Topologia Elemental I-Curs 2006-07
Pr`actica 4. M`etriques
Definirem una nova m`etrica, dc, en R2de la seg¨uent forma:
dc(x, y) = 0 si x=y,
d2(x, (0,0)) + d2((0,0), y) si x6=y.
x
y
1) Comproveu que ´es una m`etrica i determineu les boles. Per tal d’aconseguir-ho es
recomana seguir els seg¨uents passos:
(1) Demostreu que dc´es una m`etrica. Aquesta m`etrica l’anomenarem amb el nom de
m`etrica de correus. (Ajuda: Podeu usar el fet de que d2´es una m`etrica).
(2) Calculeu les boles obertes
Bdc((0,0); 1), Bdc((0,0); ).
(3) Calculeu la bola oberta Bdc((2,2); 1) i determineu, en general, la bola oberta
Bdc(x;),
si x6= (0,0) i <ρ=d2(x, (0,0)).
(4) Calculeu les boles obertes
Bdc((2,0); 3), Bdc((2,2); 4).
(5) Demostreu que, en general, si x6= (0,0) i > ρ =d2(x, (0,0)), aleshores
Bdc(x;) = {x} ∪ Bd2((0,0); −ρ).
2) L’objectiu ´es comparar les m`etriques d2idc, per tal de fer-ho determineu:
a) el di`ametre en la m`etrica dci en la d2del conjunts
A= [−1,1] ×[−1,1], B =]1,3[×]1,3[.
b) Estudieu si les m`etriques s´on equivalents.
1
