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Oscilaciones
Movimiento armónico simple.
- Un muchacho avanza a velocidad suicida con sus patines de ruedas cuando sus tirantes super elásticos se enganchan en el poste de una valla y comienza a oscilar adelante y atrás con una amplitud A. ¿qué distancia recorre en un periodo? En un período iniciara un nuevo ciclo, por ello recorre una distancia de 4ª, y se encuentra en la misma posición inicial.
- Un vecino toma una instantánea del muchacho oscilante del problema 1 en un momento en que su velocidad es nula. ¿Cuál es su distancia al poste en ese instante? En el momento inicial su velocidad es máxima y se encuentra en el centro de oscilación, en el momento en que su velocidad es nula se encuentra en x=A.
- ¿Cuál es la magnitud de la aceleración de un oscilador de amplitud A y frecuencia f cuando su aceleración es máxima? ¿Y cuándo su desplazamiento es máximo? En el momento en que la aceleración es máxima tendremos x=±A, dado que 𝑎𝑎 = −𝜔𝜔 2 𝑥𝑥. Por tanto: 𝑎𝑎 = 4∗𝜋𝜋 2 𝑇𝑇 2 ∗ 𝐴𝐴^ = 4^ ∗ 𝜋𝜋^
El valor es el mismo en los dos casos.
- ¿Pueden tener la misma dirección el desplazamiento y la aceleración de un oscilador armónico simple? ¿Y el desplazamiento y la velocidad? ¿Y la aceleración y la velocidad? Razonar las respuestas. Tomaremos la pregunta con sentido, dado que en sentido estricto el movimiento armónico unidimensional tiene una única dirección. El sentido del desplazamiento y la aceleración son siempre opuestos, dado que 𝑎𝑎 = −𝜔𝜔 2 𝑥𝑥. La velocidad puede tener el mismo sentido que el desplazamiento, por ejemplo, puede ir hacia la derecha y tener velocidad positiva, o ir hacia la izquierda y tener velocidad negativa. Cuando el objeto se dirige hacia el centro de oscilación su aceleración va hacia el centro y la velocidad también está dirigida hacia él.
- Verdadero o falso: a) En el movimiento armónico simple, el período es proporcional al cuadrado de su amplitud. b) En el movimiento armónico simple, la frecuencia no depende de la amplitud. c) Si la aceleración de una partícula es proporcional al desplazamiento, pero de sentido opuesto, el movimiento es armónico simple. a) Falso, el período es independiente de la amplitud. b) Correcto. c) Correcto, que 𝑎𝑎 = −𝜔𝜔 2 𝑥𝑥.
- La posición de una partícula viene dada por x=(7 cm)*cos6πt, en donde t viene dado por segundos. Determinar
a) La frecuencia. b) El período. c) La amplitud del movimiento de la partícula. d) ¿Cuál es el primer instante después de t=0 en que la partícula está en su posición de equilibrio? ¿En qué sentido se está moviendo en ese instante? a) 𝜔𝜔 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑓𝑓 ; 𝑓𝑓 = 𝜔𝜔 2∗𝜋𝜋 =^
6∗𝜋𝜋 2∗𝜋𝜋 = 3^ 𝐻𝐻𝐻𝐻 b) 𝑇𝑇 = (^1) 𝑓𝑓 = 0,33 𝑠𝑠 c) 𝐴𝐴 = 7 𝑐𝑐𝑐𝑐 d) La partícula sale de x=A. Pasará por la posición de equilibrio en T/4. 𝑡𝑡 = 0,0825 𝑠𝑠. En ese instante se está moviendo hacia la izquierda.
- a) ¿Cuál es la velocidad máxima de la partícula del problema 6? b) ¿Cuál es su aceleración máxima? a) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 0,07 ∗ 6 ∗ 𝜋𝜋 = 1,32 𝑐𝑐/𝑠𝑠 b) 𝑎𝑎 (^) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 2 = 0,07 ∗ (6 ∗ 𝜋𝜋)^2 = 24,87 𝑐𝑐/𝑠𝑠 2
- ¿Cuál es la constante de fase δ en la ecuación x=A*cos(𝜔𝜔𝑡𝑡 + 𝛿𝛿) si la posición de la partícula oscilante en el instante t=0 es a) 0 b)-A c) A d) A/2. a) 0 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛿𝛿 ; 𝛿𝛿 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠0 = ± 𝜋𝜋 2 b) −1 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛿𝛿 ; 𝛿𝛿 = arccos (−1) = 𝜋𝜋 c) 1 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛿𝛿 ; 𝛿𝛿 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠1 = 0 d) 1 2 =^ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛿𝛿^ ;^ 𝛿𝛿^ = arccos^ �^
1 2 �^ = ±^
𝜋𝜋 3
- Una partícula de masa m empieza estando en reposo en x=+25 cm y oscila alrededor de su posición de equilibrio en x=0 con un período de 1,5 s. Escribir las ecuaciones para a) La posición x en función del tiempo. b) La velocidad v en función de t. c) La aceleración a en función de t. a) 𝐴𝐴 = 0,25 𝑐𝑐 𝜔𝜔 = 2∗𝜋𝜋 𝑇𝑇 =^
2 1 , 5 ∗ 𝜋𝜋^ = 1,33^ ∗ 𝜋𝜋^
𝑟𝑟𝑚𝑚𝑟𝑟 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 0 , 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 ; 𝛿𝛿 = 0 𝑥𝑥 = 0,25 ∗ cos (1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) (SI) b) 𝑣𝑣 = −𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) = −0.25 ∗ 1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) 𝑣𝑣 = −1,045 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) (𝑆𝑆𝑆𝑆) c) 𝑎𝑎 = −𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 2 ∗ cos(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡) = 0,25 ∗ (1,33 ∗ 𝜋𝜋)^2 ∗ cos (1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) 𝑎𝑎 = −4,36 ∗ cos(1,33 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) (𝑆𝑆𝑆𝑆)
- Hallar a) La velocidad máxima. b) La aceleración máxima de la partícula del problema 6. c) ¿Cuál es la primera vez en que la partícula está en x=0 y moviéndose hacia la derecha? a) 𝑥𝑥 = 0,07 ∗ cos(6 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) (𝑆𝑆𝑆𝑆)
𝑥𝑥 = 0,08 ∗ cos � 𝜋𝜋 4 ∗ 𝑡𝑡 −^
𝜋𝜋 2 � 𝑥𝑥(1)^ − 𝑥𝑥(0) = 0,12 ∗ cos �^ 𝜋𝜋 4 −^
𝜋𝜋 2 � −^ 0,12^ ∗^ cos^ �−^
𝜋𝜋 2 �^ = 0,085^ 𝑐𝑐 d) En t =2 s se encuentra en x=A. 𝑥𝑥(1)^ − 𝑥𝑥(0) = 12 − 8,5 = 3,5 𝑐𝑐𝑐𝑐
- El período de una partícula oscilante es 8 s. En t=0 s, la partícula está en x=A=10 cm. a) Hacer un gráfico de x en función de t. b) Hallar la distancia recorrida en el primero, segundo, tercero y cuarto segundos después de t=0. a) 𝜔𝜔 = 2∗𝜋𝜋 𝑇𝑇 =^
2∗𝜋𝜋 8 =^
𝜋𝜋 4 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑/𝑠𝑠 𝑥𝑥 = 0,10 ∗ cos (𝜋𝜋 4 ∗ 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿) 𝑡𝑡 = 0; 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 1 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝛿𝛿 ; 𝛿𝛿 = arccos(1) = 0 𝑥𝑥 = 0,10 ∗ cos � 𝜋𝜋 4 ∗ 𝑡𝑡�
b) 𝑥𝑥(1) − 𝑥𝑥(0) = 0,10 ∗ cos � 𝜋𝜋 4 � − 0,10 = −0,02923 𝑐𝑐 𝑥𝑥(2) − 𝑥𝑥(1) = 0,10 ∗ cos � 𝜋𝜋 4 ∗ 2 � − 0,10 ∗ cos � 𝜋𝜋 4 � = −0,071 𝑐𝑐 𝑥𝑥(3)^ − 𝑥𝑥(2) = 0,10 ∗ cos � 𝜋𝜋 4 ∗ 3 � − 0,10 ∗ cos � 𝜋𝜋 4 ∗ 2 � = −0,071 𝑐𝑐 𝑥𝑥(4)^ − 𝑥𝑥(3) = 0,10 ∗ cos � 𝜋𝜋 4 ∗^4 � −^ 0,10^ ∗^ cos^ �^
𝜋𝜋 4 ∗^3 �^ =^ −0,0292^ 𝑐𝑐
- En las especificaciones militares es frecuente que exijan que los dispositivos electrónicos sean capaces de resistir aceleraciones de 10 g=98,1 m/s 2. Para asegurarse de que sus productos cumplen con esta especificación, los fabricantes los someten a ensayos en unas mesas vibrantes que pueden hacer vibrar un equipo a diversas frecuencias y amplitudes especificades. Si un determinado dispositivo se somete a una vibración de 1,5 cm de amplitud, ¿Cuál deberá ser su frecuencia para que cumpla con la especificación militar de los 10 g? 𝑎𝑎 (^) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝑤𝑤 2 = 10 ∗ 𝑔𝑔
10 ∗ 𝑔𝑔 = 𝐴𝐴 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋 2 ∗ 𝑓𝑓 2 ; 𝑓𝑓 = � (^) 𝐴𝐴∗4∗𝜋𝜋10∗𝑔𝑔 2 = (^) 2∗𝜋𝜋^1 ∗ � 10∗𝑔𝑔𝐴𝐴 = 12,87 𝐻𝐻𝐻𝐻
- La posición de una partícula viene dada por x=2,5*cosπt, en donde x se expresa en metros y t en segundos. a) Determinar la velocidad máxima y la aceleración máxima de la partícula. b) Determinar la velocidad y la aceleración de la partícula cuando x=1,5 m. a) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 2,5 ∗ 𝜋𝜋 = 7,85 𝑐𝑐/𝑠𝑠 𝑎𝑎 (^) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 2 = 2,5 ∗ 𝜋𝜋 2 = 24,67 𝑐𝑐/𝑠𝑠 2 b) 𝑣𝑣 = − 2,5 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) 1,5 = 2,5 ∗ cos(𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡) ; 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡 = arccos(0,6) ; 𝑡𝑡 = 0,295 𝑠𝑠 𝑣𝑣(0,295) = −2,5 ∗ 𝜋𝜋 ∗ cos(𝜋𝜋 ∗ 0,295) = −6,28 𝑐𝑐/𝑠𝑠 𝑎𝑎 = −𝜔𝜔 2 ∗ 𝑥𝑥 = −𝜋𝜋 2 ∗ 1,5 = −14,8 𝑐𝑐/𝑠𝑠 2
- En mar gruesa, la proa de un destructor sufre un movimiento de balanceo vertical equivalente a un movimiento armónico simple de 8,0 s de período y 2,0 m de amplitud. a) ¿Cuál es la máxima velocidad vertical de la proa del destructor? b) ¿Cuál es su aceleración máxima? c) Un marinero de 80 kg está subido a una báscula de una cámara de proa. ¿Cuáles son la máxima y mínima lecturas de la báscula en newtons? a) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 2,0 ∗ 2∗𝜋𝜋 8 , 0 = 1,18 𝑐𝑐/𝑠𝑠
b) 𝑎𝑎 (^) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 2 = 2,0 ∗ � 2∗𝜋𝜋 8 , 0 �^
2 = 0,925 𝑐𝑐/𝑠𝑠 2 c) En el punto más alto de la oscilación la báscula marcará: 𝐹𝐹 + 𝑃𝑃 = 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴 + 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 = 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔 2 ∗ 𝐴𝐴 + 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 = 80 ∗ ��^ 2∗𝜋𝜋 8 , 0 �^
2 ∗ 2,0 + 9,81� = 883,5 𝑁𝑁 En el punto inferior: 𝑃𝑃 − 𝐹𝐹 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 − 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔 2 ∗ 𝐴𝐴 = 80 ∗ �9.81 − � 2∗𝜋𝜋 8 , 0 �
2 ∗ 2,0� = 686,1 𝑁𝑁
Movimiento armónico simple y movimiento circular
- Una partícula se mueve sobre una circunferencia de radio 40 cm con una velocidad constante de 80 cm/s. Hallar a) La frecuencia. b) El periodo del movimiento. c) C) Escribir una ecuación para el componente x de la posición de la partícula en función del tiempo t, suponiendo que la partícula está sobre el eje x en el instante t = 0. a) 𝜔𝜔 = 𝑣𝑣 𝑅𝑅 =^
80 𝑐𝑐𝑚𝑚/𝑠𝑠 40 𝑐𝑐𝑚𝑚 = 2^ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑/𝑠𝑠;^ 𝜔𝜔^ = 2^ ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑓𝑓;^ 𝑓𝑓^ =^
𝜔𝜔 2∗𝜋𝜋 =^
2 2∗𝜋𝜋 = 0.3183^ 𝐻𝐻𝐻𝐻 b) 𝑇𝑇 = (^1) 𝑓𝑓 ; 𝑇𝑇 = 3,14 𝑠𝑠 c) 𝑥𝑥 = 𝑅𝑅 ∗ cos (𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿) 𝑅𝑅 = 0,4 𝑐𝑐 ; 𝜔𝜔 = 2 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑟𝑟 𝑠𝑠 𝑡𝑡 = 0 ; 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 ; 𝛿𝛿 = arccos(1) = 0 𝑥𝑥 = 0,4 ∗ cos (2 ∗ 𝑡𝑡) (S.I.)
- Una partícula se mueve sobre una circunferencia de radio 15 cm, dando 1 rev cada 3s. a) ¿Cuál es la velocidad de la partícula? b) ¿Cuál es su velocidad angular?
- Un objeto de 3 kg que oscila unido a un muelle de constante 2 kN/m tiene una energía total de 0,9 J. a) ¿Cuál es la amplitud del movimiento? b) ¿Cuál es su velocidad máxima?
a) 𝐸𝐸 = 12 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴^2 ; 𝐴𝐴 = � 2∗𝐸𝐸𝑘𝑘 = � 2∗0 2000 ,^9 = 0.03 𝑐𝑐
b) 𝐸𝐸 = 12 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚^2 ; 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = � 2∗𝐸𝐸𝑚𝑚 = � 2∗0 3.^9 = 0.775 𝑐𝑐/𝑠𝑠
- Un objeto oscila unido a un muelle con una amplitud de 4,5 cm. Su energía total es 1, J. ¿Cuál es la constante de fuerza del muelle?
𝐸𝐸 = 12 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴^2 ; 𝑘𝑘 = 2∗𝐸𝐸𝐴𝐴 2 = 0 2∗1. 045 ,^42 = 1382.7𝑁𝑁/𝑐𝑐
- Un objeto de 3 kg oscila sobre un muelle con una amplitud de 8 cm. Su aceleración máxima es 3,50 m/s 2. Determinar la energía total.
𝑎𝑎 (^) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 2 ; 𝑤𝑤 = � 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴 =^ �^
3 , 50 0 , 08 = 6.61^ 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑/𝑠𝑠 𝐸𝐸 = 12 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚^2 = 12 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝐴𝐴^2 ∗ 𝜔𝜔 2 = 12 ∗ 3 ∗ 0.08^2 ∗ 6.61^2 = 0.419 𝐽𝐽
Muelles
- Verdadero o falso. a) El período de un objeto que oscila sobre un determinado muelle es el mismo, independientemente de que el muelle sea vertical u horizontal. b) La velocidad máxima de un objeto que oscila con amplitud A sobre un determinado muelle es la misma, independientemente de que el muelle sea vertical u horizontal. a) 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔 2. La constante es característica del muelle. Por tanto es correcta. b) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔. Correcta.
- Un músico planea anunciar el año nuevo tocando el trombón mientras oscila arriba y abajo sobre un muelle que cuelga de un rascacielos en Times Square en Nueva York. Intenta oscilar con un período de un segundo en sincronía con los espectadores, mientras estos hacen la cuenta atrás hasta el momento justo de la media noche. Si utiliza un muelle de contante de fuerza 3000 N/m, el músico debe estar seguro de que el total de su masa vibrante debe alcanzar el valor total de a) 3000 kg b) √ 3000 𝑘𝑘𝑔𝑔 c) 4 𝜋𝜋 2 (3000)𝑘𝑘𝑔𝑔 d) 3000 � 4 𝜋𝜋 2 𝑘𝑘𝑔𝑔 e) ninguno de los anteriores. 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔 2 ; 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 4∗𝜋𝜋^
2 𝑇𝑇 2 ;^ 𝑐𝑐^ =^
𝑘𝑘∗𝑇𝑇 2 4∗𝜋𝜋 2 Por tanto, respuesta correcta d.
- Un objeto de 2,4 kg está sujeto a un muelle horizontal de constante de fuerza k=4, kN/m. El muelle se estira 10 cm desde el equilibrio y se deja en libertad. Determinar a) La frecuencia del movimiento. b) El período. c) La amplitud. d) La velocidad máxima.
e) La aceleración máxima. f) ¿Cuándo alcanza el objeto por vez primera su posición de equilibrio? ¿Cuál es su aceleración en ese instante?
a) 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋 2 ∗ 𝑓𝑓 2 ; 𝑓𝑓 = � 𝑘𝑘 𝑚𝑚∗4∗𝜋𝜋 2 =^ �^
4500 2 ,4∗4∗𝜋𝜋 2 = 6,89^ 𝐻𝐻𝐻𝐻 b) 𝑇𝑇 = (^1) 𝑓𝑓 = (^6) ,^189 = 0,145 𝑠𝑠 c) A=0,1 m d) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 𝐴𝐴 ∗ 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑓𝑓 = 0,1 ∗ 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 6,89 = 4,33 𝑐𝑐/𝑠𝑠 e) 𝑎𝑎 (^) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 2 = 𝐴𝐴 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋 2 ∗ 𝑓𝑓 2 = 0.1 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋 2 ∗ 6.89^2 = 187,4 𝑐𝑐/𝑠𝑠 2 f) Sale de un extremo, llegará al centro en T/4 s, su aceleración en ese momento es 0 (a=-w 2 x).
- Responder a las cuestiones del problema 29 para un objeto de 5 kg sujeto a un muelle de constante de fuerza k=700 N/m, teniendo en cuenta que el muelle está inicialmente separado 8 cm de la posición de equilibrio.
a) 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋 2 ∗ 𝑓𝑓 2 ; 𝑓𝑓 = � (^) 𝑚𝑚∗4∗𝜋𝜋𝑘𝑘 2 = � (^) 5∗4∗𝜋𝜋^700 2 = 1,88 𝐻𝐻𝐻𝐻
b) 𝑇𝑇 = (^1) 𝑓𝑓 = (^1) ,^188 = 0,531 𝑠𝑠 c) A=0.08 m d) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 𝐴𝐴 ∗ 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑓𝑓 = 0,08 ∗ 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 1,88 = 0,945 𝑐𝑐/𝑠𝑠 e) 𝑎𝑎 (^) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 2 = 𝐴𝐴 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋 2 ∗ 𝑓𝑓 2 = 0.08 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋 2 ∗ 1.88^2 = 11,16 𝑐𝑐/𝑠𝑠 2 f) Sale de un extremo, llegará al centro en T/4 s, su aceleración en ese momento es 0 (a=-w 2 x).
- Un objeto de 3 kg sujeto a un muelle horizontal oscila con una amplitud A=10 cm y una frecuencia f=2,4 Hz. a) ¿Cuál es la constante de fuerza del muelle? b) ¿Cuál es el período del movimiento? c) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto? d) ¿Cuál es la aceleración máxima del objeto? a) 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋 2 ∗ 𝑓𝑓 2 = 3 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋 2 ∗ 2.4^2 = 682,2 𝑁𝑁/𝑐𝑐 b) 𝑇𝑇 = (^1) 𝑓𝑓 = (^21). 4 = 0,42 𝑠𝑠 c) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 𝐴𝐴 ∗ 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑓𝑓 = 0,1 ∗ 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 2.4 = 1.51 𝑐𝑐/𝑠𝑠 d) 𝑎𝑎 (^) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 2 = 𝐴𝐴 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋 2 ∗ 𝑓𝑓 2 = 0.1 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋 2 ∗ 2.4^2 = 22.7 𝑐𝑐/𝑠𝑠 2
- Una persona de 85 kg sube a un coche de masa 2400 kg con lo cual sus ballestas descienden 2.35 cm. Suponiendo que no hay amortiguamiento, ¿con qué frecuencia vibrará el coche y el pasajero sobre las ballestas? 𝐹𝐹 = 𝑘𝑘 ∗ ∆𝑥𝑥 ; 𝑘𝑘 = (^) ∆𝐹𝐹𝑚𝑚 = 𝑚𝑚∗𝑔𝑔∆𝑚𝑚
𝑘𝑘 = 𝑀𝑀 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋 2 ∗ 𝑓𝑓 2 ; 𝑓𝑓 = � (^) 𝑀𝑀∗4∗𝜋𝜋𝑘𝑘 2 = (^) � (^) 𝑀𝑀∗4∗𝜋𝜋𝑚𝑚∗𝑔𝑔 2 ∗∆𝑚𝑚
85∗9, 81 2485∗4∗𝜋𝜋 2 ∗0. 0235 = 0,601^ 𝐻𝐻𝐻𝐻
- Un objeto de 4,5 kg oscila sobre un muelle horizontal con una amplitud de 3,8 cm. Su aceleración máxima es de 26 m/s 2. Determinar a) La constante de fuerza k. b) La frecuencia del movimiento. c) El período del movimiento.
c) Escribir expresiones para el desplazamiento x, la velocidad v y la aceleración a en función de t. a) 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔 2 ; 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋 2 ∗ 𝑓𝑓 2 ; 𝑐𝑐 = (^) 4∗𝜋𝜋𝑘𝑘 2 ∗𝑓𝑓 2 = (^) 4∗𝜋𝜋^1800 2 ∗5. 52 = 1,507 𝑘𝑘𝑔𝑔
b) 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 = 𝑘𝑘 ∗ ∆𝑥𝑥 ; ∆𝑥𝑥 = 𝑚𝑚∗𝑔𝑔 𝑘𝑘 =^
1 .507∗9. 81 1800 = 0.00821^ 𝑐𝑐 c) Suponemos que en t=0 la partícula comienza el movimiento en x=-A. 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 ∗ cos (𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 + 𝜋𝜋) 𝜔𝜔 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑓𝑓 = 11 ∗ 𝜋𝜋 𝑥𝑥 = 0,025 ∗ cos (11 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡 + 𝜋𝜋) 𝑣𝑣 = −0.275 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(11 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡 + 𝜋𝜋) 𝑎𝑎 = −3.025 ∗ 𝜋𝜋 2 ∗ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(11 ∗ 𝜋𝜋 ∗ 𝑡𝑡 + 𝜋𝜋)
- Un muelle sin deformación cuelga verticalmente y en su extremo se cuelga un cuerpo de masa desconocida que se suelta desde el reposo. Cae 3,42 cm antes de que quede en reposo por primera vez. Hallar el período del movimiento. Consideramos que la situación inicial es h=0. El sistema baja una altura h ( -h) y se estira, si la situación inicial tiene energía cero, la final también. Por conservación de energías: 0 = −𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ + 12 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥 2 0 = −𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝑥𝑥 + 1 2 ∗^ 𝑐𝑐^ ∗ 𝜔𝜔^
𝑔𝑔 ∗ ℎ = 12 ∗ 4∗𝜋𝜋^
2 𝑇𝑇 2 ∗ 𝑥𝑥^
2 ; 𝑇𝑇 = � 2∗𝜋𝜋^2 ∗𝑚𝑚^2
𝑔𝑔∗𝑚𝑚 =^ �^
2∗𝜋𝜋 2 ∗0. 03422 9 .81∗0. 0342 = 0.262^ 𝑠𝑠
- Un muelle de constante k=250 N/m se cuelga de un soporte rígido y se une a su extremo inferior un objeto de 1 kg de masa, que se deja en libertad cuando el muelle está sin deformar. a) ¿Cuánto desciende el objeto antes de empezar a ascender de nuevo? b) ¿A qué distancia por debajo del punto de partida está la posición de equilibrio del objeto? c) ¿Cuál es el período de oscilación? d) ¿Cuál es la velocidad del objeto cuando alcanza por primera vez su posición de equilibrio? e) ¿Cuánto sucede esto? a) Alargamiento del muelle: 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 = 𝑘𝑘 ∗ 𝑦𝑦 ; 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚∗𝑔𝑔𝑘𝑘 = 1∗9 250.^81 = 0.03924 𝑐𝑐 b) Si consideramos como altura cero el punto de alargamiento del muelle anterior, y punto d energía potencial elástica nulo el mismo punto anterior. Aplicamos conservación energía mecánica: 0 = −𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ + 12 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥 2 ; 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑥𝑥 = ℎ 𝑥𝑥 = 2∗𝑚𝑚∗𝑔𝑔 𝑘𝑘 =^
2∗9.81∗ 250 = 0.07848^ 𝑐𝑐 c) 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔 2 ; 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ � 2∗𝜋𝜋 𝑇𝑇 �^
2 ; 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 𝑚𝑚 𝑘𝑘 = 2^ ∗ 𝜋𝜋 ∗ �^
1 250 = 0.397^ 𝑠𝑠 d) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0.07848 ∗ 0 2∗𝜋𝜋. 397 = 1.242 𝑐𝑐/𝑠𝑠 e) El objeto sale de x=-A en t=0, en el centro, x=0, habrá pasado T/4 s. 𝑡𝑡 = 𝑇𝑇 4 = 0.^3974 = 0.09925 𝑠𝑠
- El arco de St. Luis tiene una altura de 192 m. Supongamos que una atleta de 60 kg salta de la parte más alta del arco con una banda elástica atada a sus pies y alcanza justo el suelo con velocidad cero. Determinar su energía cinética E (^) c a los 2,00 segundos del salto. Suponer que la banda elástica obedece la ley de Hooke y despreciar su longitud natural). Suponemos que durante toda la caída el cuerpo tiene m.v.a.s., de forma que su ecuación para la velocidad es: 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = −𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡 + 𝛿𝛿) Suponemos que A=192/2=96 m. La posición inicial vendrá dada por x=A en t=0. Por tanto, 𝛿𝛿=0. Inicialmente tenemos energía potencial gravitatoria. 𝐸𝐸 1 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ En el punto final, h=0, v=0 y tenemos energía potencial elástica: 𝐸𝐸 2 = 12 ∗ 𝑘𝑘 ∗ (𝑥𝑥)^2
Donde x=h.
Por conservación energía:
𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ = 12 ∗ 𝑘𝑘 ∗ (ℎ)^2 ; 𝑘𝑘 = 2∗𝑚𝑚∗𝑔𝑔ℎ = 2∗60∗9 192 ,^81 = 6,13 𝑁𝑁/𝑐𝑐
𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔 2 ; 𝜔𝜔 = � 𝑚𝑚𝑘𝑘 = � 2∗𝑔𝑔ℎ = � 2∗9 192.^81 = 0.320 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑/𝑠𝑠
1 2 ∗^ 𝑐𝑐^ ∗ 𝑣𝑣(2) =^
1 2 ∗^60 ∗^ 18.
- Un bloque de 0.12 kg está suspendido de un muelle. Cuando una pequeña piedra de masa 30 g se sitúa sobre el bloque, el muelle se alarga 5 cm más. Con la piedra sobre el bloque, el muelle oscila con una amplitud de 12 cm. a) ¿Cuál es la frecuencia del movimiento? b) ¿Cuánto tiempo tardará el bloque en recorrer la distancia entre el punto más bajo y el punto más alto? c) ¿Cuál es la fuerza neta de la piedra cuando se encuentra en un punto de máximo desplazamiento hacia arriba? a) Con el alargamiento producido por la piedra: 𝑘𝑘 ∗ 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ; 𝑘𝑘 = 𝑚𝑚∗𝑔𝑔 𝑚𝑚 =^
0 .030∗9. 81
- 05 = 5.886^ 𝑁𝑁/𝑐𝑐 Para la vibración hemos de considerar la masa total del sistema, piedra más bloque):
𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔 2 ; 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ∗ 4 ∗ 𝜋𝜋 2 ∗ 𝑓𝑓 2 ; 𝑓𝑓 = � 𝑘𝑘 𝑚𝑚∗4∗𝜋𝜋 2 =^ �^
- 886 ( 0 .12+0. 030 )∗4∗𝜋𝜋 2 = 0.997^ 𝐻𝐻𝐻𝐻 b) El tiempo entre los puntos indicados será ½*T
𝑇𝑇 = (^) 𝑓𝑓^1 = (^0). 9971 = 1.003 𝑠𝑠
1 2 ∗ 𝑇𝑇^ = 0.502^ 𝑠𝑠 c) En el punto más alto, x=A. 𝐹𝐹 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 + 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴 = 0.15 ∗ 9.81 + 5.886 ∗ 0.12 = 2.18 𝑁𝑁
4∗𝜋𝜋 2 𝑇𝑇 2 ∗ ∆𝑦𝑦^
2 = � 2 ∗ 9.891 ∗ 0.03 − 4∗𝜋𝜋^2
0. 3482 ∗^ 0.
También con:
𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 𝐴𝐴 ∗ � 𝑘𝑘 𝑚𝑚 = 0.03^ ∗ �^
654 2 = 0.543^ 𝑐𝑐/𝑠𝑠
- En un parque se ensaya una nueva atracción para los niños. Un muchacho se sitúa sobre un gran bloque sujeto a un muelle horizontal. Cuando se comprime y se deja en libertad, el muchacho y el bloque oscilan con un período de 2 s. a) Si el coeficiente de rozamiento estático entre el muchacho y el bloque es 0.25, ¿deslizará el muchacho con una amplitud de 1 m? b) ¿Cuál es la amplitud máxima que evita el desplazamiento? a) La fuerza de rozamiento estático máxima que actúa sobre el muchacho es: 𝐹𝐹𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝜇𝜇 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 = 2,4525 ∗ 𝑐𝑐 La aceleración máxima del bloque es 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 2 , La fuerza que debería actuar sobre el muchacho será: 𝐹𝐹𝑚𝑚𝑚𝑚𝑐𝑐ℎ𝑚𝑚𝑐𝑐ℎ𝑐𝑐 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑎𝑎 (^) 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑐𝑐 ∗ 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 2 = 𝑐𝑐 ∗ 1 ∗ 4∗𝜋𝜋^
2 𝑇𝑇 2 = 9.86^ ∗^ 𝑐𝑐 Por tanto, la fuerza anterior es mayor que la de fricción estática máxima, el muchacho deslizará. b) Para que no haya deslizamiento las dos fuerzas deberán ser iguales: 𝜇𝜇 ∗ 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 = 𝐴𝐴 ∗ 4∗𝜋𝜋^
2 𝑇𝑇 2 ∗^ 𝑐𝑐^ ;^ 𝐴𝐴^ =^
𝜇𝜇∗𝑔𝑔∗𝑇𝑇 2 4∗𝜋𝜋 2 =^
0 .25∗9.81∗ 4∗𝜋𝜋 2 = 0.25^ 𝑐𝑐
Energía de un objeto sobre un muelle vertical
- Un cuerpo de 2,5 kg cuelga de un muelle vertical de constante 600 N/m. Oscila con una amplitud de 3 cm. Cuando el cuerpo posee un máximo desplazamiento hacia abajo, encontrar a) La energía total el sistema. b) La energía potencial gravitatoria. c) La energía potencial del muelle. d) ¿Cuál es la energía cinética máxima del cuerpo? (Escoger U=0 cuando el cuerpo está en equilibrio). a) Cuando una masa cuelga de un muelle en posición vertical hay que distinguir entre la energía potencial gravitatoria U (^) g y la energía potencial del muelle, U (^) m. En el punto de equilibrio el muelle está estirado y su energía potencial es 1/2k𝑦𝑦𝑐𝑐^2 respecto a su posición sin masa; y la energía potencial gravitatoria es -mgy (^) o relativa a y=0. Se puede demostrar que si elegimos la energía potencial total (incluida la gravitatoria) igual a cero en la posición de equilibrio y’=0, en cualquier otra posición se cumple 𝑈𝑈 = 𝑈𝑈𝑚𝑚 + 𝑈𝑈𝑔𝑔 =
∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝑦𝑦 ′2^ (𝑈𝑈 = 0 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 ′^ = 0)
Si consideramos el origen de energías potenciales en el punto de equilibrio la energía total es: 𝑈𝑈 = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴
2 ∗^600 ∗^ 0.
b) La energía potencial gravitatoria será: 𝐸𝐸𝑝𝑝,𝑔𝑔 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ = −𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐴𝐴 = −2,5 ∗ 9.81 ∗ 0.03 = −0.736 𝐽𝐽 C)
La energía potencial del muelle será: 𝐸𝐸 = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴
d) La energía cinética será máxima en el punto central: 𝐸𝐸𝑐𝑐,𝑚𝑚 = 0.27 𝐽𝐽
- Un cuerpo de 1,5 kg que alarga un muelle en 2,8 cm respecto a su longitud natural cuando cuelga de él en reposo, oscila comuna amplitud de 2,2 cm. Hallar a) La energía total del sistema. b) La energía potencial gravitatoria en el máximo desplazamiento hacia abajo. c) La energía potencial del muelle en su máximo desplazamiento hacia abajo. d) ¿Cuál es la energía cinética máxima del cuerpo? (Escoger U=0 cuando el cuerpo está en equilibrio). a) 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 = 𝑘𝑘 ∗ ∆𝑥𝑥; 𝑘𝑘 = 𝑚𝑚∗𝑔𝑔∆𝑚𝑚 = 1. 0 5∗9. 028.^81 = 525.5 𝑁𝑁/𝑐𝑐 𝑈𝑈 = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴
2 ∗^ 525.5^ ∗^ 0.
b) La energía potencial gravitatoria será: 𝐸𝐸𝑝𝑝,𝑔𝑔 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ = −𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐴𝐴 = −1,5 ∗ 9.81 ∗ 0.022 = −0.324 𝐽𝐽 c) La energía potencial del muelle será: 𝐸𝐸 = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴
e) La energía cinética será máxima en el punto central: d) 𝐸𝐸𝑐𝑐,𝑚𝑚 = 0.127 𝐽𝐽
- Un objeto de 1,2 kg que cuelga de un muelle de constante 300 N/m oscila con una velocidad máxima de 30 cm/s. a) ¿Cuál es su desplazamiento máximo? Cuando el objeto está en su desplazamiento máximo, hallar b) La energía total del sistema. c) La energía potencial gravitatoria. e) La energía potencial del muelle. (Escoger U=0 cuando el cuerpo está en equilibrio).
a) 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐴𝐴 ∗ 𝜔𝜔 = 𝐴𝐴 ∗ � 𝑘𝑘 𝑚𝑚 ;^ 𝐴𝐴^ =^ 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚^ ∗ �^
𝑚𝑚 𝑘𝑘 = 0.30^ ∗ �^
- 2 300 = 0.019^ 𝑐𝑐 b) 𝑈𝑈 = 12 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴^2 = 12 ∗ 300 ∗ 0.019^2 = 0.0542 𝐽𝐽 c) 𝐸𝐸𝑝𝑝,𝑔𝑔 = 𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ ℎ = −𝑐𝑐 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐴𝐴 = −1,2 ∗ 9.81 ∗ 0.019 = −0.224 𝐽𝐽 d) La energía potencial del muelle será: 𝐸𝐸 = 1 2 ∗ 𝑘𝑘 ∗ 𝐴𝐴
Péndulos simples
- Verdadero o falso: el movimiento de un péndulo simple es armónico simple para cualquier desplazamiento angular inicial. Falso, se ha de cumplir la aproximación para ángulos pequeños: 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠~𝑠𝑠
- Verdadero o falso: El movimiento de un péndulo simple es periódico para cualquier desplazamiento angular inicial. Verdadero. Para que un péndulo simple ejecute un movimiento periódico, la fuerza restauradora debe ser lineal. Esta condición se cumple para cualquier desplazamiento angular inicial.
- Un péndulo simple de longitud L está sujeto a un carro que desliza sin rozamiento hacia abajo por un plano inclinado que forma un ángulo ϴ con la horizontal, como muestra la figura. Determinar el período de oscilación de un péndulo sobre el carro deslizante.
𝑒𝑒𝑒𝑒 Donde g (^) ef es: 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑓𝑓 = 𝑔𝑔 − 𝑎𝑎 Por dinámica: 𝑔𝑔 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑎𝑎 𝑔𝑔𝑒𝑒𝑓𝑓 = 𝑔𝑔 ∗ (1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠)
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � (^) 𝑔𝑔∗(1−𝑠𝑠𝑙𝑙𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠)
- Un péndulo simple de longitud L se libera del reposo des de un ángulo Φo. a) Suponiendo que el péndulo realiza un movimiento armónico simple, determinar su velocidad cuando atraviesa la posición Φ=0. b) Considerando la conservación de la energía, determinar exactamente esta velocidad. c) Demostrar que los resultados de (a) y (b) coinciden cuando Φo es pequeño. d) Determinar la diferencia de los resultados para Φo=0,20 rad y L=1m. a)
𝑣𝑣 = 𝐿𝐿 ∗ 𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑒𝑒∅ = 𝐿𝐿 ∗ (^) 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟 (∅𝑐𝑐cos (𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡)) = −𝐿𝐿 ∗ ∅𝑐𝑐 ∗ 𝜔𝜔 ∗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔 ∗ 𝑡𝑡)
𝑔𝑔 𝐿𝐿 b) Por energías, tomando h=0 en el punto inferior. 1 2 ∗^ 𝑐𝑐^ ∗ 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
c) Para ángulos pequeños: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠∅ = 1 − ∅^
2 2 ; 1^ − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠∅^ =^
∅ 2 2 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = � 2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 ∗ (1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠∅𝑐𝑐) = � 2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 ∗ ∅ (^) 𝑜𝑜^2 2 =^ ∅𝑐𝑐^ ∗ �𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 El resultado del apartado (a) se puede escribir:
𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐿𝐿 ∗ ∅𝑐𝑐 ∗ � 𝑔𝑔𝐿𝐿 = ∅𝑐𝑐 ∗ �𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 d) Para el primer caso: 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝑎𝑎) = ∅𝑐𝑐 ∗ �𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 = 0.20 ∗ √9.81 ∗ 1 = 0.6264 𝑐𝑐/𝑠𝑠 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑏𝑏) = � 2 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐿𝐿 ∗ (1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠∅𝑐𝑐) = � 2 ∗ 9.81 ∗ 1 ∗ (1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠0.2) = 0.6254 𝑐𝑐/𝑠𝑠 ∆𝑣𝑣 = 0.001 𝑐𝑐/𝑠𝑠
Péndulos físicos
- Un disco delgado de 5 kg de masa y con un radio de 20 cm se suspende mediante un eje horizontal perpendicular al disco y que pasa por su periferia. El disco se desplaza ligeramente del equilibrio y se deja libremente. Hallar el período del movimiento armónico simple subyacente. 𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 𝐼𝐼 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝐷𝐷 𝑆𝑆 = 𝑆𝑆𝑐𝑐𝑚𝑚 + 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅 2 = 1 2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅^
2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅^
2
3 2 ∗𝑀𝑀∗𝑅𝑅^2 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝑅𝑅 = 2^ ∗ 𝜋𝜋 ∗ �^
3∗𝑅𝑅 2∗𝑔𝑔 = 2^ ∗ 𝜋𝜋 ∗ �^
3∗0. 2 2∗9. 81 = 1.10^ 𝑠𝑠
- Un arco circular de 50 cm de radio se cuelga de una varilla horizontal delgada, permitiéndose que oscile en el plano del aro. ¿Cuál es el período de su oscilación, suponiendo que la amplitud es pequeña?
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 𝐼𝐼 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝐷𝐷 𝑆𝑆 = 𝑆𝑆𝑐𝑐𝑚𝑚 + 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅 2 = 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅 2 + 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅 2 = 2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑅𝑅 2
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 2∗𝑀𝑀∗𝑅𝑅 2 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝑅𝑅 = 2^ ∗ 𝜋𝜋 ∗ �^
2∗𝑅𝑅 𝑔𝑔 = 2^ ∗ 𝜋𝜋 ∗ �^
2∗0. 5
81 = 2.01^ 𝑠𝑠
Se suspende una figura plana de 3 kg de un punto situado a 10 cm de su centro de masas. Cuando está oscilando con amplitud pequeña, el período de oscilación es 2,6 s. Hallar el momento de inercia I respecto a un eje perpendicular al plano de la figura que pasa por el punto de pivotamiento.
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 𝐼𝐼 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝐷𝐷 𝑆𝑆 = 𝑇𝑇^
2 4∗𝜋𝜋 2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔 ∗ 𝐷𝐷^ =^
- 62 4∗𝜋𝜋 2 ∗^3 ∗^ 9.81^ ∗^ 0.1 = 0.504^ 𝑘𝑘𝑔𝑔^ 𝑐𝑐
2
2 4 +^ 𝑐𝑐^ ∗^
𝐿𝐿^2 4 +^
1 12 ∗^2 ∗^ 𝑐𝑐^ ∗ 𝐿𝐿
3 ∗^ 𝑐𝑐^ ∗ 𝐿𝐿
2
𝑆𝑆 = 2 3 ∗^ 𝑐𝑐^ ∗ 𝐿𝐿
2 3 ∗𝑚𝑚∗𝐿𝐿^2 +4∗𝑚𝑚∗𝑚𝑚^2 4∗𝑚𝑚∗𝑔𝑔∗𝑚𝑚 =^
𝜋𝜋 √𝑔𝑔^ ∗
2 3 ∗𝐿𝐿^2 +4∗𝑚𝑚^2 𝑚𝑚
𝑟𝑟𝑇𝑇 𝑟𝑟𝑚𝑚 =^
𝜋𝜋 √𝑔𝑔^ ∗^
𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑚𝑚 �
2 3 ∗𝐿𝐿^2 +4∗𝑚𝑚^2 𝑚𝑚 �^ = 0 8∗𝑚𝑚^2 −(^23 ∗𝐿𝐿^2 +4∗𝑚𝑚^2 )
2∗𝑚𝑚^2 ∗�
2 3 ∗𝐿𝐿^2 +4∗𝑚𝑚^2 𝑚𝑚
8 ∗ 𝑥𝑥 2 − � 23 ∗ 𝐿𝐿^2 + 4 ∗ 𝑥𝑥 2 � = 0
𝐿𝐿 2 −^
𝐿𝐿 √6^ = 0.0918^ ∗ 𝐿𝐿
- Tenemos una regla de metro y se nos pide que taladremos un agujero de tal modo que el período que cuando pivotemos la regla sobre él, el período del péndulo sea mínimo. ¿conde taladraremos el agujero?
𝑇𝑇 = 2 ∗ 𝜋𝜋 ∗ � 𝐼𝐼 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝐷𝐷 𝑆𝑆 = 𝑆𝑆𝑐𝑐𝑚𝑚 + 𝑐𝑐 ∗ 𝑥𝑥 2 = 121 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝐿𝐿^2 + 𝑀𝑀 ∗ 𝑥𝑥 2
1 12 ∗𝑀𝑀∗𝐿𝐿 (^2) +𝑀𝑀∗𝑚𝑚 2 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗𝑚𝑚 =^
2∗𝜋𝜋 √𝑔𝑔^
∗ �^
1 12 ∗𝐿𝐿 (^2) +𝑚𝑚 2 𝑚𝑚
𝑟𝑟𝑇𝑇 𝑟𝑟𝑚𝑚 =^
2∗𝜋𝜋 √𝑔𝑔^ ∗^
𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑚𝑚 �
1 12 ∗𝐿𝐿^2 +𝑚𝑚^2 𝑚𝑚 �^ = 0 2∗𝑚𝑚^2 −( 121 ∗𝐿𝐿^2 +𝑚𝑚^2 )
2∗𝑚𝑚^2 ∗�^
1 12 ∗𝐿𝐿^2 +𝑚𝑚^2 𝑚𝑚
1 12 ∗ 𝐿𝐿
𝐿𝐿 √12^ =^
1 , 00 √12^ = 0,289^ 𝑐𝑐 La distancia al centro será: 𝑑𝑑 = 0,5 − 0,289 = 0,211 𝑐𝑐
- Un objeto plano de forma irregular de masa 3,2 kg se suspende de una barra delgada de longitud ajustable, de tal modo que es libre de oscilar en el plano del objeto (figura). Cuando la longitud de la barra de soporte es 1,0 m, el período de este péndulo para pequeñas oscilaciones es 2,6 s. Si la barra se acorta a 0,8 m, el período disminuye a 2,5 s. ¿Cuál será el período de este péndulo físico si la longitud de la barra es 0,5 m?
𝑇𝑇 12 4∗𝜋𝜋 2 =^
𝐼𝐼𝑜𝑜 +𝑀𝑀∗(𝐿𝐿 1 +𝑟𝑟)^2 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗(𝐿𝐿 1 +𝑟𝑟) 𝑆𝑆𝑐𝑐 = 𝑇𝑇 12 4∗𝜋𝜋 2 ∗ 𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔 ∗^ (𝐿𝐿^1 +^ 𝑑𝑑)^ − 𝑀𝑀 ∗^ (𝐿𝐿^1 +^ 𝑑𝑑)
2 𝑇𝑇 22 4∗𝜋𝜋 2 =^
𝐼𝐼𝑜𝑜 +𝑀𝑀∗(𝐿𝐿 2 +𝑟𝑟)^2 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗(𝐿𝐿 2 +𝑟𝑟) Substituyendo el momento de inercia despejado: 𝑇𝑇 22 4∗𝜋𝜋 2 =
𝑇𝑇 12 4∗𝜋𝜋^2 ∗𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗(𝐿𝐿^1 +𝑟𝑟)−𝑀𝑀∗(𝐿𝐿^1 +𝑟𝑟) (^2) +𝑀𝑀∗(𝐿𝐿 2 +𝑟𝑟) 2 𝑀𝑀∗𝑔𝑔∗(𝐿𝐿 2 +𝑟𝑟) Despejando d:
𝑑𝑑 =
𝑇𝑇 12 4∗𝜋𝜋^2 ∗𝑔𝑔∗𝐿𝐿^1 −^
𝑇𝑇 22 4∗𝜋𝜋^2 ∗𝑔𝑔∗𝐿𝐿^2 −𝐿𝐿^1 (^2) +𝐿𝐿 22 𝑇𝑇 22 4∗𝜋𝜋^2 ∗𝑔𝑔−^
𝑇𝑇 12 4∗𝜋𝜋^2 ∗𝑔𝑔+2∗𝐿𝐿^1 −2∗𝐿𝐿^2 Substituyendo los valores:
𝑑𝑑 =
62 4∗𝜋𝜋^2 ∗9.81∗1−^
52 4∗𝜋𝜋^2 ∗9.81∗0.8−
(^2) +0. 82
52 4∗𝜋𝜋^2 ∗9.81−^
62 4∗𝜋𝜋^2 ∗9.81+2∗1−2∗0.^8
- 62 4∗𝜋𝜋 2 ∗^ 3.2^ ∗^ 9.81^ ∗^ (1 + 0.283)^ −^ 3.2^ ∗^ (1 + 0.283)
El período pedido será:
𝑆𝑆𝑐𝑐 + 𝑀𝑀 ∗ (𝐿𝐿 + 𝑑𝑑)^2
𝑀𝑀 ∗ 𝑔𝑔 ∗ (𝐿𝐿 + 𝑑𝑑)^
1.6291 + 3.2 ∗ (0.5 + 0.283)^2
3.2 ∗ 9.81 ∗ (0.5 + 0.283)^
- Cuando una persona de baja estatura y otra de alta estatura caminan juntas a la misma velocidad, la persona baja debe dar un número mayor de pasos. Supongamos que la pierna es un péndulo físico que oscila alrededor de la articulación de la cadera. Estimar la frecuencia natural de este péndulo para una persona de altura media y compara el resultado con el ritmo que esta persona da sus pasos normalmente sin prisas.
