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Algebra Lineal Pr´actica 2
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE CIENCIAS MATEM ´
ATICAS
2024-I
1. Sea Vun espacio vectorial sobre el cuerpo KyH⊂Vun subconjunto; entonces son
equivalentes las siguientes afirmaciones:
(a) H verifica las condiciones:
(H1)θ∈H.
(H2) Si u, v ∈Hentonces u+v∈H.
(H3) Si u∈H,λ∈Kentonces λu ∈H.
(b)H6=∅yHcontiene a todas las combinaciones lineales de elementos de H.
2. Sea el espacio vectorial Vsobre el cuerpo Ky el subconjunto {u, v} ⊂ Vlinealmente
independiente, si w1=au +bv,w2=cu +dv siendo a, b, c, d escalares no todos nulos, demostrar
que {w1, w2} ⊂ Ves linealmente independiente si y solo se ad −bc 6= 0.
3. Dado el espacio vectorial Vsobre el cuerpo K, se eligen nvectores en la forma siguiente:
u16= 0, u2∈V−gen{u1}, . . . , ui+1 ∈V−gen{u1, . . . , ui}, . . .
, entonces demostrar que el conjunto {u1, . . . , un} ⊂ Ves linealmente independiente.
4. Determinar una transformaci´on lineal T:R4→R3tal que Ker(T) = gen{(2,1,−1,2),(3,0,1,−1)}.
5. Sean los espacios vectoriales V,Wsobre el cuerpo Kde dimensi´on finita, entonces:
5.1 Si β=v1, . . . , vnuna base del espacio VyT1, T2:V→Wtransformaciones lineales
entonces demostrar que T1=T2⇔T1(vk) = T2(vk),∀k= 1, . . . , n.
5.2 Si v6=θVes un vector del espacio Ventonces probar que existe f∈V∗tal que f(v)6=θW.
6. Sea Vun espacio vectorial sobre el cuerpo K n−dimensional con base β{v1, . . . , vn}. Si
a1, . . . , anescalares no todos iguales a cero, demostrar que el conjunto H={v=x1v1+. . . +
xnvn:x1a1+. . . +xnan= 0}es un subespacio de Vcon dim(H) = n−1.
7. Sean V , E espacios vectoriales sobre el cuerpo Kcon dim(E) = nydim(V) = my las
transformaciones lineales T:E→VyF:E→V, entonces demostrar que si Ker(T) =
Ker(F) se tiene que existe un isomorfismo ψ:V→Vtal que F=ψ◦T.
8. Dado el espacio vectorial Vsobre el cuerpo Kcon dim(V) = n > 1 y la transformaci´on
lineal T:V→Vtal que T2= 0 y r=dim(I m(T)), entonces:
Vite, Michell 1 FCM
