¡Descarga Optimización de funciones: Métodos directos y de Lagrange y más Apuntes en PDF de Matemática Empresarial solo en Docsity!
- Donat el problema d’optimizació
Opt f (x, y) = x^3 + 3y s.a x^2 − y = 6
(a) Determineu, aplicant el mètode directe els valors de x i de y pels que s’obtenen punts crítics.(1’5 punts)
y = x^2 − 6 ⇒ F (x) = x^3 + 3
x^2 − 6
= x^3 + 3x^2 − 18
Per tant F ′^ = 3x^2 + 6x. Igualem a zero 3 x^2 + 6x = 0 ⇒ x = 0 i x = − 2 Els punts crítics són (0, −6) i x = (− 2 , −2) (b) Estudiar per cada un dels punts crítics obtinguts, si es tracta de màxim, mínim o punt de sella (1 punt) Calculem la derivada segona F ′′^ = 6x + 6
- Si x = 0 tenim F ′′^ = 6 > 0 i per tant, el punt (0, −6) és un mínim
- Si x = − 2 tenim F ′′^ = − 6 < 0 i per tant el punt (− 2 , −2) és màxim
- El problema d’optimització amb restriccions d’igualtat donat per
Opt f (x, y, z) = x^2 − 2 xy + z^2 s.a x + y + z = 1
assoleix un mínim quan x = 12 , y = 1, z = − 21.
(a) Determineu la funció de Lagrange associada al problema (0’5 punts)
L = x^2 − 2 xy + z^2 − λ (x + y + z − 1)
(b) Calculeu el valor del multiplicador de Lagrange (0’5 punt)
∂L
∂x
= 2x− 2 y−λ;
∂L
∂y
= − 2 x−λ :
∂L
∂z
= 2z−λ;
∂L
∂λ
= − (x + y + z − 1)
i en el punt crític han de valdre zero. Així, per exempla si agafem la primera d’aquestes derivades parcials s’haurà de complir
− 2 (1) − λ = 0 ⇒ − 1 − λ = 0 ⇒ λ = − 1
(c) Si la resticció fos x + y + z = 1′ 1 , quin serà aproximadament, el valor de la funció objectiu en el nou òptim (1 punt)
∆f ≈ λ ∗ ∆b per tant ∆f ≈ (−1) ∗ 0 ′ 1 = − 0 ′ 1
Si la funció en l’òptim valia f
2 ,^1 ,^
− 1 2
2
2
2
− 12 , al incrementar en 0’1 el terme independent de la restricció, el valor aproximat de la funció objectiu serà − 21 − 0 ′ 1 , és a dir − 0 ′ 6 (d) Quina és la matriu Hessiana respecte de les variables instrumentals de la funció de Lagrange (0’5 punts)
Hx,y,zL =
- Donat el problema de programació no lineal
Opt f (x, y) = x^2 + (y − 5)^2
s.a
x − y + 1 ≥ 0 x + y ≤ 11 x + 2y ≥ 2 x, y ≥ 0
(a) Representeu la regió admisible (0’5 punts. Si aquest apartat està malament, la puntuació de TOT l’exercici serà 0 punts))
(a) Quin és el valor de la funció en el punt òptim? (0’5 punts)
f = 10. 7 ∗ 111 .7 + 9. 4 ∗ 0 + 8. 4 ∗ 0 + 7. 2 ∗ 32 .9 = 1432. 1
(b) Si el coeficient de x en la funció objectiu fos 10 , el punt on s’obté l’òptim, seguirà sent el mateix que abans? (0’5 punts) No, doncs si aquest coeficient fos 10, hauriem disminuit en 0. 7 unitats i el decrement permès és 0. 6 (c) Si modifiquem el terme independent de la segona restricció i enlloc de 100 posem 110, com variarà aproximadament el valor de la funció en l’òptim? (0’5 punts) Augmentem en 10 unitats aquest terme independent. Estem dins l’augment permès. La funció en l’òptim variarà, aproximadament en 10 ∗ 5 .3 = 53 unitats
(d) Quines restriccions es saturen? (0’5 punts)
La segona i la quarta (e) Com afectaria a la funció objectiu el fet que la variable y fos 1 (0’ punts) Com que el gradient reduït és − 0 ′ 3 , suposaria un decrement de 0. 3 unitats
