TEMA 3.- EL CÁLCULO DIFERENCIAL DE UNA
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
3.4.-APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
7º.- La Optimización
Una de las aplicaciones más interesantes y comunes de la Derivada es la resolución de
Problema de Optimización de Funciones. Por ejemplo, a un vendedor le interesa saber
de que forma obtendrá los mayores beneficios; en una plantación en invernadero es
imprescindible conocer la temperatura óptima del mismo para una determinada
producción; cómo diseñar un dispositivo electrónico para que su consumo energético
sea mínimo. En definitiva, son numerosos los problemas de esta clase que se dan en la
realidad y se denominan Problemas de Optimización.
Desde el punto de vista matemático, los problemas de optimización se reducen a la
determinación de máximos y mínimos de funciones de una variable real en
determinados intervalos. La primera etapa en la resolución de estos problemas es
identificar con claridad cuál es la función cuyo el máximo o mínimo hay que encontrar.
A veces, el enunciado del ejercicio proporciona la expresión analítica de esa función,
pero en otros casos no y hay deducir esa expresión analítica utilizando los datos dados
en el enunciado, recordando siempre que se trata de problemas de funciones de una
variable (no de varias variables, por lo que han de existir relaciones entre esas variables
elegidas que permitan finalmente reducir el problema a una única variable). Todas las
funciones con las que se trabajará son funciones continuas en los intervalos de estudio a
determinar.
Una vez obtenida la expresión analítica de la función buscada, se ha de establecer el
intervalo de variación de la variable elegida.
En resumen, para resolver los problemas de optimización se siguen los siguientes
pasos:
1) Identificar y nombrar las variables: "Llamamos x a...";
2) Hallar la función que debemos optimizar (¿qué es lo que debe ser máximo -o mínimo-
?) Puede depender de una o más variables.
3) Si la función depende de varias variables, hay que hallar la relación que existe entre
ellas.
4) Expresar la función inicial como una función con una sola variable.
