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Universidad Nacional de Ingenier´ıa
Facultad de Ciencias
Escuela Profesional de Matem´atica Ciclo 2021-
[Cod: BMA01 Curso: C´alculo Diferencial ]
Solucionario de la Primera Pr´actica Calificada
- Indique y justifique la veracidad (V) o falsedad (F) de cada una de las siguientes afirmaciones: a) Para todo x ∈ R, cosh^2 (3x) + sinh^2 (3x) = 1 (1.5 ptos) b) Si f (x) = ln(x^2 + x − 1), entonces dom(f ) =< −∞, 1 −^1
√ 5 2 >^ ∪^ <^1 −^1
√ 5 2 ,^ ∞^ >.^ (1pto) c) Para todo x ∈ R, sgn(sgn(x)) = −sgn(x). (1pto) d ) El inverso de f (x) = 3x^ es g(x) = log 3 x. (1.5 ptos) Demostraci´on
a) Es falso. Ya que por propiedad se tiene cosh^2 (3x) − sinh^2 (3x) = 1. b) Es faso. Para determinar el dominio de f vemos que el logaritmo siempre toma valores positivos, as´ı
x^2 + x − 1 > 0 ⇒ x ∈
−∞, 1 −^1
2 ,^ ∞
c) Es verdadero. Para x > 0, sgn(sgn(x)) = sgn(1) = 1 = sgn(x). d ) Es Verdadero. Su dominio dom(f ) = R y su Ran(f ) =< 0 , +∞ > y tiene como inverso g(x) = log 3 x.
- Dados (a, b) y (c, d) intervalos abiertos, con b ≤ c, y las funciones estrictamente crecientes f 1 : (a, b) → R y f 2 : (c, d) → R. Considere la funci´on f : (a, b) ∪ (c, d) → exp(Ran(f 1 )) ∪ Ran(f 2 ) definida como: f (x) =
(exp ◦ f 1 )(x), Si x ∈ (a, b), f 2 (x) Si x ∈ (c, d). Muestre la siguiente proposici´on: f es mon´otona si y solo si para todo z 1 , z 2 tales que z 1 ∈ exp(Ran(f 1 )) y z 2 ∈ Ran(f 2 ), se cumple que z 1 ≤ z 2. (5ptos)
Demostraci´on (⇒) Al ser f|(c, b) = f 2 es estrictamente creciente y f es mon´otono entonces f es creciente. Dados z 1 ∈ exp(Ran(f 1 )) y z 2 ∈ Ran(f 2 ), se tiene z 1 = exp ◦ f 1 (x 1 ) y z 2 = f 2 (x 2 ), con x 1 ∈ (a, b) y x 2 ∈ (c, d), por tanto x 1 < x 2 , luego como f es creciente z 1 = exp ◦ f 1 (x 1 ) = f (x 1 ) ≤ f (x 2 ) = f 2 (x 2 ) = z 2. (⇐) Dados x 1 < x 2 en (a, b) ∪ (c, d), se presentan tres casos: x 1 , x 2 ∈ (a, b), x 1 , x 2 ∈ (c, d) y x 1 ∈ (a, b), x 2 ∈ (c, d). En los primeros dos casos se cumple que f (x 1 ) < f (x 2 ), pues exp ◦ f 1 y f 2 son estrictamente crecientes. En el ´ultimo caso tenemos que f (x 1 ) = (exp ◦ f 1 )(x 1 ) y f (x 2 ) = f 2 (x 2 ), por tanto por las hip´otesis se cumple f (x 1 ) = (exp ◦ f 1 )(x 1 ) ≤ f 2 (x 2 ) = f (x 2 ). Por tanto f es creciente.
- a) Sean f : R → R una funci´on impar y g : R → R una funci´on par, que satisfacen la siguiente ecuaci´on: x^14 f (x) − xf (x^13 )^ = g(x), ∀x ∈ R (2) calcule f 2 (x) + g^2 (x). b) Sean a, b > 0, ab = p ∈ N, y f una funci´on tal que
f (x) =
(a − b) cos x + b cos
( (^) a − b b x
r(x), ∀x ∈ R
donde r es una funci´on peri´odica de periodo (^) mn π, para n, m ∈ N primos entre si. Si Tp es el periodo de f y Tr el periodo de r, entonces pruebe que
Ep = T Tp r
, p ≥ 1.
Aqu´ı
Ep =
2 m, p > 1 1 , p = 1 (5ptos) Demostraci´on
a) xf (x^13 ) es par, por ser producto de funciones impares, y como x^14 f (x) = xf (x^13 )^ + g(x) entonces x^14 f (x) es par por ser suma de pares, y tambi´en es impar por ser producto de funci´on par por una impar; por lo tanto x^14 f (x) = 0, ∀x, en especial si x 6 = 0, f (x) = 0, y f (0) = 0 por ser funci´on impar y 0 ∈ dom(f ). Como g satisface la ecuaci´on 2 entonces g = 0. Finalmente f 2 (x) + g^2 (x) = 0, ∀x ∈ R
El costo total sera C(x) = 1, 5 V (x)
Uni, 01 de marzo de 2021*
*Hecho en LATEX
