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Algebra. 2004-2005. Ingenieros Industriales.´
Departamento de Matem´atica Aplicada II. Universidad de Sevilla.
Tema 3.- N´umeros Complejos.
Los n´umeros complejos. Operaciones. Las ra´ıces de un polinomio real. Aplicaciones geom´etricas de los n´umeros complejos: transformaciones en el plano.
Hist´oricamente los n´umeros complejos fueron introducidos para tratar ecuaciones polinomiales, tales como x^2 + 1 = 0, que no tienen soluci´on real. En esta direcci´on, el resultado principal de esta lecci´on es el teorema fundamental del Algebra que asegura que toda ecuaci´´ on polinomial con coeficientes complejos tiene, al menos, una soluci´on. Previamente habremos definido el n´umero complejo, sus operaciones m´as importantes y la interpretaci´on geom´etrica de las mismas, cuyo manejo nos permite describir transformaciones sobre el plano complejo.
1. Los n´umeros complejos.
Definici´on. Un n´umero complejo es un n´umero de la forma z = a + bi (o z = a + ib) donde i verifica que i^2 = −1 y a y b son n´umeros reales. A i se le llama unidad imaginaria. Los n´umeros reales a y b se conocen, respectivamente, como parte real y parte imaginaria del n´umero complejo z y se suele escribir
Re (z) = a as´ı como Im (z) = b.
Dos n´umeros complejos z y w son iguales si, y s´olo si,
Re (z) = Re (w) y Im (z) = Im (w).
Al conjunto de los n´umeros complejos lo denotaremos por C, es decir,
C = {z = a + bi : a, b ∈ R}.
Sea z = a + bi. Si b = 0 escribiremos simplemente a para denotar a z, si a = 0 escribiremos bi para denotar a z. En este ´ultimo caso diremos que z es un n´umero imaginario puro. En lo que sigue identificaremos el n´umero real a con el n´umero complejo a + 0i. De esta forma se puede entender que el conjunto de los n´umeros reales es un subconjunto de los n´umeros complejos.
2. Operaciones.
2.1. Suma
Dados dos n´umeros complejos z = a + bi y w = c + di definimos la suma z + w as´ı:
z + w = (a + c) + (b + d) i.
Propiedades de la suma. Si z, w, v ∈ C se verifica:
- Conmutativa: z + w = w + z.
- Asociativa: (z + w) + v = z + (w + v).
- Existe un elemento nulo para la suma, el 0 = 0 + 0i tal que z + 0 = 0 + z = z para todo z ∈ C.
- Cada n´umero complejo z = a + bi tiene un elemento opuesto −z = −a + (−b) i tal que z + (−z) = 0.
2.2. Producto
Dados dos n´umeros complejos z = a + bi y w = c + di se define el producto zw as´ı:
zw = (ac − bd) + (ad + bc) i.
Propiedades del producto. Si z, w, v ∈ C se verifica:
- Conmutativa: zw = wz.
- Asociativa: (zw) v = z (wv).
- Existe un elemento unidad para el producto, el 1 = 1 + 0i tal que z1 = 1z = z para todo z ∈ C.
- Cada n´umero complejo z = a + bi 6 = 0 tiene un elemento inverso z−^1 tal que zz−^1 = z−^1 z = 1. De hecho, si z = a + bi 6 = 0 se tiene que z−^1 =
a a^2 + b^2
−b a^2 + b^2
i.
Tambi´en se verifica una propiedad que relaciona la suma y el producto: la propiedad distributiva del producto respecto de la suma z (w + v) = zw + zv. El inverso de z lo representaremos por z−^1 y por 1/z y w z
= w (1/z) = wz−^1.
Para obtener la parte real y la imaginaria en una divisi´on de n´umeros complejos podemos hacer lo siguiente. Si z = a + bi 6 = 0 y w = c + di
w z
c + di a + bi
= (c + di) (a + bi)−^1 = (c + di)
a a^2 + b^2
−b a^2 + b^2
i
(c + di) (a − bi) a^2 + b^2
De cualquier modo, tras estudiar la conjugaci´on y el m´odulo veremos otra t´ecnica m´as eficiente para calcular el inverso de un n´umero complejo o dividir n´umeros complejos. Observaci´on. No es posible establecer en el conjunto de los n´umeros complejos una relaci´on de orden que verifique las mismas propiedades que verifica la relaci´on de orden que conocemos entre los n´umeros reales.
2.3. Conjugado de un n´umero complejo
Sea z = a + bi un n´umero complejo. Se define el conjugado de z y se representa por z como el n´umero a − bi.
Propiedades del conjugado de un n´umero complejo.
z 1 + z 2 = z 1 + z 2. (En general: z 1 + z 2 + · · · + zn = z 1 + z 2 + · · · + zn).
z 1 z 2 = z 1 z 2. (En general: z 1 z 2 · · · zn = z 1 z 2 · · · zn).
z + z = 2 Re (z)
z − z = 2i Im (z)
z z = ( Re (z))^2 + ( Im (z))^2. Por ello, si z 6 = 0 entonces z z > 0.
Demostraremos esta ´ultima propiedad: Si z = a + bi, entonces z = a − bi y
z z = (a + bi) (a − bi) =
a^2 − b (−b)
- (a (−b) + ba) i = a^2 + b^2 = ( Re (z))^2 + ( Im (z))^2.
El m´odulo del n´umero complejo z = x + yi, que hemos definido como |z| =
x^2 + y^2 , se representa por la longitud del segmento OP (ver figura). Por tanto, el m´odulo nos puede ser ´util para representar distancias, longitudes de segmento. As´ı, si los n´umeros complejos z 1 = x 1 + y 1 i y z 2 = x 2 + y 2 i se representan en el plano por los puntos P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ), respectivamente, entonces
z 1 − z 2 = (x 1 + y 1 i) − (x 2 + y 2 i) = (x 1 − x 2 ) + (y 1 − y 2 ) i
y su m´odulo |z 1 − z 2 | = +
(x 1 − x 2 )^2 + (y 1 − y 2 )^2 representa la distancia que existe entre los puntos P 1 y P 2.
PSfrag replacements
z
z
PSfrag replacements
z
|z|
Teniendo en cuenta lo anterior, el conjunto de puntos P (x, y) del plano que equidistan del origen O una cantidad constante r, es decir, los puntos P (x, y) que verifican
x^2 + y^2 = r son los de una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r. Usando los n´umeros complejos dicho conjunto se puede representar por |z| = r (ver figura). De la misma forma, si el n´umero complejo z 0 = x 0 + y 0 i se representa en el plano por el punto C (x 0 , y 0 ), entonces el conjunto de puntos P (x, y) del plano que equidistan de C una cantidad constante r, es decir, los puntos P (x, y) que verifican
(x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2 = r, son los de una circunferencia con centro en C y radio r. Esta, mediante los n´´ umeros complejos, se escribe como |z − z 0 | = r (ver figura).
PSfrag replacements
z
|z| = r
PSfrag replacements
z
z 0 z (^) − z 0
|z − z 0 | = r
2.6. Forma polar o trigonom´etrica de un n´umero complejo.
Como acabamos de ver, al n´umero complejo z = a + bi le corresponde el punto P del plano de coordenadas (a, b). Si representamos por r la longitud del segmento OP, que une el origen O de coordenadas y P , y por θ el ´angulo que forma OP con el semieje positivo de abscisas, se dice que (r, θ) son las coordenadas polares del punto P. Si r = 0, es decir, si P ≡ O, entonces el ´angulo θ no est´a definido. Consideraremos, por tanto, que z 6 = 0. Se entiende que θ es positivo si es medido en sentido antihorario, y negativo en caso contrario. Al n´umero θ lo llamaremos argumento de z y lo representaremos por arg (z). Se sigue f´acilmente que
r = +
a^2 + b^2 = |z| y que tg θ =
y x
Como a = r cos θ y b = r senθ, entonces z se puede escribir as´ı
z = a + ib = r (cos θ + i senθ)
que denominaremos forma polar o trigonom´etrica de z. Los n´umeros complejos z 1 = r 1 (cos θ 1 + i senθ 1 ) y z 2 = r 2 (cos θ 2 + i senθ 2 ) son iguales
z 1 = z 2 ⇔ r 1 = r 2 y θ 1 − θ 2 = 2kπ con k ∈ Z.
Interpretaci´on geom´etrica del producto de dos n´umeros complejos. Si z 1 = r 1 (cos θ 1 + i senθ 1 ) y z 2 = r 2 (cos θ 2 + i senθ 2 ), entonces
z 1 z 2 = r 1 (cos θ 1 + i senθ 1 ) r 2 (cos θ 2 + i senθ 2 ) = r 1 r 2 [(cos θ 1 cos θ 2 − senθ 1 senθ 2 ) + i ( senθ 1 cos θ 2 + cos θ 1 senθ 2 )] = r 1 r 2 [cos (θ 1 + θ 2 ) + i sen (θ 1 + θ 2 )]
que nos permite dar una interpretaci´on geom´etrica del producto de dos n´umeros complejos: cuando se multiplican dos n´umeros complejos, se obtiene otro que tiene por m´odulo el producto de los m´odulos y por argumento la suma de los argumentos. El inverso del n´umero complejo z = r (cos θ + i senθ) se puede obtener en forma trigonom´etrica del siguiente modo:
z−^1 =
z
r (cos θ + i senθ)
r
cos θ − i senθ (cos θ + i senθ) (cos θ − i senθ)
r
cos θ − i senθ (cos θ)^2 + ( senθ)^2 = r−^1 (cos θ − i senθ) = r−^1 (cos(−θ) + i sen(−θ)).
Del mismo modo podemos deducir que z 1 z 2
r 1 r 2
[cos (θ 1 − θ 2 ) + i sen (θ 1 − θ 2 )].
2.7. La f´ormula de Euler.
Observamos en los c´alculos anteriores que el t´ermino
f (θ) = cos θ + i senθ
tiene las mismas propiedades que una funci´on exponencial, pues
f (θ 1 + θ 2 ) = f (θ 1 ) + f (θ 2 ).
Es posible mostrar, aunque est´a fuera del alcance de este curso, que la funci´on exponencial real ex^ puede extenderse de manera razonable al caso de exponentes complejos y que dicha extensi´on es necesariamente
eiθ^ = cos θ + i senθ.
Con esto se puede representar z = r (cos θ + i senθ) = reiθ^.
Propiedades:
eiθ^ = e−iθ ∣ ∣eiθ^
eiθ^1 eiθ^2 = ei(θ^1 +θ^2 )
Se sigue que
z−^1 =
z
r (cos θ + i senθ)
r
cos θ − i senθ cos^2 θ + sen^2 θ
r
e−iθ
que coincide con el valor de z−^1 obtenido antes.
2.9. Ra´ıces n-´esimas de un n´umero complejo.
Se dice que el n´umero complejo z = reiθ^ es ra´ız n-´esima de z 0 = r 0 eiθ^0 6 = 0 si, y s´olo si, zn^ = z 0 : √ nz 0 = z ⇔ z 0 = zn.
Veamos cu´antas ra´ıces n-´esimas tiene un n´umero complejo. Seg´un la definici´on dada deber´a ser
z 0 = zn^ ⇔ r 0 eiθ^0 =
reiθ^
)n = rneinθ
y de acuerdo con la definici´on de igualdad de n´umeros complejos dados en forma polar, { r 0 = rn nθ = θ 0 + 2kπ
r = n
r 0 θ = θ^0 +2 n kπ k = 0, ± 1 , ± 2 ,...
Ahora bien, al dar valores a k obtenemos
Para k = 0 obtenemos la ra´ız z 1 = n
r 0 ei^
θ 0 n Para k = 1 obtenemos la ra´ız z 2 = n
r 0 ei^
θ 0 +2π n · · · · · · · · · · · · Para k = n − 1 obtenemos la ra´ız zn = n
r 0 ei^
θ 0 +2(n−1)π n Para k = n obtenemos la ra´ız zn+1 = n
r 0 ei^
θ 0 +2nπ n (^) = √nr 0 ei(^
θ 0 n +2π)
y esta ´ultima ra´ız zn+1 = n
r 0 e
iθ 0 n (^) = z 1. Por consiguiente todo n´umero complejo no nulo tiene n ra´ıces n-´esimas. Representaci´on gr´afica de las ra´ıces. Observamos que todas las ra´ıces n-´esimas del n´umero complejo z 0 = r 0 eiθ^0 tienen el mismo m´odulo n
r 0 , y los argumentos de dos ra´ıces obtenidas para k = p y k = p + 1, se diferencian en θ 0 + 2 (p + 1) π n
θ 0 + 2pπ n
2 π n
Por tanto, los puntos que representan a esas n ra´ıces son los v´ertices de un pol´ıgono regular de n lados inscrito en una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio n
r 0. En la siguiente figura hemos representado las ra´ıces cuartas, quintas y sextas de un n´umero complejo z de m´odulo mayor que 1 y argumento π/3.
PSfrag replacements
z
w 1
w 2
w 3
w 4
PSfrag replacements
z
w 1
w 2
w 3
w 4 w 5
PSfrag replacements
z
w 1
w 2 w 3
w 4
w 5
w 6
Caso particular: Ra´ıces n-´esimas de la unidad. El n´umero z 0 = 1 es un n´umero complejo que tiene m´odulo unidad y argumento cero, es decir, escrito en forma polar z 0 = 1 = ei^0. Entonces
√ n 1 = ei^
0+2kπ n (^) = cos^2 kπ n +i sen
2 kπ n , para k = 0, 1 , 2 ,... , n− 1 ⇒
w 1 = ei^0 = cos 0 + i sen0 = 1 w 2 = ei^2 π/n^ = cos (^2) nπ + i sen (^2) nπ w 3 = ei^4 π/n^ = cos (^4) nπ + i sen (^4) nπ · · · · · · · · · · · · wn = ei2(n−1)π/n^ = cos 2(n− n1) π+ i sen 2(n− n1)π
que se denominan las ra´ıces n-´esimas de la unidad.
En las figuras siguientes se esquematizan las ra´ıces cuadradas, c´ubicas y cuartas de 1 y de i.
- Las ra´ıces de un polinomio real.
El Teorema fundamental del ´Algebra. Todo polinomio
P (z) = a 0 + a 1 z + a 2 z^2 + · · · + anzn^ an 6 = 0, con n ≥ 1
donde a 0 , a 1 , a 2 ,... , an son n´umeros complejos, tiene n ra´ıces.
Es decir, que dado cualquier polinomio como el anterior P (z), podemos asegurar que existen n n´umeros complejos z 1 , z 2 ,... , zn tales que
P (z) = an (z − z 1 ) (z − z 2 ) · · · (z − zn).
Adem´as, se verifican las siguientes relaciones entre las ra´ıces y los coeficientes:
z 1 + z 2 +... + zn = −
an− 1 an
, z 1 z 2 · · · zn = (−1)n^
a 0 an
De acuerdo con el teorema fundamental del ´algebra, las ecuaciones polin´omicas del tipo x^2 + 1 = 0, que justificaron la ampliaci´on del conjunto de los n´umeros reales porque esas ecuaciones no tienen soluci´on real, poseen soluci´on en el conjunto de los n´umeros complejos. Concretamente esa ecuaci´on tiene como ra´ıces z 1 = i y z 2 = −i, de manera que x^2 + 1 = (x − i) (x + i). No es cierto que todo polinomio no constante con coeficientes reales tenga alguna ra´ız real; sin embargo se verifica que:
Todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene alguna ra´ız real.
En los polinomios con coeficientes reales las ra´ıces complejas no reales aparecen por pares conjugados. Es decir, si z 0 = x 0 + iy 0 ∈ C es una ra´ız de un polinomio con coeficientes reales, entonces su conjugada z 0 = x 0 − iy 0 ∈ C tambi´en lo es.
- Aplicaciones geom´etricas de los n´umeros complejos: transforma-
ciones en el plano.
Vamos a considerar aqu´ı expresiones complejas que pueden ser usadas para las transformaciones m´as sencillas en el plano: traslaciones, homotecias, giros, simetr´ıas y proyecciones ortogonales.
4.1. Traslaciones
Como conocemos del estudio de los vectores en el plano y del estudio de los n´umeros complejos, la suma u+v de dos vectores o la suma z +w de dos n´umeros complejos se obtiene geom´etricamente sin m´as que hacer la traslaci´on, seg´un el vector v, del punto u (o viceversa). As´ı, la transformaci´on del plano consistente en desplazar cada punto seg´un un vector (a, b) (a unidades hacia la derecha y b hacia arriba) puede expresarse mediante
R^2 −→ R^2 (x, y) −→ (x′, y′) = (x, y) + (a, b);
C −→ C
z −→ z + (a + bi).
4.5. Simetr´ıas
Podemos considerar dos tipos de simetr´ıa: simetr´ıa respecto a un punto o simetr´ıa respecto a una recta. Yendo a la situaci´on m´as simple, tenemos la simetr´ıa respecto al origen de coordenadas, (x, y) ∈ R^2 → (−x, −y) ∈ R^2 , que podemos expresar en forma compleja, respectivamente, como C −→ C z = x + yi −→ w = −z. La simetr´ıa respecto al eje OX tiene una expresi´on simple compleja como: C −→ C z = x + yi −→ w = z.
4.6. Ejemplos:
- ¿Qu´e representa geom´etricamente la siguiente operaci´on? z ∈ C −→ (1 + i)z − 2 ∈ C.
Puesto que 1 + i tiene m´odulo
2 y argumento π 4
rad., tenemos que
(1 + i)z =
2 eiπ/^4 z
es el n´umero complejo que se obtiene al hacer un giro de ´angulo
π 4
rad. (y centro el origen) y una homotecia de raz´on
- Una vez hechas estas transformaciones, nos queda restar 2, es decir, hacer (sobre lo obtenido) la traslaci´on de vector (− 2 , 0).
PSfrag replacements
Im
0 Re
π 4 z
ei π/^4 z
2 ei π/^4 z = (1 + i)z
Primero giramos ...
PSfrag replacements
Im
0 Re
π 4 z
(1 + i)z − (^2) (1 + i)z
y luego trasladamos.
Notemos que, si bien hacer primero el giro y despu´es la homotecia da el mismo resultado que hacer primero la homotecia y despu´es el giro, esto no sucede con la traslaci´on; no es lo mismo hacer primero el giro (o la homotecia) y despu´es la traslaci´on que hacerlo al rev´es. Si hicieramos primero la traslaci´on y despu´es el giro y la homotecia el resultado ser´ıa (1 + i)(z − 2).
PSfrag replacements
Im
0 Re
π 4
z − (^2) z
Primero trasladamos ...
PSfrag replacementsIm
0 Re
π 4
z − (^2) z π 4
eiπ/^4 (z − 2)
(1 + i)(z − 2)
y luego giramos.
- ¿C´omo podemos expresar en t´erminos complejos la transformaci´on del plano consistente en hacer una simetr´ıa respecto al eje OY? En t´erminos de parte real y parte imaginaria tenemos:
z = x + yi ∈ C → w = −x + yi
y teniendo en cuenta que x = Re(z) =
(z + z), y = Im(z) =
2 i
(z − z), obtenemos
w = −
(z + z) +
2 i
(z − z)i = −z.
O sea, que hacer una simetr´ıa respecto al eje OY es lo mismo que hacer la simetr´ıa respecto al eje OX seguida de la simetr´ıa respecto al origen.
- Ejercicios
Ejercicio 1. Efectuar las siguientes operaciones:
1 + i 1 − i
(2 − i)^2 (− 3 i)^3
, (3 + 2i) (2 − i) +
2 − 3 i 4 − i
i + (^) i+^1 i+
Ejercicio 2. Hallar b y c tales que (9 + bi) (c + 3i) = 3 + 29i.
Ejercicio 3. Escribir en forma polar los siguientes n´umeros complejos dados en la forma a + bi:
z 1 = 1 + i, z 2 = 1 − i, z 3 =
i, z 4 = −i, z 5 = − 2 , z 6 = 3.
Ejercicio 4. Escribir en la forma a + bi los siguientes n´umeros complejos, evaluando las correspondientes razones trigonom´etricas:
w 1 = cos
4 π 3
4 π 3 , w 2 = 2
cos
11 π 3
11 π 3
, w 3 =
2 e−iπ/^4 , w 4 = 3eiπ^ , w 5 = eiπ/^2.
Ejercicio 5. Dados los n´umeros complejos z 1 = 1 + i, z 2 = 1 − i, z 3 = 3 + 4i efectuar las siguientes operaciones:
5 z 1 + 2z 2 − z 3 , z^51 , z 1
z 2 z 3
z 1 z 3 z 2
, | 2 z 1 − 3 z 3 | ,
z 1 z 3 z 2
∣ ,^
z 1 n zn 2 −^2
(n ∈ N).
Ejercicio 6. Si z 1 = 2 + i y z 2 = 3 − 2 i calcular
| 3 z 1 − 4 z 2 | , |z 1 |^4 ,
z 1 z 2 + i
(4 + 3i)^4 (7 + i)^3
Ejercicio 7. Siendo w 1 = 3 (cos (π/3) + i sen (π/3)) y w 2 = cos (π/4) + i sen (π/4), calcular |w 1 w 2 |, y
w^41 w^72
Ejercicio 8. Utilizando la f´ormula de De Moivre, expresar sen (2θ), cos(2θ), sen (3θ) y cos(3θ) en funci´on de sen(θ) y cos(θ).
Ejercicio 9. Calcular √ (^3) − 8 i, √ (^51) , √ (^2) 3 + 4i, √ (^3) − 27.
Ejercicio 10. Uno de los v´ertices de un hex´agono regular inscrito en una circunferencia con centro en el origen de coordenadas, tiene por coordenadas V 1 (1, 1). Hallar las coordenadas de los otros cinco v´ertices.
Ejercicio 11. Dados los n´umeros complejos z 1 = −2, z 2 = − 2 i, z 3 = 3 − 3 i, y z 4 = −2 + 2
3 i:
- Representarlos geom´etricamente y escribirlos en forma polar y exponencial.
