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Capítulo 1
Números reales
L
a cobertura que brindan las pólizas de seguros médicos difieren según el tipo de póliza que tenga un individuo. Además de los pagos anuales, ciertos planes para el cuidado de la salud requieren el pago de un deducible por cada visita al consultorio médico. Otros tipos de póliza requieren que el individuo pague anualmente, cierta cantidad de dinero en gas- tos médicos, y la compañía aseguradora cubre un gran porcentaje de los costos restantes. En las páginas 11 y 12 emplearemos las técnicas desarrolladas por el famoso matemático George Polya para determinar la proporción de una cuenta de gastos médicos que una persona tiene la responsabilidad de pagar, y la parte que cubrirá la compañía aseguradora.
1.1 Habilidades de estudio para tener éxito en matemáticas
1.2 Solución de problemas
1.3 Fracciones
1.4 El sistema de números reales
1.5 Desigualdades
1.6 Suma de números reales
1.7 Resta de números reales
1.8 Multiplicación y división de números reales
1.9 Exponentes, paréntesis y orden de las operaciones
1.10 Propiedades del sistema de números reales
Resumen del capítulo Ejercicios de repaso del capítulo Examen de práctica del capítulo
2 • Capítulo 1 • Números reales
Avance de la lección n este capítulo proporcionaremos las bases tanto de este curso como de cursos
posteriores. Para muchos estudiantes, la sección 1.1, Habilidades de estudio pa- ra tener éxito en las matemáticas , podría ser la más importante del libro. Léala con cuidado y siga sus consejos. Si adopta estas habilidades de estudio, aumentarán sus posibilidades de éxito en este curso de matemáticas. En la sección 1.2, presentaremos un procedimiento de solución de 5 pasos que se empleará a lo largo del libro. Otros temas importantes que cubriremos en este capítulo son las fracciones y la estructura del sistema de números reales. Antes de pasar al capítulo siguiente, es esencial comprender la suma, resta, multiplicación y división de números reales que estudiaremos en las secciones 1.6 a 1.8.
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1.1 HABILIDADES DE ESTUDIO PARA TENER ÉXITO EN MATEMÁTICAS
1 Reconocer los objetivos de este libro de texto. 2 Adquirir hábitos de estudio adecuados. 3 Estudiar y presentar exámenes. 4 Administrar el tiempo. 5 Aprender a utilizar una calculadora.
Esta sección es muy importante; léala con calma y siga sus consejos; para muchos podría ser la sección principal del libro. La mayoría de quienes siguen este curso pertenecen a una de las siguientes tres categorías: (1) aquellos que no estudiaron álgebra en el bachillerato, (2) quie- nes asistieron a un curso de álgebra en el bachillerato pero no comprendieron el material, o (3) los que asistieron a un curso de álgebra en el bachillerato y tuvie- ron éxito pero han estado fuera de la escuela por un tiempo y necesitan tomar el curso nuevamente. Cualquiera que sea el caso, usted necesita adquirir hábitos de estudio para los cursos de matemáticas. Antes de analizar los hábitos de estudio, presentaremos los objetivos del li- bro, que le ayudarán a darse cuenta de la razón de incluir ciertos temas y de la forma de exponerlos.
1 Reconocer los objetivos de este libro de texto
Los objetivos de este libro de texto son:
1. Presentarle los temas tradicionales del álgebra. 2. Prepararlo para cursos más avanzados. 3. Darle confianza y fomentar el gusto por las matemáticas. 4. Mejorar su razonamiento y capacidad de pensamiento crítico. 5. Incrementar su comprensión acerca de la importancia de las matemáticas en la solución de problemas de la vida cotidiana. 6. Animarlo a pensar en forma matemática, de modo que se sienta cómodo al tra- ducir problemas de la vida cotidiana a ecuaciones matemáticas, para después resolver los problemas. Es importante darse cuenta de que este curso de matemáticas es la base para otros cursos más avanzados. Si tiene una buena comprensión del álgebra le será más sencillo tener éxito en cursos posteriores.
4 • Capítulo 1 • Números reales
Lea el libro de texto
Los libros de texto de matemáticas no son novelas, así que deben leerse lenta y cui- dadosamente, palabra por palabra. Si no comprende lo que está leyendo, vuelva a leer el material. Al llegar a un concepto o definición nuevos, tal vez convenga su- brayarlos para resaltarlos, y dar con ellos fácilmente más tarde.Al llegar a un ejem- plo, léalo y sígalo línea por línea. No haga una lectura superficial. Después resuélvalo usted mismo en una hoja. Además, trabaje la sección Ahora resuelva los ejercicios que aparece en el libro de texto después de varios ejemplos; esta sección está dise- ñada para que usted tenga la oportunidad de aplicar inmediatamente los nuevos co- nocimientos. Tome notas de todo lo que no comprenda y pregunte a su profesor. Este libro de texto tiene características especiales para ayudarlo. Le sugiero que preste particular atención a los apartados de Cómo evitar errores comunes y Sugerencias , así como a los procedimientos y definiciones importantes que aparecen destacados. Los recuadros de Cómo evitar errores comunes se centran en los erro- res más frecuentes que cometen los estudiantes. Lea y estudie cuidadosamente di- cho material y asegúrese de comprender lo que se explica. Si evita cometer dichos errores comunes, sus probabilidades para triunfar en éste y otros cursos de mate- máticas aumentarán en gran medida. Las Sugerencias ofrecen muchas técnicas va- liosas para resolver ciertos problemas; también presentan información muy útil o demuestran una alternativa para solucionar dichos problemas.
Haga la tarea
Los dos compromisos más importantes que usted debe contraer para tener éxito en este curso son: asistir a clase y hacer la tarea con regularidad. Sus ejercicios debe hacerlos a conciencia y por completo. Haga la tarea tan pronto como sea posible, de modo que el material que se presentó en clase esté fresco en su mente. Las in- vestigaciones demuestran que para los cursos de matemáticas, estudiar y hacer la tarea poco después de la clase mejora la retención y el desempeño. Las matemá- ticas no se aprenden por observación. Es necesario practicar lo que escuchó en clase. Gracias a las tareas usted realmente aprenderá el material; al hacerlas, se dará cuenta de los problemas en los que necesita ayuda. Si no realiza los ejercicios asignados, no sabrá qué preguntar en clase. Cuando haga la tarea asegúrese de escribir bien y con cuidado, indique el número de ejercicio junto a cada problema y realícelo paso a paso. De ese modo podrá hacer referencia a él más tarde y comprender lo que está escrito. Preste par- ticular atención a la escritura correcta de los signos y exponentes. No olvide comprobar las respuestas de sus tareas. Las respuestas a los ejer- cicios de número impar están al final de este libro, en donde también encontrará la solución a todos los Ejercicios de repaso acumulativo , Ejercicios de repaso del capítulo y Exámenes de práctica del capítulo. Las respuestas a los Ejercicios de re- paso acumulativo aparecen justo después de las preguntas específicas. Además, después de cada respuesta encontrará entre corchetes los números de la sección y del objetivo en donde se presentó por primera vez el concepto relacionado. Las respuestas a los ejercicios de Actividad en equipo no se proporcionan porque que- remos que las obtenga precisamente mediante el trabajo en equipo. Si tiene alguna dificultad con algunos de los ejercicios, márquelos y no dude en preguntar acerca de ellos en clase. No se detenga hasta que entienda todos los conceptos necesarios para resolver todos los problemas asignados.
Estudie
Estudie en el ambiente apropiado, es decir, en un área donde no se le interrumpa constantemente, de tal manera que toda su atención esté dedicada a lo que está leyendo. Esta área debe estar bien ventilada e iluminada; su escritorio debe tener
Sección 1.1 • Habilidades de estudio para tener éxito en matemáticas • 5
suficiente espacio para distribuir en él todo el material, y su silla debe ser cómo- da. Es recomendable que minimice las distracciones mientras estudia. Por otro lado, no debe estudiar sin parar; lo mejor es tomar breves periodos de descanso ca- da cierto tiempo. Antes de comenzar a estudiar, asegúrese de contar con todos los materiales necesarios (lápices, marcadores, calculadora, etcétera). No estaría de más resaltar los puntos importantes analizados en clase o en el libro de texto. Se recomienda a los estudiantes que dediquen al menos dos horas para es- tudiar y hacer la tarea por cada hora de clase. Algunos estudiantes requieren más tiempo que otros. Es importante distribuir el tiempo de estudio a lo largo de la semana en lugar de estudiar durante un lapso único. Al estudiar no sólo debe entender cómo resolver un problema, sino también por qué sigue unos pasos específicos para hacerlo. Si no comprende por qué está siguiendo un proceso específico, no podrá resolver problemas similares. Al final de cada sección, a partir de la 1.2, encontrará una serie de Ejercicios de repaso acumulativo. Aun si estos ejercicios no se dejaran como tarea, le sugiero que los resuelva como parte de su proceso de estudio, ya que refuerzan lo visto en las secciones anteriores, y será menos probable que lo olvide si lo revisa varias ve- ces durante el curso.También le serán muy provechosos al prepararse para el exa- men final. Si ha olvidado la forma de resolver alguno de los ejercicios de repaso acumulativo , deberá volver a la sección que se indica entre corchetes junto al pro- blema y revisarla. Después, intente resolver nuevamente el problema.
3 Estudiar y presentar exámenes
Si estudia un poco todos los días, no tendrá que desvelarse la noche anterior al exa- men. Comience a estudiar pronto. Si espera hasta el último minuto tal vez no ten- ga tiempo de buscar la ayuda necesaria en caso de no poder resolver un problema. Para preparar un examen realice lo siguiente:
1. Lea las notas que tomó en clase. 2. Revise los ejercicios de tarea. 3. Estudie las fórmulas, definiciones y procedimientos que necesitará en el examen. 4. Lea cuidadosamente los recuadros de Cómo evitar errores comunes y Suge- rencias. 5. Lea el resumen al final de cada capítulo. 6. Realice los ejercicios de repaso al final de cada capítulo. Si tiene dificultades, vuelva a estudiar las secciones correspondientes. Si los problemas continúan, pida ayuda. 7. Resuelva el examen de práctica del capítulo. 8. Responda los cuestionarios que se den en forma previa en caso de que el ma- terial cubierto por ellos se incluya en el examen. 9. En caso de que el examen abarque material de los capítulos anteriores, re- suelva el Examen de repaso acumulativo.
Exámenes de mitad de curso y exámenes finales
Al estudiar para un examen largo de mitad o final de curso, siga los procedimien- tos analizados para prepararse, y además:
1. Estudie cuidadosamente todos los exámenes y cuestionarios previos. Asegú- rese de haber aprendido a resolver los problemas que hubiese omitido. 2. Resuelva los Exámenes de repaso acumulativo que aparecen al final de cada capítulo. Éstos cubren el material desde el comienzo del libro hasta el punto en que se encuentren.
Sección 1.1 • Habilidades de estudio para tener éxito en matemáticas • 7
4. Al terminar de estudiar, marque con claridad el punto del texto en que se detuvo. 5. Trate de no aceptar otras responsabilidades. Debe establecer sus priorida- des. Si su educación tiene la máxima prioridad, como debe ser, tiene que reducir el tiempo que dedica a otras actividades. 6. Si el tiempo es un problema, no se agobie con demasiados cursos. Si el siste- ma de su escuela lo permite, considere la posibilidad de cursar menos ma- terias. Si no cuenta con suficiente tiempo para estudiar, tanto su aprendizaje como las calificaciones de todos sus cursos se verán afectados.
Utilice los suplementos
Este libro de texto incluye una gran variedad de suplementos. Averigüe cuáles de ellos están disponibles; le serán muy útiles. Los suplementos no sustituyen la lec- tura del libro de texto, pero pueden ayudarle a comprender mejor éste.Visite el si- tio Web de este libro en www.pearsoneducacion.net/angel, donde encontrará muchísimo material, en inglés, que le ayudará en sus lecciones: ejercicios adicio- nales, cuestionarios de práctica que pueden calificarse, instrucciones para el uso de la calculadora graficadora de todas las marcas, y proyectos de los capítulos.
Busque ayuda
Un consejo que subrayo mucho a mis estudiantes es: ¡obtenga ayuda tan pronto como sea posible! ¡No espere! En matemáticas, por lo general el material que se revisa un día se basa en el que se analizó el día anterior. Así que si no entiende el material de hoy, no podrá entender el de mañana. ¿En dónde buscar ayuda? Con frecuencia en los mismos colegios o univer- sidades existen varios lugares en donde obtener ayuda. Sería bueno que tratara de hacer un amigo en clase, alguien con quien pueda estudiar; a menudo esto redunda en una ayuda mutua. Otra idea sería formar un grupo de estudio con algunos com- pañeros de su clase. Analizar los conceptos y hacer las tareas junto con sus compa- ñeros reforzará su propia comprensión del material. No dude en acudir a su profesor cuando tenga problemas con el material. Sin embargo, asegúrese de leer el material asignado e intente hacer la tarea antes de acudir con el profesor. Llegue preparado y haga preguntas específicas. Con frecuencia hay otras fuentes de ayuda a su disposición. Muchos cole- gios tienen un laboratorio o un centro de aprendizaje de matemáticas con aseso- res para ayudar a los estudiantes. Pregunte a su profesor al principio del curso si la institución cuenta con este servicio y en dónde se localiza. Utilice la asesoría cuando sea necesario.
5 Aprender a utilizar una calculadora
Consiga una calculadora científica o graficadora en cuanto le sea posible. Pregun- te al maestro si recomienda alguna en particular para esta clase de matemáticas u otras; o si puede utilizarla en la clase, tareas o exámenes. Si así fuera, utilícela siem- pre que sea posible para ahorrar tiempo.
Si la calculadora contiene una tecla o , se trata de una calcu-
ladora científica. No es posible utilizar la tecla de raíz cuadrada para distinguir entre las calculadoras científicas y las no científicas, ya que ambas la tienen. Debe prestar particular atención a los apartados Uso de la calculadora , que explican la forma de utilizarla para resolver problemas. Si utiliza una calculadora graficado- ra, ponga especial atención a los recuadros de Uso de la calculadora graficadora.
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LOG SIN
8 • Capítulo 1 • Números reales
También es posible que en ocasiones se vea obligado a recurrir al manual de re- ferencia adjunto con su calculadora.
Comentario final
Puede tener un buen desempeño en las matemáticas si asiste a clases en forma re- gular, pone atención, estudia su libro de texto cuidadosamente, hace la tarea a dia- rio, repasa con regularidad y pide ayuda apenas la necesite. Buena suerte en su curso.
C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 1. 1
¿Conoce usted toda la información siguiente? Si no, pregúntesela a su profesor lo más pronto posible.
1. El nombre y las horas de oficina de su profesor. 2. La ubicación de su oficina y su número telefónico. 3. ¿Dónde y cuándo obtener ayuda si su instructor no es- tá disponible? 4. El nombre y número telefónico de un amigo de su clase. 5. ¿Cuáles suplementos están disponibles para auxiliar su aprendizaje? 6. ¿Recomienda su instructor el empleo de una calculado- ra en particular? 7. ¿Cuándo utilizar la calculadora en este curso?
Si no sabe las respuestas de los puntos 1 a 7, debe investigarlas tan pronto como sea posible.
8. ¿Cuáles son sus razones para tomar este curso? 9. ¿Qué objetivos tiene para este curso? 10. ¿Comienza este curso con actitud positiva? Es impor- tante que lo haga. 11. Enumere todo lo necesario para prepararse en forma adecuada para la clase. 12. Explique cómo debe leerse un libro de texto de mate- máticas. 13. Por cada hora de clase, ¿cuántas horas fuera de ella se recomiendan para estudiar y hacer la tarea? 14. Al estudiar, no sólo se debe entender cómo resolver un problema, sino también la razón de seguir cada paso. ¿Por qué? 15. Dos objetivos muy importantes que debe plantearse para tener éxito en este curso son a) hacer la tarea en forma regular y completa, y b) asistir a clase con regu- laridad. Explique por qué son necesarios. 16. Escriba un resumen de los pasos a seguir a la hora de presentar un examen. 17. ¿Ha pensado estudiar con un amigo o grupo de compa- ñeros? ¿Se da cuenta de las ventajas de hacerlo? ¿De- tecta alguna desventaja?
George Polya
1.2 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1 Aprender los cinco pasos del procedimiento de solución de problemas. 2 Solucionar problemas que involucran gráficas de barras, líneas o círculos. 3 Solucionar problemas que implican estadísticas.
1 Aprender los cinco pasos del procedimiento
de solución de problemas
Una de las principales razones para estudiar matemáticas es que son útiles en la solu- ción de problemas de la vida cotidiana.A lo largo de este libro de texto, se resolverán problemas. Para solucionar en forma matemática la mayoría de los problemas de la vi- da cotidiana es necesario tener la capacidad de expresarlos con símbolos matemáti- cos. Ésta es una parte importante del procedimiento para la solución de los problemas que se presentarán a continuación. En el capítulo 3 se dedicará mucho tiempo a ex- plicar cómo expresar los problemas de la vida cotidiana por medio de matemáticas. A continuación presentaremos el procedimiento general, de cinco pasos, para la solución de problemas , desarrollado por George Polya y presentado en su libro How to Solve It. Con este procedimiento general es posible enfocar cualquier problema.
10 • Capítulo 1 • Números reales
puntos, y lleva en promedio 12 pasajeros por viaje (en cada sentido). La tarifa en cada sentido es de $17.50. a) ¿Cuáles son los ingresos del autobús por un día de operación? b) Si la tarifa en un solo sentido se incrementara un 10%, determine cuál sería la nueva tarifa.
Solución a) Entender el problema La lectura cuidadosa del problema indica que la tarea
consiste en encontrar los ingresos totales por un día de operación. Es necesario ha- cer una lista de toda la información que se da y determinar cuál es necesaria pa- ra encontrar el total de los ingresos. Pertinente para resolver Información disponible el problema 65 millones de pasajeros que llegan o salen anualmente no 19 millas del aeropuerto al centro no 8 viajes redondos al día sí 12 pasajeros por viaje (en cada sentido) sí Tarifa de $17.50 (en cada sentido) sí
Para calcular los ingresos totales no es necesario conocer el número de pa- sajeros que utilizan el aeropuerto, ni la distancia entre éste y el centro. Para solu- cionar este problema es necesario que se dé cuenta de que los ingresos totales dependen del número de viajes en cada sentido, del número promedio de pasaje- ros por viaje, y del costo por pasajero; todo esto en un día. El producto de estos tres números arrojará los ingresos totales diarios. Tenemos 8 viajes redondos por día, por lo tanto, 2 8, o 16 viajes en un sentido cada día. Traducir el problema a lenguaje matemático
Efectuar los cálculos
También podrían haberse utilizado 8 viajes redondos y una tarifa de $35. por persona para obtener la respuesta. ¿Podría explicar por qué? Revisar la respuesta La respuesta de $3,360.00 es razonable, con base en la infor- mación que se da. Responder la pregunta que se hace Los ingresos por un día de operación son de $3,360.00. b) Entender Si la tarifa se incrementa un 10%, la nueva será 10% más alta que $17.50. Por lo tanto, es necesario agregar el 10% de $17.50 a esta cifra para obte- ner la respuesta. Al realizar los cálculos, los números que expresan porcentajes en general cambian a cifras con decimales. Traducir Tarifa nueva tarifa original 10% de la tarifa original
Calcular Tarifa nueva $17.50 0.10($17.50)
Revisar La respuesta de $19.25, es un poco mayor que $17.50, parece razonable. Responder Al incrementarse un 10%, la tarifa nueva es de $19.25. (^) ✺
ingresos en un día
número de viajes en un sentido por día
número de pasajeros por viaje
costo por pasajeros en cada sentido
Sección 1.2 • Solución de problemas • 11
EJEMPLO 2 Velocidad de un procesador En febrero de 2001, el procesador más veloz de In-
tel, el Pentium 4, podía realizar alrededor de 1.5 mil millones de operaciones por segundo (1.5 gigahertzios, que se representa como 1.5 GHz). ¿Cuántas operacio- nes podrían efectuarse en 0.3 segundos?
Solución Entender Se da el nombre del procesador, la velocidad de alrededor de 1.5 mil mi-
llones (1,500,000,000) de operaciones por segundo, y 0.3 segundos. Para determinar la respuesta de este problema no es necesario el nombre del procesador, Pentium 4. A fin de obtener la respuesta, ¿se requiere multiplicar o dividir? Es frecuente que un problema muy sencillo parezca más difícil debido a los números que invo- lucra. Cuando números muy grandes o muy pequeños hagan parecer confuso un problema, hay que tratar de sustituirlos por otros de uso más común para de- terminar la manera de resolverlo. Supongamos que el procesador puede ejecutar 6 operaciones por segundo. ¿Cuántas operaciones realizaría en dos segundos? La respuesta a esta pregunta debería ser obvia. Es 6 2 o 12. Para obtener este re- sultado tuvimos que multiplicar; por lo tanto, también debemos multiplicar para obtener la respuesta al problema que se plantea. Traducir Número de operaciones en 0.3 segundos 0.3 (número de operaciones por segundo) Calcular Con una calculadora Revisar La respuesta, 450,000,000 de operaciones, es menor que las 1,500,000, de operaciones por segundo, lo que tiene sentido debido a que el procesador ope- ra durante menos de un segundo. Responder En 0.3 segundos, el procesador realiza 450,000,000 de operaciones. ✺
EJEMPLO 3 Seguros médicos La póliza de seguro médico de Beth Rechsteiner es similar a la
de muchos trabajadores. La póliza de Beth requiere que pague los primeros $100 de gastos médicos de cada año calendario (que se llama deducible ). Después de pa- gar el deducible, ella cubre el 20% de los gastos médicos (que se denomina copago ) y la compañía aseguradora paga el 80%. (Hay un copago máximo de $600 que de- be pagar al año. Después de eso, la empresa aseguradora cubre el 100% del costo de atención.) El 1 de enero, Beth se torció su tobillo mientras jugaba tenis. Fue al consultorio del doctor para que la revisara y obtuviera una placa de rayos X. La cuenta total que se envió a la compañía aseguradora fue de $325. a) ¿Qué monto de la cuenta será responsabilidad de Beth? b) ¿De cuánto es responsable la compañía de seguros?
Solución a) Entender En primer lugar enlistamos la información relevante.
Información disponible Deducible de $ 20% de copago después del deducible 80% que paga la compañía de seguros después del deducible $325 de la cuenta del médico El resto de la información no es necesaria para la solución del problema. Beth será res- ponsable de los primeros $100 y del 20% del saldo restante. La compañía asegurado- ra tiene la responsabilidad del 80% del saldo después del deducible.Antes de calcular lo que adeuda Beth es necesario determinar el saldo de la cuenta después de pagar el deducible. El saldo de la cuenta después del deducible es de $325 $100 $225.
Sección 1.2 • Solución de problemas • 13
Comercio electrónico global
Dólares (billones)
0
8
6
4
2
2003 2004 2005 2006 2007 Año
FIGURA 1.
Desglose estimado de comercio electrónico global (Ventas por región en 2007)
Norteamérica 50.9%
22.6%
Asia/Pacífico 24.3%
Resto del mundo 2.2% Europa Occidental
FIGURA 1.
mundo. La suma de estos porcentajes es de 100%. (Observe que el 50.9% del área del círculo la ocupa Norteamérica, 24.3% es para Asia/Pacífico, 22.6% para Europa Occidental, y 2.2% para el resto del mundo.) Para determinar la cantidad aproxi- mada de ventas en el comercio electrónico en Norteamérica, es necesario calcu- lar el 50.9% del total de ventas electrónicas. Para hacer esto, multiplicamos del siguiente modo. Traducir
Calcular Cantidad de ventas en el comercio electrónico en Norteamérica 0.509($6.8 billones)
Por lo tanto, se espera que, en 2007, alrededor de $3.4612 billones de ventas en el comercio electrónico ocurran en Norteamérica. Para obtener las ventas electrónicas en las demás áreas del mundo, efectua- mos cálculos similares. ventas electrónicas en Asia/Pacífico 0.243($6.8 billones) $1.6524 billones ventas electrónicas en Europa Occidental 0.226($6.8 billones) $1.5368 billones ventas electrónicas en el resto del mundo 0.022($6.8 billones) $0.1496 billones Revisar Si sumamos las cuatro cifras, obtendremos un total de $6.8 billones. Por tanto, nuestra respuesta es correcta. $3.4612 billones $1.6524 billones $1.5368 billones $0.1496 billones $6.8 billones Responder Las ventas electrónica estimadas en 2007 fueron: Norteamérica: $3.4612 billones;Asia/Pacífico: $1.6524 billones; Europa Occidental: $1.5368 billo- nes; el resto del mundo: $0.1496 billones. (^) ✺
En el ejemplo 5 se usará el símbolo L, que se lee es aproximadamente igual a. Por ejemplo, si la respuesta de un problema fuera 34.12432, se escribiría como L34.1.
= $3.4612 billones
a cantidad de ventas en el comercio electrónico en Norteamérica b = a porcentaje del total de ventas electrónicas en Norteamérica b a ventas electrónicas totales b
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 23
14 • Capítulo 1 • Números reales
FIGURA 1.
EJEMPLO 5 El Supertazón La gráfica de líneas (poligonal) de la figura 1.3 muestra el costo
de un comercial de 30 segundos durante los Supertazones de 1967 a 2002. Los pre- cios de la publicidad los establece la red de televisión. a) Estime el costo de los comerciales de 30 segundos en 1975 y 2001. b) ¿Qué diferencia hubo en el costo por un comercial de 30 segundos en 2001 y uno en 1975? c) ¿Cuántas veces fue mayor el costo de un comercial de 30 segundos en 2001 so- bre el de 1975?
Solución a) Al leer una gráfica de línea (poligonal) en la que ésta tiene cierto espesor, co-
mo la de la figura 1.3, usaremos el centro de la línea para marcar la estimación. Al observar la línea punteada en la gráfica, se estima que el costo de un comercial de 30 segundos fue de alrededor de $375,000 en 1975, y de cerca de $2.3 millones (o $2,300,000) en 2001. b) Se usa el procedimiento de solución de problemas para responder la pregunta. Entender Para determinar la diferencia en el costo de un comercial de 30 se- gundos, entre los años 2001 y 1975, es necesario realizar una resta. Traducir diferencia en el costo costo en 2001 costo en 1975 Calcular Responder y revisar La respuesta parece razonable. El costo fue de $1,925,000 más en 2001. c) Entender Si examinamos los incisos b) y c) , podríamos pensar que son iguales, pero no es así. En la sección 1.1 se indica que es importante leer un libro de ma- temáticas con cuidado, palabra por palabra. Los dos incisos difieren en que el b) pregunta “cuál es la diferencia en el costo”, mientras que el c) pregunta “cuántas veces más”. Para determinar el número de veces que el costo en 2001 ha sido ma- yor que el de 1975, es necesario dividir el costo en 2001 entre el de 1975, como se observa a continuación.
Traducir
Calcular
Revisar y responder Al observar la gráfica, vemos que la respuesta es razonable. El costo de un comercial de 30 segundos durante el Supertazón de 2001 fue alre- dedor de 6.13 veces el costo del de 1975. (^) ✺
3 Solucionar problemas que implican estadísticas
Debido a que la comprensión de la estadística es tan importante en nuestra socie- dad, a continuación se estudiarán ciertos temas estadísticos que emplearemos para resolver problemas. La media y la mediana son dos medidas de tendencia central , conocidas tam- bién como promedios. Un promedio es un valor que representa un conjunto de da- tos (o números). Si usted toma un curso de estadística, estudiará estos promedios con más detalle, y conocerá otros promedios. Para obtener la media de un conjunto de datos primero sumamos todos los valores y luego dividimos el resultado entre el número de valores. Por ejemplo, para calcular la media de 6, 9, 3, 12, 12, hacemos lo siguiente.
media =
calcular número de veces más =
L 6.
número de veces más =
costo en 2001 costo en 1975
Fuente: Investigación de la NFL Nota: Los precios están en dólares de 2001.
Costo de los comerciales en los Supertazones
Dólares (millones)
(^) 2.
0 Año
’70 ’75 ’80 ’85 ’90 ’95 ’
16 • Capítulo 1 • Números reales
Fuente: Gloria Forthun, Southeast Regional Climate Center Registros de 1895 a 2001. El sureste comprende a Va, N.C. S.C., Ga, Fla y Ala.
Veranos más secos en el sureste La precipitación pluvial promedio en el sureste es de 15.61 pulgadas.
Lluvia (pulgadas)
Años
0
16
4
8
12
1980 1954 1993 1925 1902 1983 1930 1990 1998 1921
10.63 10.67 10.68 10.83 11.60^ 11.76^ 11.87^ 12.^ 12.80 12.
Calcular
Revisar Se verifica que una séptima calificación, 83, nos dé una media de 80, de la siguiente manera.
Respuesta Una séptima calificación de 83 o más, al menos, dará como resultado un promedio de B. c) Se utiliza el mismo razonamiento que en el inciso b). Para un promedio de 90, el total de puntos que Alfonso necesita obtener es de 90(7) 630. Como su total de puntos es de 477, necesitará 630 477 o 153 puntos para obtener un prome- dio de A. Como el número máximo de puntos de que se dispone la mayoría de los exámenes es de 100, Alfonso no podría obtener una A en el curso. (^) ✺
media =
C o n j u n t o d e e j e r c i c i o s 1. 2
Ejercicios conceptuales
1. Mencione los cinco pasos del procedimiento para resol- ver problemas. 2. ¿Qué es una expresión? 3. Si un problema es difícil de resolver porque los números en él son muy grandes o muy pequeños, ¿qué puede hacerse para que el problema sea más fácil de solucionar? 4. Explique cómo se encuentra la media de un conjunto de datos. 5. Explique cómo se halla la mediana de un conjunto de datos. 6. ¿En qué medida de tendencia central se piensa por lo ge- neral como el promedio? 7. Considere el conjunto de datos 2, 3, 5, 6, 30. Sin realizar ningún cálculo, ¿podría determinar cuál es más grande, la media o la mediana? Explique su respuesta. 8. Considere el conjunto de datos 4, 101, 102, 103. Sin hacer ningún cálculo, determine cuál es mayor, la media o la me- diana. Explique su respuesta. 9. Para sacar una calificación de B, un estudiante debe te- ner una media de 80. Pat Mast tiene una media de 79 de 10 exámenes. Se acerca a su maestro y le pide una B, con el razonamiento de que sólo le falta un punto para alcanzarla. ¿Qué es lo que está equivocado en su plan- teamiento? 10. Considere el conjunto de datos 3, 3, 3, 4, 4, 4. Si uno de los cuatros cambiara a 5, qué es lo que cambiaría, ¿la media y/o la mediana? Explique su respuesta.
Practique sus habilidades
En este conjunto de ejercicios, utilice una calculadora para ahorrar tiempo.
11. Calificaciones de examen Las calificaciones de Jenna Webber son 78, 97, 59, 74 y 74. Para éstas, determine: a) la media y b) la mediana. 12. Puntuación de boliche La puntuación de Eric Flemming en cinco juegos fue de 161, 131, 187, 163 y 145. Para los jue- gos de Eric, calcule: a) la media y b) la mediana. 13. Facturas de tiendas Las facturas mensuales de Liz Kaster para los cinco primeros meses de 2003, fueron de $204.83, $153.85, $210.03, $119.76 y $128.38. Para las facturas de Liz, obtenga a) la media y b) la mediana. 14. Cuentas de electricidad Las cuentas eléctricas de Los Fo- xes de enero a junio de 2002, fueron de $96.56, $108.78, $87.23, $85.90, $79,55 y $65.88. Para estas cuentas, encuen- tre a) la media y b) la mediana. 15. Veranos secos La siguiente figura muestra los 10 vera- nos más secos en el sureste, de 1895 a 2001. Halle a) la media y b) la mediana de las pulgadas de lluvia para los 10 años que se muestran.
AHORA RESUELVA EL EJERCICIO 41
Consulte el ejercicio 24. b)
Sección 1.2 • Solución de problemas • 17
16. Casas en venta En cierta comunidad hay ocho casas en venta. Sus precios son de $124,100, $175,900, $142,300, $164,800, $146,000, $210,000, $112,200, y $153,600. Deter-
Solución de problemas
Consumo Valor energético, de energía, (kJ alimento (kJ) actividad min) Malteada de chocolate 2,200 Caminata 25 Huevo frito 460 Ciclismo 35 Hamburguesa 1,550 Natación 50 Pastel de fresa 1,440 Carrera 80 Vaso de leche descremada 350
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24. Valores de la energía La siguiente tabla proporciona los valores aproximados de la energía de ciertos alimentos, y el consumo de energía aproximado de algunas activida- des, en kilojoules (kJ). Determine cuánto tiempo le toma- ría utilizar la energía de los siguientes alimentos. a) una hamburguesa, si corriera b) una malteada de chocolate, si caminara c) un vaso de leche descremada, con ciclismo 17. Comisiones Barbara Riedell gana el 5% de comisión por los aparatos que vende. La última semana, sus ventas fue- ron por un total de $9400. Encuentre sus ingresos de esa semana. 18. Edificio Empire State El 1 de mayo de 1931 fue la inau- guración del Empire State. Mide 1,454 pies, o 443 metros, de altura. Utilice esta información para determinar el nú- mero aproximado de pies que hay en un metro. 19. Impuestos sobre ventas a) El impuesto sobre las ventas en Jefferson County es de 7%. ¿Cuál es el impuesto que pa- gó Jack Mayleben por un carro usado que costó $16, antes de impuestos? b) ¿Cuál es el costo total del carro, incluyendo impuestos? 20. Cuenta de cheques El saldo de la cuenta de cheques de Lois Heater es de $312.60. Ella adquirió cinco discos com- pactos a $17.11 cada uno, ya con IVA. Si paga con un che- que, ¿cuál es el nuevo saldo en su cuenta? 21. Compra de una computadora Scott Borden quiere com- prar una computadora que se vende en $950. Puede pagar al contado o dar a la tienda un enganche de $200 y 24 men- sualidades de $33. a) Si da el enganche y los pagos mensuales, ¿cuánto paga- rá por la computadora? b) ¿Cuánto dinero ahorraría si pagara el total del costo al contado? 22. Estacionamiento El Midtown Parking Lot cobra $1.50 por cada hora, o fracción, de estacionamiento. Alfredo Irizarri estaciona su auto de las 9:00 a.m. a las 5:00 p.m., cinco días a la semana. a) ¿Cuál es su costo semanal por el estacionamiento? b) ¿Cuánto dinero ahorraría si pagara una tarifa semanal de $35.00? 23. Militares La siguiente gráfica muestra el área de la defensa en que las mujeres se enlistaron al mes de enero de 2001. Si el número total de mujeres que se dio de alta es aproxima- damente de 91,600, determine cuántas mujeres más se en- listaron en el ejército que en la marina.
mine a) la media y b) la mediana del precio de venta de las ocho casas.
Fuente: Departamento de Defensa de los E.U.
Área en que se enlistaron las mujeres
Ejército 45%
Fuerza Aérea Marina24% 26%
Cuerpo de infantería de marina 5%
25. Gasolina por distancia Cuando el odómetro del auto de Tribet LaPierre da una lectura de 16,741.3, él llena el tan- que de gasolina. La siguiente vez que lo llena, caben 10. galones y su odómetro indica 16,935.4. Determine el núme- ro de millas por galón que rinde su carro. 26. Jet Ski El costo de la renta de un jet ski en Don’s Ski Ren- tal, es de $10.00 por 15 minutos, y en Carol’s Ski Rental es de $25 por media hora. Suponga que planea rentar un jet ski por 3 horas. a) ¿Cuál es el mejor trato? b) ¿Cuánto ahorraría?
Sección 1.2 • Solución de problemas • 19
Tarifas promedio por Austin Minneapolis Ciudad de Nueva York Santa Monica, Calif. Día de cuidado en un centro 1 $109 /semana $135 /semana $350 /semana $480 /semana Niñera (tiempo completo) $550 /semana $575 /semana $650 /semana $700 /semana Niñera (tiempo parcial) $12 /hora $12 /hora $14 /hora $13 /hora Niñera vespertina (18 años o más) $12 /hora $10 /hora $13 /hora $12 /hora Niñera vespertina (edad de 14 a 18) $7 /hora $6 /hora $8 /hora $7 /hora (^1) para un preescolar. Fuente: Money magazine, sept. de 2001.
6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6
36. Salarios en el béisbol Alex Rodríguez, de los Texas Ran- gers, fue el jugador profesional de béisbol mejor pagado en 2001, con ingresos de $25.2 millones. Roger Clemens, de los Yanquis de Nueva York, fue el lanzador mejor pagado, con $15.5 millones. En 2001, Rodríguez bateó 632 veces y Cle- mens (en la temporada regular) lanzó 220.1 entradas. De- termine aproximadamente cuánto más recibió Clemens por entrada lanzada que Rodríguez por cada batazo. 37. Equilibrio Considere la figura que se muestra. Suponga que las barras grises y rojas tienen el mismo peso, ¿en dón- de debe colocarse un bloque gris, , para que la escala es- té equilibrada? Explique cómo determinó su respuesta.
■
b) Es necesario un promedio de 70 para alcanzar una C en el curso. ¿Es posible esto para Lamond? Si así fuera, ¿cuál es la calificación mínima que debería obtener en el sexto examen?
42. Ingresos Considere los siguientes datos proporcionados en un reporte periodístico del 18 de julio de 2002 por la U.S. Census Bureau. Los datos muestran el promedio de ingresos durante la vida de individuos con diferente gra- do de educación. Suponga que la persona promedio trabaja 40 años, 40 horas a la semana y 48 semanas por año (ignore los días festivos y vacaciones). 38. Exámenes El promedio de Andy Gilfillan en seis exáme- nes es de 78. Encuentre la suma de estas calificaciones. 39. Costo de un hotel Lisa Davis, consultora, pasó una noche en cada uno de 8 hoteles diferentes cuando hacía nego- cios. La cantidad total de las cuentas de los 8 hoteles fue de $1470.72. Determine el costo medio de su estancia en los hoteles. 40. Datos de construcción Elabore un conjunto de cinco da- tos individuales cuya media sea de 70 sin que haya dos va- lores iguales. 41. Calificaciones de exámenes Se necesita obtener una me- dia de 60 en todos los exámenes para aprobar un curso. En sus primeros cinco exámenes, las calificaciones de La- mond Paine fueron de 50, 59, 67, 80 y 56. a) ¿Cuál es la calificación mínima que Lamond debe ob- tener en el sexto examen para poder aprobar el curso?
Ingresos promedio durante la vida
Educación Ingresos Grado profesional $4.4 millones Doctorado $3.4 millones Maestría $2.5 millones Licenciatura $2.1 millones Pasante o carrera técnica $1.6 millones Certificado de preparatoria $1.2 millones a) Determine el número de horas que se trabaja en una vida. b) Calcule el salario promedio por hora de una persona con certificado de preparatoria c) Obtenga el salario promedio por hora para una perso- na con grado profesional.
43. Esperanza de vida En octubre de 2001, la U.S. Census Bu- reau anunció que la esperanzaº de vida de los estadouniden- ses se había incrementado un poco, a 76.9 años. ¿Cree usted que la institución utiliza la media o la mediana? Explique.
Problema de desafío
44. Medidores La figura en la parte superior izquierda de la siguiente página muestra cómo leer un medidor de elec- tricidad (o gasolina). 1. Comience con el medidor de la derecha. Use el núme- ro más pequeño (excepto cuando esté entre 9 y 0; en tal caso utilice el 9). Observe que las flechas sobre el medi- dor indican la dirección en que se mueve la aguja (en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj, y des- pués en sentido contrario). 2. Si la aguja está directamente sobre un número, vea el medidor de la derecha para asegurarse de que rebasó el 0 y está apuntando hacia el 1. Si el medidor de la de- recha no ha pasado el 0, utilice el número más bajo si- guiente. El número en los medidores de la parte superior izquierda de la página es 16064.
20 • Capítulo 1 • Números reales
1.3 FRACCIONES
1 Conocer los símbolos de la multiplicación e identificar los factores. 2 Reducir fracciones. 3 Multiplicar fracciones. 4 Dividir fracciones. 5 Sumar y restar fracciones. 6 Convertir números mixtos a fracciones, y viceversa.
Con frecuencia, los estudiantes que cursan álgebra por primera vez preguntan “¿cuál es la diferencia entre la aritmética y el álgebra?”.Al hacer aritmética, se co- nocen todas las cantidades que se usan en los cálculos. Sin embargo, en álgebra hay una o más cantidades que se desconocen y deben calcularse.
EJEMPLO 1 Harina necesaria para una receta Una receta requiere 3 tazas, la señora Clark tie-
ne dos. ¿Cuántas tazas más necesita? Solución La respuesta es 1 taza. (^) ✺
Aunque es muy elemental, éste es un ejemplo de problema algebraico. La cantidad desconocida es el número de tazas adicionales de harina necesarias. Para tener éxito en álgebra es esencial entender los números decimales (vea el apéndice A) y las fracciones. Usted debe saber cómo simplificar una fracción y sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. En esta sección revisaremos estos temas. También explicaremos el significado de los factores.
1 Conocer los símbolos de la multiplicación e identificar los factores
Con frecuencia, en álgebra utilizamos letras llamadas variables para representar a los números. Las letras que más se utilizan como variables son x , y y z , pero también pueden emplearse otras letras. Por lo general, las variables se escriben con cursi- vas. Por ello no hay confusión entre la variable x y el signo de multiplicación, aun- que por lo general se emplea notación diferente para indicar una multiplicación.
0 1 2 43 (^65) 7
8 9 0 9 8 67 (^45) 3
2 1 0 1 2 43 (^65) 7
8 9 0 9 8 67 (^45) 3
2 1 0 1 2 43 5 1 6 0 6 4
(^76)
8 9
Fuente: Southern California Edison, Understanding Your Electricity Bill
0 1 2 43 (^65) 7
8 9 0 9 8
67 (^45) 3
2
1 0 1 2 43 (^65) 7
8 9 0 9 8
67 (^45) 3
2
1 0 1 2 43 (^65) 7
8 9
Suponga que la lectura del mes anterior es la que se mues- tra a la izquierda, y que la de este mes es la siguiente.
a) Determine la lectura para este mes. b) Determine el costo de la electricidad para este mes, primero con la resta de la lectura del mes anterior de la del actual (se mide en kilowatt-hora), y después multiplique la diferencia por el costo por kilowatt-ho- ra de electricidad. Suponga que la electricidad cuesta 24.3 centavos por kilowatt-hora.
