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PRÁCTICA 5: PÉNDULO SIMPLE
Primero de CC.Físicas. Grupo G Fecha de realización: 26 de Marzo de 2014 Entregada: 31 de Marzo de 2014
Introducción
Esta práctica tiene como objetivo determinar el valor de la aceleración de la gravedad, g. Para ello se emplea un péndulo, un cronómetro, una regla graduada y un dispositivo para variar la longitud del péndulo. Se hace uso de la fórmula que relaciona el período, T, del movimiento oscilatorio efectuado por un péndulo simple (para pequeñas oscilaciones y en ausencia de rozamiento) y su longitud, L, con la aceleración de la gravedad:
El péndulo simple se define como un punto material (de masa m) suspendido de un hilo (de longitud L y masa despreciable) en el campo de gravedad de la Tierra. Cuando se hace oscilar la masa, desplazándola de modo que el hilo forme un ángulo muy pequeño con la vertical, describe aproximadamente un movimiento armónico simple^1. En efecto (véase la Fig. 1), al soltar la masa en reposo desde la posición A, la fuerza que actúa sobre ella es la componente tangencial del peso: F=-mgsenθ (2) Para ángulos muy pequeños, se pueden hacer las aproximaciones: senθθ (θ en radianes) (3) s=θLx (véase la Fig. 1) (4) Sustituyendo (3) y (4) en (2) se tiene: (5)
La fuerza es proporcional y de signo contrario al desplazamiento, siendo la constante: (6) Este tipo de fuerza recuperadora es la que caracteriza al movimiento armónico simple, en el que la frecuencia de oscilación viene dada por la relación:
Sustituyendo (6) en (7) se obtiene la expresión para el periodo de las oscilaciones del péndulo simple (véase la ecuación 1). A partir de la ecuación 1 se puede determinar el valor de g midiendo L y T experimentalmente.
Nota: Para ángulos grandes el seno seguiría el siguiente desarrollo: (8)
Modo de operar
El dispositivo empleado varía la longitud del péndulo de 10 en 10 cm. Se toma la mínima longitud del péndulo (en torno a 20 cm), se separa una pequeña distancia de su posición de equilibrio y se deja oscilar libremente. Se cronometra la duración de 30 oscilaciones completas para reducir el error en la medida. Esta operación se repite cuatro veces sin cambiar la longitud. Se procede de la misma manera para la longitud máxima (en torno a 90 cm) y dos puntos intermedios entre la longitud mínima y máxima. Nota: La longitud del péndulo se mide desde el extremo fijo hasta el centro de la esfera.
Análisis de datos y resultados
En la tabla 1 se muestran los cuatro valores de L y para cada L los cuatro valores obtenidos del tiempo cronometrado de treinta oscilaciones, t. También aparece el valor medio de los correspondientes tiempos, su desviación típica y los valores de las incertidumbres sistemática, aleatoria y total.
Tabla 1. Medidas del tiempo de 30 oscilaciones L (cm) 19,00 39,00 69,00 89, 26,44 37,60 50,03 56, 26,31 37,69 50,12 56, t (s) 26,48 37,66 50,0 56, 26,38 37,81 50,20 56, Media (s) 26,40 37,69 50,09 56, σn-1 (s) 0,074 0,088 0,091 0, Incert. Aleat. (s) 0,1178 0,14 0,145 0, Incert. Sist. (s) 0,16 0,16 0,16 0,
T^2 (s 2 ) 0,774 1,578 2,786 3, ΔT 2 (s^2 ) 0,012 0,018 0,024 0, δT (%) 0,76 0,56 0,44 0,
Como sólo se hace una medida para cada L, su incertidumbre se ha determinado como la mitad de la división mínima que se pudo observar. cm La incertidumbre de T se ha obtenido derivando parcialmente la ecuación (13): (14) También se ha incluido el valor T^2 porque esos datos se usarán para construir la gráfica 1. Su incertidumbre se obtiene derivando parcialmente: Δ(T 2 ) = 2TΔT (15) Las incertidumbres relativas de la longitud y del periodo se han obtenido a partir de la siguiente expresión:
El valor de g se calcula mediante la fórmula: (17) La incertidumbre de g se obtiene derivando parcialmente la ecuación (17):
Se puede observar que y que ; de esta forma la ecuación (18) se podría expresar de la siguiente manera: (19) Aplicando las ecuaciones (16) y (18), el valor de g junto con su incertidumbre para la longitud mínima y máxima del hilo es:
A continuación se pretende hallar el valor de g mediante una regresión lineal. Para ello se representa T^2 frente a L. (Ver gráfica 1) Nota: L y ΔL se ha pasado a metros.
Las barras de error para la longitud vienen dadas por ΔL. Las barras de error para T 2 vienen dadas por Δ(T^2 ). Sus valores se muestran en la Tabla 2. La regresión lineal, obtenida por el método de mínimos cuadrados nos muestra la recta que más se aproxima a dichos puntos. La pendiente (m) y la ordenada en el origen (c) de dicha recta vienen dadas por las siguientes expresiones 2 : (20) En donde:
Las incertidumbres relativas nos permiten saber qué medida es más precisa. Haciendo uso de la ecuación 16 construimos la tabla 4.
Tabla 4. Incertidumbres relativas g
Se observa que g ajuste es la más precisa.
Conclusión
Dado que la ordenada c tiende a un valor próximo a cero, nuestras variables parecen seguir la relación teórica esperada (véase la ecuación 17). El Instituto Nacional Meteorológico de Alemania^3 (conocido como PTB) ha diseñado un programa que permite conocer el valor de la aceleración de la gravedad para casi cada localización por encima del nivel del mar. Este programa nos indica que en Madrid el valor de la aceleración de la gravedad es de: Comparando este valor de gran precisión con los valores de g obtenidos en la tabla 3 se puede señalar que los tres están contenidos dentro del valor gMadrid , por lo tanto los resultados obtenidos son coherentes. Sin embargo, el valor de g obtenido con el ajuste lineal es el más cercano, restándole el valor de su incertidumbre, al valor g dado por el Instituto Meteorológico. Hay que señalar que no se han tenido en cuenta otras posibles fuentes de error en los cálculos para la longitud; como por ejemplo el haber hecho solo una medida para cada L, o el no conocer con exactitud dónde está el centro de la esfera.
Referencias
- Alonso M. y Finn E. J. “Física” Vol 1, Ed Addison-Wesley Iberoamericana (1986).
- Apuntes de Laboratorio UCM.
- http://www.ptb.de/cartoweb3/SISproject.php
