas
X'-Y'. Sea a el ángulo que se giran los ejes.
x' = x 0 + xcosa - ysena
y' = y 0 + xsena + ycosa Nota de mi padre: No os aprendáis las fórmulas. Tenéis que comprenderlas. Si las sabéis de memoria y no las comprendéis no sirve de casi nada. Si os es más fácil aprender las fórmulas que comprenderlas, es mejor que elijáis la opción de letras.
SISTEMA DE COORDENADES POLARS
¿Cuáles de los puntos señalados en el mapa están dentro de un radio de 5 unidades? ¿Qué puntos quedan fuera de un radio de 10 unidades? Con un compás, traza una circunferencia, con un radio de 5 unidades, con centro en Madrid (0, 0). En su interior quedarán la ciudades de Cuenca y Toledo. Haz lo mismo, pero con un radio de 10 unidades. Quedarán fuera de esta circunferencia Barcelona, Oviedo, La Coruña, Sevilla, Málaga y Almería. Esto nos indica que Cuenca y Toledo están próximas a Madrid, mientras que Barcelona, Oviedo, La Coruña, Sevilla, Málaga y Almería quedan muy alejadas de dicha capital. ¿Cómo podemos localizar la posición de Zaragoza?:
- Tomando como centro Madrid y abriendo el compás de manera que la otra punta quede sobre Zaragoza, se puede comprobar que el radio de la circunferencia es de 8 unidades. Trazando una semirrecta con origen en Madrid y que pase por Zaragoza, ésta formará con el eje OX un ángulo de 30º. Así, Zaragoza está situada en el punto 8 (radio =8) y ángulo 30º( se puede escribir 8 (^) 30º)
- La posición de Zaragoza la hemos realizado mediante coordenadas polares.
Las coordenadas polares constituyen un sistema de referencia en el que un punto P del plano queda localizado:
- A partir de la distancia r del punto P al origen 0.
- A partir del ángulo que forma el segmento OP con el eje OX.
- Se representan r (^) F 0 6 1º. La situación de un punto en el plano es única, pero se puede expresar mediante dos sistemas de referencia diferentes:
- Zaragoza, en coordenadas cartesianas, está localizada en el punto (7, 4)
- Zaragoza, en coordenadas polares, está localizada en el punto (8, 30º)
En aquest cas, triarem un eix fix com a origen d’angles, i un altre anomenat RADIAL que serà variable i orientat en la direcció del punt que volem posar en determinada posició. Aquest darrer es mesura en unitats de distància. Les coordenades d’un punt en aquest sistema seran: l’angle que forma l’eix RADIAL amb l’eix fix origen d’angles, i la distància que hem de recórrer per l’eix radial fins arriba al punt.
Un altre manera d’entendre aquest sistema de coordenades és imaginant un cercle de centre en el punt O origen de coordenades i que contingui el punt que volem posar en determinada posició. El radi del cercle seria una coordenada i l’altre seria l’angle que hem de recórrer des de l’origen d’angles fins el nostre punt, es per això que normalment aquestes coordenades reben el nom de coordenada RADIAL i ANGULAR.
Si tornem al nostre exemple inicial, podem donar la posició del nostre company C en unes coordenades polars
- ORIGEN DE COORDENADES Pissarra serà el punt O - SISTEMA DE COORDENADES
- EIXOS Des de la pissarra mirant a la porta un eix horitzontal des del que comencem a comptar angles (anomenat origen d’angles). Des de la pissarra, la recta fins l’objecte a posicionar
- UNITAT DE MESURA (^) Angles F 06 A en graus sexagesimals (º) Distància a l’objecte en metres.
- SENTIT Angles positiu des de l’origen d’angles en sentit contrari a les agulles del rellotge. Distancia sempre positiva.
POSICIÓ : r = 4 m; F 06 A = + 30º (figura I.1.8)
COORDENADAS EN EL ESPACIO
CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA EN COORDENADAS CARTESIANAS Supongamos que conocemos las coordenadas cartesianas de un punto, respecto a unos ejes determinados y queremos saber las coordenadas de ese punto respecto a otro sistema de coordenadas. Se pueden presentar tres casos:
- Que los nuevos ejes estén desplazados respecto del antiguo : Sean (x,y,z) las coordenadas del punto respecto a los ejes de coordenadas X-Y-Z.
Sean (x0,y0,z (^) 0) las coordenadas del origen de coordenadas de los ejes X-Y-Z respecto al nuevo sistema de coordenadas X'-Y'-Z'. Puede verse fácilmente en el dibujo que las nuevas coordenadas (x',y',z') son: x = x 0 + x' y = y 0 + y' z = z 0 + z'
- Que los nuevos ejes estén girados respecto al antiguo : Sean (x,y,z) las coordenadas del punto respecto a los ejes de coordenadas X-Y-Z. Sean a,b,c el ángulo que se gira el eje X' respecto a los ejes X-Y-X, sean d,e,f el ángulo que se gira el eje Y' respecto a los ejes X- Y-X, y sean g,h,i el ángulo que se gira el eje Z' respecto a los ejes X-Y-X.
x = x'cosa + y'cosd + z'cosg y = x'cosb + y'cose + z'cosh z = x'cosc + y'cosf + z'cosi
- Que los nuevos ejes estén girados y desplazados respecto al antiguo : Sean (x,y,z) las coordenadas del punto respecto a los ejes de coordenadas X-Y-Z. Sean (x0,y0,z (^) 0) las coordenadas del origen de coordenadas de los ejes X-Y-Z respecto al nuevo sistema de coordenadas X'-Y'-Z'. Sean a,b,c el ángulo que se gira el eje X' respecto a los ejes X-Y-X, sean d,e,f el ángulo que se gira el eje Y' respecto a los ejes X-Y-X, y sean g,h,i el ángulo que se gira el eje Z' respecto a los ejes X-Y-X.
x = x 0 + x'cosa + y'cosd + z'cosg y = y 0 + x'cosb + y'cose + z'cosh z = z 0 + x'cosc + y'cosf + z'cosi Nota de mi padre: No os aprendáis las fórmulas. Tenéis que comprenderlas. Si las sabéis de memoria y no las comprendéis no sirve de casi nada. Si os es más fácil aprender las fórmulas que comprenderlas, es mejor que elijáis la opción de letras.
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE REFERENCIA
fuerza y aceleración representada por la masa de un cuerpo y a la tercera ley de Newton o principio de acción y reacción. Aparecen las denominadas fuerzas ficticias porque no responden al principio de acción y reacción. Todos los sistemas no inerciales están acelerados respecto a los inerciales. La mecánica clásica consideraba que la luz necesitaba para su trasmisión un medio, el éter, que se podía utilizar como sistema de referencias absoluto y en el que las velocidades serían aditivas. También como veremos, en los sistemas no inerciales, la masa varía con la velocidad luego una fuerza constante no produce una aceleración constante, efecto muy importante cuando la velocidad empieza a ser comparable a la de la luz, es el efecto de la llamada masa relativista. Todos estos problemas se pusieron de manifiesto directa o indirectamente a raíz de las ecuaciones de Maxwell en 1869 al permitir calcular la velocidad de la luz o, en general, las ondas electromagnéticas de forma teórica y su verificación experimental por Hertz en 1887, empujando a los científicos de la época a buscar elementos para apuntalar el modelo clásico y que incorporasen la velocidad de la luz. Este modelo a confirmar estaba basado en el éter, medio donde la luz se transmitía y a través de dicho modelo se esperaba encontrar la velocidad absoluta de un objeto dependiente de un sistema de referencias universal. El experimento de Michelson-Morley en 1887 pretendía exactamente eso, pero al no detectarse movimiento de las franjas con el juego de las interferencias esperadas y fracasar, sugirió un nuevo principio físico, la velocidad de la luz en el espacio libre es la misma en todas partes independientemente del movimiento de la fuente y del observador, abriendo el camino a las nuevas teorías de la relatividad. La Teoría Especial de la Relatividad , presentada por Albert Einstein en 1905, trata los temas relacionados con los sistemas inerciales de referencias que son sistemas de referencia que se mueven a velocidad constante con respecto a otros. Los dos postulados en que se basa esta teoría son: Las leyes físicas se pueden expresar mediante ecuaciones que tienen la misma forma en todos los sistemas de referencia que se mueven a velocidad constante unos con respecto a otros. La velocidad de la luz en el espacio libre tiene el mismo valor para todos los observadores , independientemente de su estado de movimiento. La Teoría General de la Relatividad , propuesta en 1916, trata de sistemas no inerciales de referencias que son aquellos que se encuentran acelerados unos respecto de los otros.
Inexistencia de un sistema de referencia absoluto Otra consecuencia es el rechazo de la noción de un único y absoluto sistema de referencia. Previamente se creía que el universo viajaba a través de una sustancia conocida como éter (identificable como el espacio absoluto) en relación a la cual podían ser medidas velocidades. Sin embargo, los resultados de varios experimentos, que culminaron en el famoso experimento de Michelson-Morley, sugirieron que, o la Tierra estaba siempre estacionaria (lo que es un absurdo), o la noción de un sistema de referencia absoluto era errónea y debía de ser desechada. Einstein concluyó con la teoría especial de la relatividad que cualquier movimiento es relativo, no existiendo ningún concepto universal de "estacionario".
Referencia: las rectas o los planos tomados como bases para verificar el movimiento constituyen el sistema de referencia empleado. Para indicar un movimiento, debemos aclarara con respecto a qué (referencia) su posición cambia.
Ejemplo : Desde el punto de vista del observador no inercial situado en el móvil, éste está en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas. La tensión de la cuerda F y la fuerza centrífuga Fc. La fuerza centrífuga es el producto de la masa por la aceleración centrífuga. Fc=mω^2 R El dinamómetro nos mide la fuerza centrífuga, que es igual a la tensión de la cuerda F.
MOVIMIENTO DE LA PARTÍCULA
Se dice que una partícula se mueve cuando ocupa posiciones diferentes en el tiempo. Las diversas posiciones que ocupa la partícula en el espacio se determinan mediante un referencial o sistema de referencia elegido. Se suele tomar como referencial el sistema , cuyos vectores unitarios son ortonormales entre sí, referidos a un punto de la Tierra o al laboratorio. Si a dicho sistema de referencia lo consideramos fijo, el movimiento resultante de la partícula es absoluto: si aquél se mueve a su vez, el movimiento es relativo. En nuestro Cosmos, todos lo movimientos son relativos ya que no existen puntos fijos o inmóviles.
No obstante, se denominan sistemas de referencia inerciales a los que, convencionalmente, suponemos fijos o aquellos que se desplazan rectilíneamente con movimiento uniforme. En ellos se cumplen las leyes de Newton. Tal es el sistema de laboratorio que vamos a utilizar en este estudio. Prescindimos, por tanto, de los sistemas no inerciales, que son los que se desplazan con aceleración; y, consecuentemente, al referirnos a un punto de la Tierra como sistema inercial, prescindimos también de sus movimientos de rotación y traslación, aunque no sean rectilíneos uniformes. CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA Vamos a plantear el siguiente problema : consideremos dos sistemas de referencia en el plano S = (O; u 1 , u 2 ) y S' = (O'; u (^) 1' , u (^) 2' ) .Se sabe que el punto P tiene de coordenadas (x 1 , x2) respecto de S. Calcular las
coordenadas de P respecto de S'.
P
O'
O
La relación entre B y B' es : u 1 = a 11 u 1 ' + a 12 u 2 ' u 2 = a 21 u 1 ' + a 22 u 2 ' Las coordenadas de O respecto de O' son (a , b) Fijandonos en el dibujo : O'P = O'O + OP Por lo tanto : x' 1 u 1 ' + x' 2 u 2 ' = a u 1 ' + b u 2 ' + x 1 u 1 + x 2 u 2 = a u 1 ' + b u 2 ' + x (^) 1(a 11 u 1 ' + a 12 u 2 ') + x (^) 2(a 21 u 1 ' + a 22 u 2 ') = (a + x (^) 1a 11 + x (^) 2a21) u 1 ' + (b + x1a 12 + x2a (^) 22) u 2 '.
Comparando el principio con el final : x (^) 1' = a + x (^) 1a 11 + x2a (^21) x2' = b + x1a 12 + x2a (^22) CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA ORTONORMALES En el caso de que las bases sean ortonormales , podemos calcular las coordenadas de u 1 y u 2 en función del ángulo que forman con los vectores u (^) 1' y u (^) 2'. u 1 = a 11 u 1 ' + a 12 u 2 ' u 2 = a 21 u 1 ' + a 22 u 2 '
u 2 u 1 ' u 2 ' F 0 6 1 u 1 u 1 = cos F 06 1 u 1 ' - sen F 06 1 u 2 '
u 2 = sen F 06 1 u 1 ' + cos F 06 1 u 2 ' Luego tenemos :
x (^) 1' = a + x (^) 1cos F 06 1 + x (^) 2sen F 06 1
x2' = b - x (^) 1sen F 06 1 + x2cos F 06 1
En el caso de que haya una traslación de ejes , las bases siguen siendo las mismas , solo cambia el origen,
haciendo F 06 1 = 0 : x1' = a + x (^1) x2' = b + x 2 En el caso de que haya una rotación de ejes , los origenes coinciden y (a , b) = (0 , 0) por lo que : x1' = x (^) 1cos F 06 1 + x2sen F 06 1
Eix X (m)
Eix Y (m)
(x,y)
Origen O
Coordenada X
Figura I.1.3. Sistema de coordenades cartesianes
Coordenada X
ix X
Eix Y
(3,4) = P
Origen O
Coordenada X positiva
Figura I.1.4. Exemples de coordenades cartesianes
Coordenada X negativa
P1 = (3,4) F 0 B A> x=3, y= P2 = (-2,3) F 0 B A> x=-2, y= P3 = (-2,-4) F 0 B A> x=-2, y=- P4 = (3,-4) F 0 B A> x=3, y=-
P2 =(-2,3)
P3 =(-2,-4)
(3,-4) = P
Porta
Pissarra
Eix X +
Eix X -
Figura I.1.5.- Posició de C en coordenades Cartesianes
Figura I.1.6. Sistema de coordenades polars.
Eix origen d’angles
(r, F 06 A)
Origen O
Coordenada F 06 A
Figura I.1.7. Sistema de coordenades polars i el cercle.
Eix origen d’angles
Coordenada F 06 A
Origen O
Porta
Pissarra
Origen d’angles
F 0
6 A=30º
Figura I.1.8.- Posición de C en coordenadas Polares
