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Ejercicios de álgebra vectorial
Boris A. López Zubieta
14 de marzo de 2023
Resumen
Problemas escogidos de álgebra vectorial para el curso de física II
paralelo C (FIS-132) de la carrera de Informática.
- Dados los tres vectores:
A = 3ˆi + 2ˆj −
k⃗ B = 3ˆi − 4ˆj − 5
k⃗ C = ˆi −
j +
k
encontrar lo siguiente:
a)
A +
B ;
A +
C ;
B +
C
b)
A ·
B ;
B ·
C ;
A ·
C
c)
A ×
B ;
B ×
C ;
A ×
C
d )
A ×
B) ·
C ;
A · (
B ×
C) ¾son iguales?
e)
A × (
B ×
C) ;
B(
A ·
C) −
C(
A ·
B) ¾son iguales?
¾Cuales es el angulo entre
A y
C y entre
B y
A ×
C?
- Dada la suma y diferencia de dos vectores,
A +
B = −
i + 5ˆj − 4
k⃗
A −
B = 3ˆi −
j − 2
k
encontrar los vectores individuales
A y
B.
- Dados los dos vectores:
A = 3ˆi + 4ˆj y⃗ B = 7ˆi − 24ˆj
¾Cuál es su producto escalar?
¾Cuál es su producto vectorial?
¾Cuál es el angulo θ entre los dos vectores?
- Encontrar el gradiente de cada una de las siguientes funciones donde a y
b son constantes;
a)
f = axz + bx
3 y
b)
f =
a
r
sin θ + brz
2 cos{ 3 θ}
c)
f = ar cos ϕ +
b
r
2
sin ϕ
- Un campo electrostático,
E, deriva del gradiente, cambiado de signo, de
un potencial eléctrico dado por la expresión φ(x, y, z) = φ 0
e
−x sin
πy
4
a) Determine el campo eléctrico en el punto (1, 1 , 0)
- Dado el campo escalar unidimensional U (x) = k
x
2
2
, llamado campo de
energía potencial, donde k es una constante y U se mide en Julios,
a) Determine el campo vectorial asociado,
F , a través del gradiente cam-
biando de signo.
b) ¾Qué tipo de magnitud puede asociarse al campo vectorial
F?
- Determine el gradiente de los siguientes campos escalares:
a) U (x, y, z) = 4xz
2
c)
ϕ = ρ
3 cos ϕ
- Un ujo de uido tiene como vector densidad de ujo
F (x, y, z) = x
i − (2x + y)ˆj + z
k
Designemos con S el hemisferio x
2
2
2 = 1 , z ≥ 0 , siendo n la
normal unitaria orientada hacia el exterior de la esfera. Calcule la masa
de uido que atraviesa S en la unidad de tiempo en el sentido de la normal
n.
- Sea el campo vectorial F (x, y, z) = (0, cos xz, − sin xy), determine su ro-
tacional.
- Determine si el campo vectorial de nido por F (x, y, z) = (2xy, x
2
2 yz, y
2 ) es un campo conservativo.
