Topologia Elemental I-Curs 2006-07
Pr`actica 1. M`etriques
1) Demostreu que les m`etriques en Rn,d2=de=du, d∞=dmid1=dscompleixen la
desigualtat triangular.
Recordeu que si x= (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) i z= (z1, . . . zn), aleshores
d1(x, y) = |x1−y1|+. . . |xn−yn|=Pn
i=1 |xi−yi|,
d2(x, y) = ((x1−y1)2+. . . (xn−yn)2)
1
2= (Pn
i=1 (xi−yi)2)
1
2,
d∞(x, y) = m`ax { |x1−y1|, . . . , |xn−yn| } = m`ax { |xi−yi| }n
i=1 .
(1) Proveu-ho en R2amb el seg¨uent ordre d1,d∞id2.
(2) Proveu-ho ara en Rn. Per a la m`etrica usual una bona a juda ´es la desigualtat de
Cauchy-Schwarz
n
X
i
aibi≤Ãn
X
i
a2
i!
1
2Ãn
X
i
b2
i!
1
2
.
2) a) Donat un a∈R, dibuixeu els punts corresponents i calculeu les seg¨uents dist`ancies
d∞((0,0),(a, 0)) d∞((0,0),(0, a)) d∞((0,0),(a, a))
d1((0,0),(a, 0)) d1((0,0),(0, a)) d1((0,0),(a, a)).
b) Determineu i dibuixeu les boles en R2de centre l’origen i radi 1 amb les m`etriques
d∞id1.
3) Demostreu que si x∈Rn,² > 0, i d´es qualsevol de les tres dist`ancies del primer
exercici, aleshores l’aplicaci´o
F:Rn→Rn
y7→ x+²·y
envia la bola centrada en l’origen i de radi 1 en la bola centrada en el punt xi radi ², ´es
a dir,
F(Bd(¯
0; 1)) = Bd(x;²),
on ¯
0 = (0, . . . , 0) ´es l’origen de Rn.
1
