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Figura 1. Péndulo físico..
Péndulo físico
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Un péndulo físico o péndulo compuesto es cualquier cuerpo rígido que pueda oscilar libremente en el campo gravitatorio alrededor de un eje horizontal fijo, que no pasa por su centro de masa.
Índice
1 Deducción del periodo 2 Longitud reducida 3 Puntos conjugados 4 Demostración del Teorema de Huygens 5 Referencias 5.1 Bibliografía 5.2 Véase también 5.3 Referencias externas
Deducción del periodo
El péndulo físico es un sistema con un solo grado de libertad; el correspondiente a la rotación alrededor del eje fijo (Figura 1). La posición del péndulo físico queda determinada, en cualquier instante, por el ángulo θ que forma el plano determinado por el eje de rotación y el centro de gravedad (G) del péndulo con el plano vertical que pasa por el eje de rotación.
Llamaremos h a la distancia del centro de gravedad (G) del péndulo al eje de rotación ZZ′. Cuando el péndulo está desviado de su posición de equilibrio (estable) un ángulo , actúan sobre él dos fuerzas ( y ) cuyo momento resultante con respecto al punto O es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación ZZ′, en el sentido negativo del mismo; i.e.,
Si es el momento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ′ y llamamos a la
aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuación diferencial del movimiento de rotación del péndulo:
que podemos escribir en la forma
que es una ecuación diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que encontramos para el péndulo simple.
En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeña, podemos poner sen sin(θ) ≈ θ y la ecuación [3] adopta la forma
que corresponde a un movimiento armónico simple.
El periodo de las oscilaciones es
Longitud reducida
Siempre es posible encontrar un péndulo simple cuyo periodo sea igual al de un péndulo físico dado; tal péndulo simple recibe el nombre de péndulo simple equivalente y su longitud λ recibe el nombre de longitud reducida del péndulo físico. Utilizando la expresión del periodo del péndulo simple de longitud λ, podemos escribir
y, por lo tanto, tenemos que
Así, en lo que concierne al periodo de las oscilaciones de un péndulo físico, la masa del péndulo puede imaginarse concentrada en un punto (O′) cuya distancia al eje de suspensión es λ. Tal punto recibe el nombre de centro de oscilación. Todos los péndulos físicos que tengan la misma longitud reducida λ (respecto al eje de suspensión) oscilarán con la misma frecuencia; i.e., la frecuencia del péndulo simple equivalente, de longitud λ.
mismo podemos decir para los puntos Q y Q′. Los resultados anteriores constituyen el llamado Teorema de Huygens (1629 1695), que podemos enunciar en la forma siguiente:
La longitud reducida de un péndulo físico no varía cuando el centro de oscilación O′ pasa a ser centro de suspensión (O), pues ambos puntos permutan entre sí sus papeles. El periodo del péndulo será el mismo en ambos casos.
Esta propiedad se aprovecha para la construcción del llamado péndulo reversible de Kater, instrumento que permite medir el valor de la aceleración gravitatoria con gran precisión.
Demostración del Teorema de Huygens
Hemos demostrado el teorema de Huygens a partir de unas consideraciones semicualitativas acerca de la simetría de las dos ramas de la curva que representa a la función T(h). Veamos ahora una demostración analítica más rigurosa. Consideremos que el eje de suspensión del péndulo pase por el punto O, situado a una distancia h del centro de gravedad del cuerpo. Combinando las expresiones [7] y [8], la longitud reducida del péndulo, respecto a ese eje de suspensión, puede expresarse en la forma
Ahora, hagamos pasar el eje de suspensión por otro punto, situado sobre la recta OG y que se encuentre a una distancia h′ del centro de gravedad de modo que el periodo de las oscilaciones sea el mismo que antes; esto equivale a decir que la longitud reducida del péndulo, respecto a este nuevo eje de suspensión, es la misma que anteriormente (λ=λ′). Podemos escribir
donde hemos hecho uso de la siguiente propiedad de las proporciones }} y, por lo tanto,
ecuación que tiene dos soluciones:
- Puede ser h = h′; i.e., se trata del punto Q, situado al otro lado del centro de gravedad y a la misma distancia de éste que el punto O.
- En el caso de que sea h ≠ h′, dividiendo por (h h′) ambos miembros de la igualdad [12] y teniendo en cuenta [10], nos quedará:
correspondiendo la distancia h′ a la posición del punto O′, conjugado del O, que se encuentra situado al otro lado del centro de gravedad y de modo que la suma de distancias al mismo (h+h′) es la longitud reducida (λ) del péndulo.
Referencias
Bibliografía
Feynman, Leighton and Sands. Lectures on physics. Addison Wesley. ISBN 0 8053 9045 6. Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84 291 4094 8. Ortega, Manuel R. (1989 2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84 404 4290 4, ISBN 84 398 9218 7, ISBN 84 398 9219 5, ISBN 84 604 4445 7. Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84 291 4382 3. Resnick,R. and Halliday, D. (1996). Physics. John Wiley & Sons. ISBN 0 471 83202 2.
Véase también
Oscilador armónico Doble péndulo Metrónomo Péndulo balístico Péndulo cicloidal Péndulo cónico Péndulo de Foucault Péndulo de Foucault (lista) Péndulo de Kater Péndulo de Newton Péndulo de Pohl Péndulo de torsión Péndulo esférico Péndulo simple Péndulo simple equivalente Reloj de péndulo Teorema de Huygens
Referencias externas
Docencia de la Física. (http://www.uco.es/~fa1orgim/fisica/docencia/index.html) (en español) Abundante información para el nivel de la Física Universitaria. Incluye textos y animaciones. Curso Interactivo de Física en Internet. (http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/) Ángel Franco García. Página en inglés (http://www.acoustics.salford.ac.uk/feschools/index.htm) Con animaciones de oscilaciones y ondas.
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Categoría: Péndulo
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