Matem´aticas I
Grado de Qu´ımicas
Margarita Burguera Gonz´alez
Hip´olito Irago Ba´ulde
Dpto. de Matem´atica Aplicada.
Facultad de Matem´aticas.
Universidad de Santiago de Compostela.
Grado de Qu´ımicas Matem´aticas I
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Asignatura: Matemáticas, Profesor: Hipólito Hipólito, Carrera: Química, Universidad: USC
Tipo: Apuntes
2010/2011
1 / 57
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Matem´aticas I
Grado de Qu´ımicas
Margarita Burguera Gonz´alez
Hip´olito Irago Ba´ulde
Dpto. de Matem´atica Aplicada. Facultad de Matem´aticas. Universidad de Santiago de Compostela.
N´umeros complejos.
[Ref.: Steiner, pp. 193-202 y 204-208]
La ecuaci´on x^2 = −1 (ra´ıces de −1) no tiene soluci´on para los n´umeros
reales. Definimos el n´umero no real, llamado ”imaginario” i, que cumple
i^2 = − 1 (´o i =
Con esto y con IR se puede definir el conjunto de los n´umeros
complejos C|:
3 i, 2 − 4 i,... ,
en general, un n´umero complejo z ∈ C| en forma bin´omica se escribe
z = x + iy , para x, y reales
donde x se denomina parte real de z e y parte imaginaria de z:
x = Re(z) ∈ IR, y = Im(z) ∈ IR.
N´umeros complejos.
Operaciones con complejos
Denotamos dos complejos arbitrarios por
z 1 = x 1 + iy 1 , z 2 = x 2 + iy 2
Igualdad: Dos n´umeros complejos son iguales si sus partes reales son
iguales y sus partes imaginarias son iguales, o sea, en forma de
expresiones:
z 1 = z 2 si x 1 = x 2 e y 1 = y 2.
Suma:
z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ).
N´umeros complejos.
Operaciones con complejos
Denotamos dos complejos arbitrarios por
z 1 = x 1 + iy 1 , z 2 = x 2 + iy 2
Igualdad: Dos n´umeros complejos son iguales si sus partes reales son
iguales y sus partes imaginarias son iguales, o sea, en forma de
expresiones:
z 1 = z 2 si x 1 = x 2 e y 1 = y 2.
Suma:
z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ).
Multiplicaci´on:
z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 )
= x 1 (x 2 + iy 2 ) + iy 1 (x 2 + iy 2 ) = (x 1 x 2 + ix 1 y 2 ) + (iy 1 x 2 + i^2 y 1 y 2 )
= (x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + y 1 x 2 )
usando que i^2 = − 1
N´umeros complejos.
Ejemplo
Hallar [(3 + 2i)^3 + (1 − i)]^2
Soluci´on: Por un lado, la potencia c´ubica se desarrolla: (3 + 2i)^3 = 33 + 3 · (3)^2 · (2i) + 3 · 3 · (2i)^2 + (2i)^3 = 27 + 54i + 36i^2 + 8i^3
N´umeros complejos.
Ejemplo
Hallar [(3 + 2i)^3 + (1 − i)]^2
Soluci´on: Por un lado, la potencia c´ubica se desarrolla: (3 + 2i)^3 = 33 + 3 · (3)^2 · (2i) + 3 · 3 · (2i)^2 + (2i)^3 = 27 + 54i + 36i^2 + 8i^3 = 27 − 36 + 54i − 8 i = −9 + 46i
N´umeros complejos.
Ejemplo
Hallar [(3 + 2i)^3 + (1 − i)]^2
Soluci´on: Por un lado, la potencia c´ubica se desarrolla: (3 + 2i)^3 = 33 + 3 · (3)^2 · (2i) + 3 · 3 · (2i)^2 + (2i)^3 = 27 + 54i + 36i^2 + 8i^3 = 27 − 36 + 54i − 8 i = −9 + 46i Entonces [(3 + 2i)^3 + (1 − i)]^2 = [(−9 + 46i) +
N´umeros complejos.
Ejemplo
Hallar [(3 + 2i)^3 + (1 − i)]^2
Soluci´on: Por un lado, la potencia c´ubica se desarrolla: (3 + 2i)^3 = 33 + 3 · (3)^2 · (2i) + 3 · 3 · (2i)^2 + (2i)^3 = 27 + 54i + 36i^2 + 8i^3 = 27 − 36 + 54i − 8 i = −9 + 46i Entonces [(3 + 2i)^3 + (1 − i)]^2 = [(−9 + 46i) + (1 − i)]^2
N´umeros complejos.
Ejemplo
Hallar [(3 + 2i)^3 + (1 − i)]^2
Soluci´on: Por un lado, la potencia c´ubica se desarrolla: (3 + 2i)^3 = 33 + 3 · (3)^2 · (2i) + 3 · 3 · (2i)^2 + (2i)^3 = 27 + 54i + 36i^2 + 8i^3 = 27 − 36 + 54i − 8 i = −9 + 46i Entonces [(3 + 2i)^3 + (1 − i)]^2 = [(−9 + 46i) + (1 − i)]^2 = (−8 + 45i)^2 = (−8)^2 − 720 i + (45i)^2 = 64 − 2025 − 720 i
N´umeros complejos.
Ejemplo
Hallar [(3 + 2i)^3 + (1 − i)]^2
Soluci´on: Por un lado, la potencia c´ubica se desarrolla: (3 + 2i)^3 = 33 + 3 · (3)^2 · (2i) + 3 · 3 · (2i)^2 + (2i)^3 = 27 + 54i + 36i^2 + 8i^3 = 27 − 36 + 54i − 8 i = −9 + 46i Entonces [(3 + 2i)^3 + (1 − i)]^2 = [(−9 + 46i) + (1 − i)]^2 = (−8 + 45i)^2 = (−8)^2 − 720 i + (45i)^2 = 64 − 2025 − 720 i = -1961-720i
N´umeros complejos.
Ejemplo
Hallar [(3 + 2i)^3 + (1 − i)]^2
Soluci´on: Por un lado, la potencia c´ubica se desarrolla: (3 + 2i)^3 = 33 + 3 · (3)^2 · (2i) + 3 · 3 · (2i)^2 + (2i)^3 = 27 + 54i + 36i^2 + 8i^3 = 27 − 36 + 54i − 8 i = −9 + 46i Entonces [(3 + 2i)^3 + (1 − i)]^2 = [(−9 + 46i) + (1 − i)]^2 = (−8 + 45i)^2 = (−8)^2 − 720 i + (45i)^2 = 64 − 2025 − 720 i = -1961-720i
Potencias de i:
N´umeros complejos.
Ejemplo
Hallar [(3 + 2i)^3 + (1 − i)]^2
Soluci´on: Por un lado, la potencia c´ubica se desarrolla: (3 + 2i)^3 = 33 + 3 · (3)^2 · (2i) + 3 · 3 · (2i)^2 + (2i)^3 = 27 + 54i + 36i^2 + 8i^3 = 27 − 36 + 54i − 8 i = −9 + 46i Entonces [(3 + 2i)^3 + (1 − i)]^2 = [(−9 + 46i) + (1 − i)]^2 = (−8 + 45i)^2 = (−8)^2 − 720 i + (45i)^2 = 64 − 2025 − 720 i = -1961-720i
Potencias de i:
i^2 = (
−1)^2 = − 1
N´umeros complejos.
Ejemplo
Hallar [(3 + 2i)^3 + (1 − i)]^2
Soluci´on: Por un lado, la potencia c´ubica se desarrolla: (3 + 2i)^3 = 33 + 3 · (3)^2 · (2i) + 3 · 3 · (2i)^2 + (2i)^3 = 27 + 54i + 36i^2 + 8i^3 = 27 − 36 + 54i − 8 i = −9 + 46i Entonces [(3 + 2i)^3 + (1 − i)]^2 = [(−9 + 46i) + (1 − i)]^2 = (−8 + 45i)^2 = (−8)^2 − 720 i + (45i)^2 = 64 − 2025 − 720 i = -1961-720i
Potencias de i:
i^2 = (
−1)^2 = − 1 i^3 = i^2 · i = − 1 · i = −i,
i^4 = i^2 · i^2 = (−1)(−1) = 1
N´umeros complejos.
Ejemplo
Hallar [(3 + 2i)^3 + (1 − i)]^2
Soluci´on: Por un lado, la potencia c´ubica se desarrolla: (3 + 2i)^3 = 33 + 3 · (3)^2 · (2i) + 3 · 3 · (2i)^2 + (2i)^3 = 27 + 54i + 36i^2 + 8i^3 = 27 − 36 + 54i − 8 i = −9 + 46i Entonces [(3 + 2i)^3 + (1 − i)]^2 = [(−9 + 46i) + (1 − i)]^2 = (−8 + 45i)^2 = (−8)^2 − 720 i + (45i)^2 = 64 − 2025 − 720 i = -1961-720i