OPTIMIZACION DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
1.1 Introducción
La optimización es una aplicación directa del cálculo diferencial y sirve
para calcular máximos y mínimos de funciones sujetas a determinadas
condiciones.
La aplicación práctica de los problemas de optimización es bien clara:
calcular superficies o volúmenes máximos, costes mínimos, forma óptima de
determinadas figuras, etc.
1.2 Métodos de optimización
Es importante en los problemas de optimización, identificar claramente la
función a optimizar que suele depender de dos variables. El ejercicio nos dará
una condición que liga a ambas y lo que debemos hacer es despejar una de ellas
y sustituirla en la función a optimizar, de forma que tengamos una sola variable.
A partir de aquí aplicaremos la teoría del cálculo diferencial para identificar
máximos o mínimos.
Las derivadas son una útil herramienta para examinar las gráficas de
funciones. En particular, los puntos en el interior de un dominio de una función
de valores reales que llevan a dicha función a un extremo local tendrán una
primera derivada igual a cero.
Sin embargo, no todos los puntos críticos son extremos locales. Por
ejemplo:
f(x)=x³
Tiene un punto crítico en x=0
Pero en ese punto no hay un máximo ni un mínimo.
Para identificar los puntos extremos hayamos la segunda derivada. Si la
segunda derivada es positiva en un punto crítico, se dice que el punto es
un mínimo local; si es negativa, se dice que el punto es un máximo local; si vale
cero, puede ser tanto un mínimo, como un máximo o un punto de inflexión.
