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Laboratorio 1
P´endulo f´ısico
1.1 Objetivos
- Estudiar el comportamiento del p´endulo f´ısico.
- Determinar la aceleraci´on de la gravedad.
1.2 Preinforme
- Exprese y explique el teorema de ejes paralelos.
- ¿A qu´e se denomina radio de giro? Expr´eselo en t´erminos del momento de inercia para un eje que pase por el centro de masa (C.M.).
1.3 Fundamento Te´orico
Un p´endulo f´ısico es un cuerpo r´ıgido que puede girar libremente alrededor de un eje tal como se muestra en la Figura (1.1). Cuando el cuerpo se separa de la posici´on de equilibrio y se suelta, presentar´a un movimiento oscilatorio. Empleando la ecuaci´on de la din´amica rotacional:
τA = IAα (1.1)
se puede hallar la ecuaci´on de movimiento, donde:
τA: Momento o torque alrededor de A (An´alogo rotacional de la fuerza). IA: Momento de inercia del cuerpo alrededor de A (An´alogo de la masa). α: Aceleraci´on angular del cuerpo (An´alogo de la aceleraci´on lineal).
1.3. FUNDAMENTO TE ORICO´ 5
Figura 1.1: Diagrama de fuerzas p´endulo f´ısico.
El peso del cuerpo Mg, aplicado al centro de masa, produce un momento respecto a un eje de rotaci´on que pasa por el punto A, dado por:
τA = h × Mg (1.2)
Donde:
M : Masa total del cuerpo r´ıgido. h: Distancia entre el punto de suspensi´on A y el centro de masa.
Utilizando la definici´on de producto vectorial y tomando como positivo el movimiento de rotaci´on en sentido contrario al de las manecillas del reloj, se obtiene:
τa = −M gh Senϕ
Siendo ϕ el ´angulo entre los vectores h y Mg.
De la defini´on de aceleraci´on angular tenemos:
α = ¨ϕ =
d^2 ϕ dt^2
1.3. FUNDAMENTO TE ORICO´ 7
Volviendo a (1.5) se tiene en definitiva la siguiente expresi´on para el per´ıodo de oscilaci´on del p´endulo f´ısico:
T = 2π
K 02 + h^2 gh
Esta ecuaci´on expresa el per´ıodo en t´erminos de la geometr´ıa del cuerpo. Esta´ muestra que T es independiente de la masa, dependiendo ´unicamente de la dis- tribuci´on de masa medida por K 0 y de la localizaci´on al eje de suspensi´on (especi- ficado por h). Ya que K 0 para cualquier cuerpo r´ıgido es una constante, el per´ıodo T de cualquier p´endulo f´ısico es funci´on s´olo de h.
1.3.1 P´endulo equivalente
Recordando la ecuaci´on del p´endulo simple:
T = 2 π
L
g
al compararla con la ecuaci´on (1.6) se observa que el per´ıodo de un p´endulo f´ısico suspendido de un eje a una distancia h del centro de gravedad es igual al per´ıodo de un p´endulo simple, de longitud dada por:
L =
K 02 + h^2 h
= h +
K 02
h
El p´endulo simple cuyo per´ıodo es el mismo que el dado por un p´endulo f´ısico, es llamado p´endulo simple equivalente.
1.3.2 Propiedad de reversibilidad
Es conveniente especificar la localizaci´on del eje de suspensi´on que pasa por el punto A, en t´erminos de la distancia desde el extremo superior de la barra, en lugar de su distancia h medida desde el centro de masa.
Si las distancias s 1 , s 2 y D (Fig. 1.2) son medidas desde el extremo superior, la distancia h 1 debe ser considerada negativa ya que est´a medida desde el C.M. As´ı, si D es la distancia fija desde extremo superior de la barra al C.M.,
s 1 = D − h 1
8 LABORATORIO 1. P ENDULO F´ ´ISICO
Figura 1.2: Distancias a medir.
10 LABORATORIO 1. P ENDULO F´ ´ISICO
un valor significativamente grande. Cuando el eje de suspensi´on es desplazado todav´ıa m´as desde a (al otro lado del C.M.), el per´ıodo T nuevamente disminuye hacia el mismo valor m´ınimo en un segundo punto P , despues del cual nuevamente se incrementa. Una l´ınea horizontal AA^ correspondiente a valores escogidos del per´ıodo, inter- secta la gr´afica en cuatro puntos indicando que hay cuatro posiciones del eje, dos en cada lado del C.M, para los cuales el per´ıodo es el mismo. Estas posiciones son sim´etricamente localizadas con respecto al C.M. Hay por lo tanto dos valores num´ericos de h para los cuales el per´ıodo es el mismo, representados por h 1 y h 2 (Figura 1.2 y 1.3). As´ı, para cualquier eje de suspensi´on escogido A, hay un punto conjugado O al lado opuesto del C.M. tal que el per´ıodo alrededor de un eje paralelo que pasa por A y O es igual. El punto O es llamado CENTRO DE OSCILACIONES al eje particular de suspensi´on que pasa por el punto A. Consecutivamente si el centro de oscilaci´on para cualquier p´endulo f´ısico es localizado, el p´endulo puede ser invertido y so- portado de O sin alterar su per´ıodo. Esta llamada reversibilidad es una de las propiedades ´unicas del p´endulo f´ısico y ha sido la base de un m´etodo muy preciso para medir g (P´endulo Reversible de K`ater). Puede mostrarse que la distancia entre A y O es igual a l, la longitud del p´endulo simple equivalente. Alrededor de A:
T 2 =
4 π^2 g
K 02 + h^21 h 1
y alrededor de O:
T 2 =
4 π^2 g
K 02 + h^22 h 2
Igualando estas expresiones:
K 02 = h 1 h 2 ,
por lo tanto:
T 2 =
4 π^2 g
(h 1 + h 2 ) (1.10)
´o
T = 2π
h 1 + h 2 g
Comparando con la expresi´on para el p´endulo simple:
1.4. MATERIALES 11
l = h 1 + h 2 (1.12)
la cual es la longitud del p´endulo simple equivalente AO (Figura 1.2).
A’ y O’ son un segundo par de puntos conjugados sim´etricamente localizados con respecto a A y O respectivamente, por lo tanto tienen un mismo valor num´erico de h 1 y h 2. M´as consideraciones de la Figura (1.3) revela el hecho que el per´ıodo de vibraci´on para un cuerpo dado no puede ser menor que un cierto valor m´ınimo T 0 para el cual los cuatro puntos de igual per´ıodo se reducen a dos, P y P ’, en tanto que h 1 , llega a ser num´ericamente igual a h 2. El valor m´ınimo de h 0 correspondiente al m´ınimo per´ıodo T 0 , puede ser deducido por soluci´on de las ecuaciones (1.10) y (1.11), las cuales producen K 02 = h 1 h 2
y colocando h 0 = h 1 = h 2 ,
se obtiene K 0 = h 0.
Reemplazando esto en la ecuaci´on (1.8) nos da como resultado:
l 0 = 2K 0
As´ı, el p´endulo simple m´as corto para el cual el p´endulo f´ısico puede ser hecho equivalente tiene una longitud l 0 igual al doble del radio de giro del cuerpo alrede- dor de un eje paralelo que pasa a trav´es de C.M.. Esto es indicado en la figura (1.3) por la l´ınea P P . Inspeccionando la figura (1.3), esta muestra adem´as que de los dos valores de h diferentes del m´ınimo, uno es mayor que K 0 y el otro menor.
De lo anterior es evidente que si se encuentran dos puntos asim´etricos A y O tales que el per´ıodo de vibraci´on sea id´entico, la longitud del p´endulo simple equivalente es la distancia entre los dos puntos y la necesidad de localizar el centro de gravedad C.M. es eliminada. As´ı, haciendo uso de la propiedad reversible del p´endulo f´ısico, se obtiene una simplificaci´on similar a la del p´endulo simple, la determinaci´on experimental se reduce a una medida de longitud y una medida de per´ıodo.
1.4 Materiales
- Equipo de p´endulo f´ısico: Soportes, varilla y cron´ometro.
- Nivel de burbuja.
- Cinta m´etrica graduada en mm.
1.5. PRECAUCIONES 13
1.5 Precauciones
- Familiarizarse con el equipo.
- Cerci´orese que el p´endulo puede oscilar normalmente y que el cron´ometro est´e funcionando.
- Tenga en cuenta la aproximaci´on Sen ϕ ≈ ϕ para su trabajo.
- Recuerde nivelar el equipo arriba y abajo.
1.6 Procedimiento
El p´endulo f´ısico utilizado para esta pr´actica esta constituido por una varilla met´alica en forma cil´ındrica delgada que posee una serie de marcas dispuestas cada cinco cent´ımetros aproximadamente entre sus centros, con un sistema de sus- pensi´on adecuado para que la varilla pueda oscilar libremente alrededor de un eje horizontal (eje de suspensi´on), con rodamientos para minimizar la fricci´on (ver Fig. 1.4)
- Determine el centro de masa (CM), de la varilla y elija un extremo de la misma.
- Mida la longitud h desde el centro de masa (CM) al eje de suspensi´on
- Suspenda el p´endulo de la primera marca m´as cercana al extremo elegido de la varilla y aseg´urese que oscila libremente en un plano vertical.
- Mida 10 veces el periodo con un cronometro UTP utilizando la misma ampli- tud de oscilaciones. Determinar el periodo promedio para la altura h selec- cionada.
- Repita el procedimiento para cada una de las marcas hasta llegar al CM
- Invierta la varilla y realice 10 mediciones
- Retire el p´endulo del soporte y con una cinta m´etrica mida las distancias fal- tantes de acuerdo a la figura 1.2, para cada uno de los puntos de suspensi´on desde uno de los extremos de la varilla. Anote estos datos con sus correspon- dientes periodos. (a medida que se acerque al CM, tome un numero menor de oscilaciones)
- Mida la masa de la varilla
14 LABORATORIO 1. P ENDULO F´ ´ISICO
1.7 An´alisis
- Con los datos tomados construya una gr´afica en papel milimetrado del peri- odo T (valor medio de cada grupo de periodos T tomados en el numeral 3 del paso 1.6) en funci´on de la distancia al centro de masa (CM), h. Tome el ori- gen de coordenadas como el centro de masa. Trace la curva correspondiente. Utilice las escalas adecuadas.
- A partir del gr´afico obtenido: ¿ Se presenta alg´un tipo de simetr´ıa con relaci´on a alguna l´ınea?.
- ¿ Cu´al es el per´ıodo del p´endulo cuando h = 0?. Explique su significado.
- Obtenga de su gr´afico el per´ıodo m´ınimo con el cual este p´endulo puede vibrar.
- De la masa del p´endulo y su radio de giro K 0 determinado de la gr´afica, encuentre I 0 el momento de inercia rotacional alrededor del C.M.
- Trace una recta paralela al eje horizontal de su gr´afico para un per´ıodo mayor al m´ınimo T 0. Halle las parejas de cortes (h 1 , h 2 ) y (h 1 , h 2 ). Del correspondi- ente per´ıodo T determinado por esta recta y la longitud L correspondiente al p´endulo simple equivalente dado por L = h 1 + h 2 y tambi´en por L = h 1 + h 2 , calcule el valor de la gravedad, por medio de la ecuaci´on (1.7). Comp´arelo con su valor aceptado para Pereira y calcule el error porcentual.
- A partir de la escala con la cual traz´o su gr´afico, determine un valor aproxi- mado para la incertidumbre de su medida para la gravedad
