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Departamento de An´alisis Matem´atico
Curso 2007-08.
Pr´acticas de An´alisis de una variable. C´odigo 12768.
PR ´ACTICA 5
Programa de la Asignatura: TEMA 6. Series de n´umeros reales. Series de t´erminos positivos. Criterio de comparaci´on. Criterios de la ra´ız y del cociente. Series alternadas.
1 Concepto de serie
La suma de n´umeros reales (o complejos) es una operaci´on binaria (tambi´en se dice a veces que es una ley de composici´on interna). Esto significa que podemos sumar pares de n´umeros. Por ejemplo, si escribimos
2 + 3 = 5
estamos indicando que al par de n´umeros (reales) (2, 3) le asociamos mediante la suma el n´umero real 5.
Ahora bien, si escribimos 2 + 3 + 7
estamos usando (en principio) una notaci´on no bien definida, pues tanto puede significar
(2 + 3) + 7 como 2 + (3 + 7),
donde los par´entesis indican prioridad. Sin embargo, desde los primeros cursos de primaria sabemos que la suma es una operaci´on con la propiedad asociativa y por tanto (2 + 3) + 7 = 2 + (3 + 7)
y, dada esta igualdad, no hay ambig¨uedad en usar el s´ımbolo 2 + 3 + 7 pues
2 + 3 + 7 := (2 + 3) + 7 = 2 + (3 + 7).
Si a 1 , a 2 , ..., an son n´umeros reales, el mismo razonamiento anterior explica que podamos escribir
a 1 + a 2 +... + an
sin equ´ıvocos, gracias a la propiedad asociativa de la suma.
Por tanto a 1 + a 2 +... + an = (a 1 + a 2 ) +... + (an− 1 + an) = = a 1 + (a 2 + a 3 ) +... + (an− 2 + an− 1 ) + an = ...
donde los ´ultimos puntos suspensivos representan cualquier organizaci´on de par´entesis. La propiedad conmutativa nos asegura que el orden en que coloquemos los n´umeros a sumar es irrelevante.
Al plantearnos si esto mismo es v´alido para una sucesi´on de n´umeros reales, es decir si tiene sentido a 1 + a 2 +... + an + ...,
parece coherente que este s´ımbolo tenga la misma propiedad que en el caso finito, es decir que podamos asociar y conmutar los sumandos como nos convenga, sin cambiar el resultado final de la suma.
Pero, en general, el hecho de “incluir infinitos sumandos” crea problemas, como lo demuestra el siguiente absurdo:
0 = (1 + (−1)) + (1 + (−1)) + (1 + (−1)) + (1 + (−1)) + ... =
Por tanto, el s´ımbolo a 1 + a 2 +... + an + ...
o bien su equivalente abreviado ∑∞ n=
an
necesita ser definido con precisi´on.
No podemos usar las t´ecnicas algebr´aicas en este momento y debemos proceder a un m´etodo que nos permita el paso del caso finito al infinito: el paso al l´ımite.
Debemos pues definir un nuevo concepto. Aqu´ı es donde aparecer´a con fuerza el C´alculo Infinitesimal. En la definici´on se utilizar´an las sumas finitas de los primeros t´erminos: Dada la sucesi´on de n´umeros reales (an), consideremos la sucesi´on de sumas parciales
S 1 := a 1 S 2 := a 1 + a 2 S 3 := a 1 + a 2 + a 3 .. . Sn := a 1 + a 2 +... + an .. .
Si existe
nlim→∞ Sn^ =^ nlim→∞(a^1 +^ a^2 +^...^ +^ an) =^ `^ ∈^ R se dice que la serie ∑∞ n=
an
es convergente y tiene por suma `, escribi´endose
a 1 + a 2 +... + an + ... =
∑^ ∞
n=
an = `.
Si el l´ımite no existe diremos que la serie es divergente. As´ı el car´acter de la serie (ser convergente o ser divergente) ser´a el de la sucesi´on de sus sumas parciales; si, en particular, ´estas tienen por l´ımite +∞
´o −∞, escribiremos
∑^ ∞
n=
an = +∞ ´o
∑^ ∞
n=
an = −∞.
En rigor, si el l´ımite no existe, no estamos definiendo el s´ımbolo
∑^ ∞
n=
an ya que, por ejemplo, si la
sucesi´on (Sn) es oscilante, tanto finita como infinitamente, no tiene sentido. 1 Como vimos en la pr´actica de sucesiones a veces se usan, por ejemplo, expresiones del tipo (an)∞ n=
´o (an)∞ n=0 que tratamos como sucesiones. De igual manera entenderemos expresiones como
∑^ ∞
n=
an ´o ∑^ ∞
n=
an, que trataremos como series afirmando que: El car´acter de una serie no depende de que le a˜nadamos,
eliminemos o cambiemos un n´umero finito de sus t´erminos.
(^1) Por ejemplo, a nadie se le debe ocurrir escribir log(0) para referirse a un n´umero real aunque cuando aparece log(x) se sabe que hay n´umeros reales para los que no tiene sentido.
Ejemplo 2.1 La serie arm´onica. Se llama as´ı a
n
∑^ ∞
n=
n
Vamos a ver que es divergente, y para eso veremos que sus sumas parciales forman una sucesi´on no acotada: S 1 = 1
S 2 = 1 +
S 4 = 1 +
S 8 = 1 +
Siguiendo de este modo obtendr´ıamos
S 16 ≥ 1 + 4
y en general,
S 2 n^ ≥ 1 + n
Por tanto
nlim→∞ Sn^ =^ nlim→∞ S^2 n^ ≥^ nlim→∞
1 + n
luego efectivamente, la serie arm´onica es divergente.
Ejemplo 2.2 La serie ∑∞ n=
np
donde p > 0 se llama serie arm´onica generalizada. Naturalmente el caso p = 1 es la serie arm´onica ordinaria.
Si 0 < p < 1 entonces 1 np^
n luego las sumas parciales cumplir´an la siguiente desigualdad:
1 +
2 p^
3 p^
4 p^
np^
n
Pero acabamos de ver que el l´ımite del segundo miembro es +∞, luego tambi´en el l´ımite del primer miembro es +∞. En otras palabras: La serie
∑^ ∞ n=
np
es divergente para 0 < p ≤ 1.
2.1.1 Criterios de comparaci´on
Sean
∑^ ∞
n=
an y
∑^ ∞
n=
bn tales que an, bn ≥ 0 , para todo n ∈ N.
- Por mayoraci´on o minoraci´on.
Supongamos que existe un n 0 tal que para todo n ≥ n 0 se tiene an ≤ bn:
Si la serie
∑^ ∞
n=
bn es convergente, entonces
∑^ ∞
n=
an es tambi´en convergente.
Si la serie
∑^ ∞
n=
an es divergente, entonces
∑^ ∞
n=
bn es tambi´en divergente.
- Por cociente. Si el l´ımite (^) nlim→∞^ an bn es un n´umero real, no nulo, las dos series tienen el mismo car´acter.
Ejemplo 2.3 Como para n ≥ 1 se tiene que √ n ≤ n,
entonces 1 √ n
n
Como la serie arm´onica es divergente, entonces la serie
∑^ ∞ n=
n
es tambi´en divergente (notemos que es la serie arm´onica generalizada con p =
Ejemplo 2.4 Para la serie: ∑∞ n=
n − log n n^2 + 10n
se tiene:
lim n
n − log n n^2 + 10n 1 √ n
y por lo tanto la serie: ∑∞ n=
n − log n n^2 + 10n
tiene el mismo car´acter que la serie
∑^ ∞
n=
√^1
n , es decir, es divergente.
Ejercicio 2.1 Estudiar por comparaci´on por cociente la convergencia de las siguientes series
- (^) ∞ ∑ n=
n1+^ n^1
n=
( n
a − 1)p^ a > 1 , p ∈ R+
n=
n(log n)^2
n=
(log n)(log^ n)
Otros criterios de convergencia que se utilizan habitualmente son los siguientes:
2.1.3 Criterio de Cauchy de la ra´ız en´esima
Sea
∑^ ∞
n=
an una serie de t´erminos positivos tal que existe
r = (^) nlim→∞^ n
an
∑^ ∞
n=
an es divergente.
∑^ ∞
n=
an es convergente.
2.1.4 Criterio de D’Alembert del cociente
Sea
∑^ ∞
n=
an una serie de t´erminos positivos tal que existe
r = (^) nlim→∞ an+ an
∑^ ∞
n=
an es divergente.
∑^ ∞
n=
an es convergente.
Ejemplo 2.7 Dada la serie ∑∞ n=
n^2 + 1 5 n^
como
nlim→∞^ n
n^2 + 1 5 n^
el criterio de la ra´ız nos asegura que converge. An´alogamente, para ∑^ ∞ n=
nn 2 nn!
se tiene:
nlim→∞
(n + 1)(n+1) 2 (n+1)(n + 1)! nn 2 nn!
e 2
y el criterio de D’Alembert asegura la divergencia de la serie.
En la mayor´ıa de los casos estos dos criterios no son alternativos, es decir, si una serie no reacciona a uno de ellos ( porque r = 1 ) no reaccionar´a al otro pues, aplicando el criterio de la ra´ız de Stolz
nlim→∞^ n
an = (^) nlim→∞ an+ an
siempre que el segundo l´ımite exista.
Ejercicio 2.3 Estudiar si las series que siguen son convergentes:
- (^) ∞ ∑ n=
nlog^ n (log n)n^.
- (^) ∞ ∑ n=
n^2 n!
n=
cos^2 n( nπ 2 n + 4 )^.
∑∞ n=
nn^2 (n + 1)n^2
Ejercicio 2.4 Estudiar para qu´e n´umeros reales no negativos x se cumple que la serie
∑^ ∞
n=
n^2 xn
es convergente.
Ejercicio 2.5 Estudiar para qu´e n´umeros reales no negativos x se cumple que la serie
∑^ ∞
n=
n! xn
es convergente.
En las ocasiones que los criterios de D’Alembert y Cauchy no ofrecen informaci´on sobre el car´acter de una serie, ya que el l´ımite asociado toma el valor 1, es ´util el siguiente criterio de convergencia:
2.1.5 Criterio de Raabe.
Sea
∑^ ∞
n=
an una serie de t´erminos positivos tal que existe
r = (^) nlim→∞ n
an an+
∑^ ∞
n=
an es convergente.
∑^ ∞
n=
an es divergente.
Ejemplo 2.10 Consideremos la serie
1 12
Esta serie es absolutamente convergente porque lo es
∑^ ∞
n=
n^2 , luego es convergente. Adem´as
∣∣ ∣∣^1 12
∑^ ∞
n=
n^2
2.2.2 Series alternadas. Criterio de Leibnitz
Una serie
∑^ ∞
n=
an se dice alternada si el producto de dos t´erminos consecutivos de la serie es un n´umero
negativo. Estas series alternadas pueden escribirse de cualquiera de las dos formas:
∑^ ∞ n=
(−1)nan, con an ≥ 0;
∑^ ∞
n=
(−1)n+1an, con an ≥ 0 ,
Para estudiar su convergencia basta con considerar s´olo un caso pues el otro se deduce multiplicando
por −1. Es decir
∑^ ∞
n=
(−1)n+1an = −
∑^ ∞
n=
(−1)nan.
Criterio de Leibnitz: Si la serie alternada
∑^ ∞
n=
(−1)nan es tal que an ≥ 0 , y (an) es una sucesi´on
mon´otona decreciente con l´ımite cero, entonces es convergente.
Ejemplo 2.11 Consideremos la serie
∑^ ∞
n=
(−1)n^
n
−... Es claramente una serie
alternada de la forma anterior
∑^ ∞
n=
(−1)nan, con an =
n
. Como (^) nlim→∞ an = 0 y adem´as an+1 ≤ an, por el
criterio de Leibnitz la serie dada converge. En cambio esta serie no es absolutamente convergente.
Ejemplo 2.12 Dada la serie: ∑∞ n=
(−1)n+^ log n n
se tiene obviamente:
nlim→∞
log n n = 0 , siendo log(n + 1) n + 1
log n n y la serie converge por el criterio de Leibnitz.
Ejercicio 2.7 Estudiar si convergen las siguientes series:
- (^) ∞ ∑ n=
(−1)n+
n n + 100.
- (^) ∞ ∑ n=
n(n + 1)
(−1)n √ n(n + 1)
3 Algunos procedimientos para sumar series
Como hemos indicado no es sencillo, aun sabiendo que una serie es convergente, conocer ex´actamente el valor de su suma. Veremos unos cuantos m´etodos elementales. Conviene hacer hincapi´e en que, pese a que el car´acter de una serie no se ve afectada por cualquier alteraci´on en un n´umero finito de sus t´erminos, sin embargo, dicha alteraci´on afecta al valor de su suma.
3.1 Series geom´etricas
Son aquellas en que, para n = 1, 2 , ...
an+1 = ran. Como vimos en 1.2 son convergentes si su raz´on r es tal que |r| < 1, y entonces
∑^ ∞
n=
an = a 1 1 − r.
3.2 Series aritm´etico-geom´etricas
Son de la forma
∑^ ∞ n=
anbn
siendo (an) una progresi´on aritm´etica, con diferencia d , (bn) una progresi´on geom´etrica de raz´on r, con |r| < 1. En este caso la serie es convergente y su suma es
∑^ ∞
n=
an =
a 1 b 1 + d
b 1 1 − r − b 1
1 − r
aunque, mejor que recordar la f´ormula, conviene proceder como en el siguiente
Ejemplo 3.
S =
∑^ ∞
n=
2 n + 1 2 n^
2 n + 1 2 n^
rS =
S =
2 n + 1 2 n+^
y restando,
S =
2 n^
⇒ S = 5.
Notemos que la expresi´on entre par´entesis es ya una serie geom´etrica ya que los numeradores de las fracciones son la diferencia de la progresi´on aritm´etica.
3.3 Series hipergeom´etricas
La serie de n´umeros reales
∑^ ∞
n=
an es hipergeom´etrica si existen constantes α, β, γ, tales que
α + β − γ 6 = 0 |α| + |γ| 6 = 0
Ejemplo 3.4 Sumar la serie ∑∞ n=
n^2 + 1 n! Descomponemos (^) ∞ ∑
n=
n^2 + 1 n!
∑^ ∞
n=
n^2 n!
∑^ ∞
n=
n!
ahora bien,
∑^ ∞ n=
n^2 n!
∑^ ∞
n=
n^2 n!
∑^ ∞
n=
n (n − 1)!
∑^ ∞
n=
n (n − 1)!
∑^ ∞
n=
(n − 1) + 1 (n − 1)!
∑^ ∞
n=
(n − 1) (n − 1)!
∑^ ∞
n=
(n − 1)!
cuyo primer sumando es
∑^ ∞
n=
(n − 2)! = e , y el segundo es
∑^ ∞
n=
(n − 1)! = e − 1 , por lo que ∑^ ∞
n=
n^2 n! = 2e − 1 y finalmente ∑^ ∞ n=
n^2 + 1 n! = 3e − 1 + 1 = 3e.
3.5 M´etodo de descomposici´on.
Se trata de un m´etodo muy general basado en descomponer en fracciones simples el t´ermino general an
de la serie cuando ´este es del tipo P^ (n) Q(n) con P, Q polinomios.
Las m´as sencillas son las denominadas series telesc´opicas que son de la forma ∑^ ∞
n=
(bn − bn+1), o bien
∑^ ∞
n=
(bn+1 − bn), con lim n bn = b ∈ R
En el primer caso, el otro ser´ıa an´alogo, la suma parcial es
Sn = (b 1 − b 2 ) + (b 2 − b 3 ) +... + (bn − bn+1) = b 1 − bn+
con lo que
∑^ ∞
n=
(bn − bn+1) = b 1 − b.
Ejemplo 3.5 Consideremos
an =
(n + 1)(n + 2)
A
n + 1
B
n + 2
n + 1
n + 2 Entonces
a 1 = 1 1 + 1
a 2 =
a 3 =
an =
n + 1
n + 2 y sumando,
a 1 + a 2 + a 3 + ... + an =
n + 2 de donde ∑^ ∞ n=
(n + 1)(n + 2) = (^) nlim→∞ (a 1 + a 2 + a 3 + ... + an) = (^) nlim→∞
n + 2
=^1
Este proceso se puede repetir siempre que la serie sea de la forma ∑^ ∞ n=
p(n) (n + b 1 )(n + b 2 )...(n + bk)
con b 1 , b 2 , ..., bk n´umeros naturales, y p(n) un polinomio en n con grado menor o igual que k − 2. Se procede entonces a:
- Descomponer el t´ermino general an en fracciones simples.
- Calcular a 1 + a 2 + a 3 + ... + an.
- Sumar, cancelar y calcular el l´ımite de la suma que resulta. El m´etodo se puede aplicar en otros casos combinando las mismas ideas anteriores con el manejo de series conocidas.
Ejemplo 3.6 Sabiendo que ∑∞ n=
n^2
π^2 6 calcular (^) ∞ ∑ n=
n^2 (n + 1)
Descomponemos la fracci´on 1 n^2 (n + 1)
A
n^2
B
n
C
n + 1 Calculamos los coeficientes A, B y C : 1 n^2 (n + 1) = A(n^ + 1) +^ Bn(n^ + 1) +^ Cn
2 n^2 (n + 1) = (B^ +^ C)n
(^2) + (A + B)n + A n^2 (n + 1)
1 ≡ (A + C)n^2 + (A + B)n + A =⇒
B + C = 0
A + B = 0
A = 1
A = 1 , B = − 1 , C = 1
luego 1 n^2 (n + 1) =^
n^2 +^
n +^
n + 1 y dando valores a n,
a 1 = 1 12
+^1
a 2 = 1 22
+^1
a 3 = 1 32
+^1
an = 1 n^2
+ −^1
n
n + 1
∑^ n 1
k^2
∑^ n 1
2 k − 1
∑^ n 1
2 k
∑^ n 1
2 k
n + 1
n
∑^ n 1
k^2
∑^ n 1
2 k − 1
∑^ n 1
2 k
∑^ n 1
k
n + 1
n
∑^ n 1
k^2
( (^2) n ∑ 1
(−1)k−^1 k
n + 1 de donde ∑^ ∞ n=
n^2 (n + 1) = (^) nlim→∞ (a 1 + a 2 + a 3 + ... + an) =
π^2 3 − 1 − 4 log 2.
4 Ejercicios de autocomprobaci´on, con soluciones
Ejercicio 4.1 Estudiar si las siguientes series son o no convergentes
- (^) ∞ ∑ n=
√ (^3) n (^2) + 1.
Sol. Div.
- (^) ∞ ∑ n=
n n^4 + n^2 + 1 Sol. Conv.
- (^) ∞ ∑ n=
n 2
Sol. Conv.
Ejercicio 4.2 Sumar las siguientes series:
- (^) ∞ ∑ n=
4 n + 9 (n + 1)(n + 3)(n + 5)
Sol.
n=
(3n + 1)(3n + 4)(3n + 7)
Sol.
n=
n n^4 + n^2 + 1
Sol.
n=
3 n^ sin a 3 n
Sol. 3 4 (a − sin a).
- (^) ∞ ∑ n=
n(n + 1)^2
Sol. 2 − π^2
(^) ∞ ∑ n=
n! 3(3 + 1)(3 + 2)...(3 + n)
Sol. 1 6
∑∞ n=
(2n + 1)(2n + 5)(2n + 9)
Sol.
n=
n^2 + 9n + 5 (n + 1)(n + 4)(2n + 3)(2n + 5)
Sol.
n=
2 n + 1 (n^2 + 1)(n^2 + 2n + 2)
Sol. 1 2
n=
(−1)n^2 n^ + 1 n(n + 1) Sol. − 1.
- (^) ∞ ∑ n=
n^3 + 8n + (3n^2 + 2)
Sol.
n=
arctan
2 n^2
Sol. π 4
∑^ ∞
n=
n sin π √ n
∑^ ∞
n=
n(1 + (^1) n )
∑^ ∞
n=
1000 n + 1
∑^ ∞
n=
√^1
n log n^ + 3 n + 1
∑^ ∞
n=
n + 1 n^2 + 1 )
2
∑^ ∞
n=
n 5 )n^
n!
∑^ ∞
n=
√ nn + 1
∑^ ∞
n=
n^5 − 2 n^5 + 2
Sumar las siguientes series:
∑^ ∞
n=
(3n + 1)(3n + 10)
∑^ ∞
n=
1 − n^3 n!.
∑^ ∞
n=
log(1 −
n^2
∑^ ∞
n=
4 n + 9 (n + 1)(n + 3)(n + 5)
∑^ ∞
n=
(3n + 1)(3n + 4)(3n + 7).
∑^ ∞
n=
n^2 − 5 n + 4 n!
∑^ ∞
n=
arctan 1 n^2 + n + 1
∑^ ∞
n=
n^2 + 9n + 5 (n + 1)(n + 4)(2n + 3)(2n + 5)
∑^ ∞
n=
(2n + 1)(2n + 3)
∑^ ∞
n=
n + 12 n^3 + 5n^2 + 6n
∑^ ∞
n=
(4n^2 − 1)n
∑^ ∞
n=
n! a(a + 1)... (a + n)
∑^ ∞
n=
2 n + 1 7 n^
∑^ ∞
n=
3 n^2 + 2 πn^
∑^ ∞
n=
(−1)n n^2 + n − 2
∑^ ∞
n=
n^3 + 1 n!
∑^ ∞
n=
n^2 (n + 1) n!.
∑^ ∞
n=
(2n − 1)2n.
∑^ ∞
n=
n 3
∑^ ∞
n=
(9n^2 − 1)2n
