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Asignatura: Análisis de Algoritmos y Estructuras de Datos, Profesor: Mayte Gracía, Carrera: Ingeniería Informática, Universidad: UCA
Tipo: Apuntes
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Tema 1: Órdenes asintóticos
Mª Teresa García Horcajadas José Fidel Argudo Argudo Antonio García Domínguez Francisco Palomo Lozano
Versión 1.
(^1) Introducción
(^2) Orden asintótico O
(^3) Orden asintótico Ω
(^4) Orden asintótico Θ
5 Operaciones asintóticas
De nición Dada una función f : N → R+ 0 , su orden O es el conjunto de las funciones acotadas superiormente, a partir de un cierto umbral, por múltiplos reales y positivos de f.
O(f ) = {t : N → R+ 0 | ∃c ∈ R+^ ∃n 0 ∈ N ∀n > n 0 t(n) 6 cf (n)}
Así, t ∈ O(f ) si, y solo si, ∃c ∈ R+^ ∃n 0 ∈ N ∀n > n 0 t(n) 6 cf (n)
Nota Esta de nición es asintótica, ya que solo importa lo que ocurre para valores de n su cientemente grandes. Por lo tanto, se puede relajar cuando n < n 0 y permitir que f tome el valor 0, valores negativos o que incluso no esté de nida.
c = 2 n 0 = 20
c = 3 n 0 = 10 c = 5 n 0 = 5
n + 20 n 2 n 3 n 5 n
Ordenación de funciones por órdenes O induce un preorden (^6) O (una relación binaria re exiva y transitiva) sobre N → R+ 0 , de nido por:
f (^6) O g ⇐⇒ O(f ) ⊆ O(g )
Este preorden no es total (existen elementos incomparables).
Pertenencia y contención
f ∈ O(g ) ⇐⇒ O(f ) ⊆ O(g ) f ∈ O(g ) ∧ g ∈ O(f ) ⇐⇒ O(f ) = O(g ) f ∈ O(g ) ∧ g ∈/ O(f ) ⇐⇒ O(f ) ⊂ O(g )
Simpli cación
O(cf ) = O(f ) (c ∈ R+) O(f + g ) = O(max{f , g })
O
( (^) k ∑
i= 0
ci ni
= O(nk^ ) (ck ∈ R+)
Comparación mediante límites (si existen)
lm f (n) g (n)
= 0 =⇒ O(f ) ⊂ O(g )
lm f (n) g (n) ∈ R+^ =⇒ O(f ) = O(g )
lm
f (n) g (n) = ∞ =⇒ O(g ) ⊂ O(f )
n n log n n^2 / 10 n^3 / 100
n^3 2 n/ 10 3 n/ 100
¾Qué ocurre si se multiplica el tiempo disponible?
Nombre O(f (n)) t = 1 s t = 2 s t = 10 s logarítmico log n n = 100 n = 10000 n = 1020 lineal n n = 100 n = 200 n = 1000 lineal logarítmico n log n n = 100 n = 178 n = 702 o cuasi-lineal cuadrático n^2 n = 100 n = 141 n = 316 cúbico n^3 n = 100 n = 126 n = 215 potencial nk^ n = 100 n = 100 · 21 /k^ n = 100 · 101 /k exponencial 2 n^ n = 100 n = 101 n = 103
¾Qué ocurre si se dobla el tamaño de la entrada?
Nombre O(f (n)) n = 100 n = 200 logarítmico log n 1 s 1,15 s lineal n 1 s 2 s lineal logarítmico o cuasi-lineal n^ log^ n^ 1 s^ 2,30 s cuadrático n^2 1 s 4 s cúbico n^3 1 s 8 s potencial nk^ 1 s 2 k^ s exponencial 2 n^ 1 s 1 , 27 × 1030 s > 4 × 1020 siglos
Dualidad
f ∈ O(g ) ⇐⇒ g ∈ Ω(f ) Permite traspasar las propiedades de O a Ω y viceversa.
Relación entre O y Ω
O(f ) = O(g ) ⇐⇒ Ω(f ) = Ω(g )
De nición Dada una función f : N → R+ 0 , su orden Θ es el conjunto de funciones acotadas (superior e inferiormente), a partir de un cierto umbral, por múltiplos reales y positivos de f.
Θ(f ) = {t : N → R+ 0 | ∃c 1 , c 2 ∈ R+^ ∃n 0 ∈ N ∀n > n 0 c 1 f (n) 6 t(n) 6 c 2 f (n)}
Así, t ∈ Θ(f ) si, y solo si, t ∈ Ω(f ) y t ∈ O(f )
Equivalencia entre órdenes de funciones Θ induce una equivalencia ≡Θ (una relación binaria re exiva, simétrica y transitiva) sobre N → R+ 0 , de nida por:
f ≡Θ g ⇐⇒ Θ(f ) = Θ(g )
Propiedades
Θ(f ) = O(f ) ∩ Ω(f ) O(f ) = O(g ) ⇐⇒ Θ(f ) = Θ(g ) Ω(f ) = Ω(g ) ⇐⇒ Θ(f ) = Θ(g )
Las propiedades de O y Ω se traducen de manera sencilla a Θ.
Ejemplos
Θ(cf ) = Θ(f ) Θ(f + g ) = Θ(max{f , g })
lm
f (n) g (n) ∈ R+^ =⇒ Θ(f ) = Θ(g )
Simplemente por aplicación directa de la relación entre O y Θ.
De nición Dados Ξ ∈ {O, Ω, Θ}, f , g : N → R+ 0 y un operador binario ◦, se de ne Ξ(f ) ◦ Ξ(g ) como el conjunto de las funciones que se obtienen aplicando ◦ a cada función de Ξ(f ) y de Ξ(g ).
Ξ(f ) ◦ Ξ(g ) = {t : N → R+ 0 | ∃u ∈ Ξ(f ) ∃v ∈ Ξ(g ) ∃n 0 ∈ N ∀n > n 0 t(n) = u(n) ◦ v (n)}
Suma y producto de órdenes
O(f ) + O(g ) = O(f + g ) O(f ) · O(g ) = O(f · g ) Ω(f ) + Ω(g ) = Ω(f + g ) Ω(f ) · Ω(g ) = Ω(f · g ) Θ(f ) + Θ(g ) = Θ(f + g ) Θ(f ) · Θ(g ) = Θ(f · g )
