Practica surfer, Ejercicios de Matemáticas

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Superficies Algebraicas, Surfer y Modelización

Matemática

Aplicaciones al Diseño

Curso 2013-

1 Introducción

Los objetivos de esta práctica son:

• Estudiar las superficies algebraicas, en particular las cuádricas.
• Aprender a representar gráficamente superficies algebraicas en el programa Surfer.
• Aprender a crear fórmulas matemáticas o modificar las ya existentes de forma creativa.
• Modelizar la realidad a través de superficies algebraicas, así como crear nuevas figuras que permitan desarrollar la creatividad.
• Usar herramientas matemáticas estudiadas en la asignatura para dar forma concreta a ideas creativas.
• Aprender a utilizar y valorar los componentes estéticos y visuales de las matemáticas en el arte y en el diseño.

2 Surfer y las superficies algebraicas

El programa SURFER es un programa desarrollado por la Universidad Técnica de Kaiserslautern y el Instituto de Investigación Matemática Oberwolfach de Alemania, para la exposición Imaginary. Este programa permite crear y visualizar fácilmente imágenes de superficies algebraicas. Se puede descargar gratuitamente desde la página de la Real Sociedad Matemática Española (RSME) (http://www.imaginary-exhibition.com/surfer.php).

Una superficie algebraica es el conjunto de puntos del espacio P ( x , y , z ) que satisfacen una ecuación polinómica en tres variables. Por ejemplo,

x^2 − ( y^2 + z^2 )^2 = 0 , ( x^2 + y^2 + z^2 + 2 )^2 − 9 ( x^2 + y^2 ) = 0 , ( x^2 + y^2 )^3 = 4 x^2 y^2 z^2 ,

son superficies algebraicas. Sus gráficas pueden visualizarse a continuación.

Como ejemplo de superficies algebraicas nos encontramos con las cuádricas , que se definen como el lugar geométrico de los puntos P ( x , y , z ) del espacio que verifican una ecuación de segundo grado en las variables x , y , z del tipo: Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 ,

es decir, pueden verse como la extensión de las cónicas al espacio. Dentro de las cuádricas encontramos, por ejemplo, la esfera, el elipsoide, el paraboloide, el paraboloide hiperbólico,... (ver Tema 8. Cónicas para completar la información sobre las cuádricas).

2.1 Primeros pasos 4

Ejemplo 2. La ecuación x^2 + y^2 − a = 0 representa un cilindro que degenera en una recta si a = 0.

1. Varía el valor de la variable a. ¿Qué sucede?
2. ¿Qué ocurre si se cambian los exponentes de la x y/o de la y , por otros números?
3. ¿Hay diferencia entre utilizar exponentes pares e impares? Realiza combinaciones distintas, los dos exponentes pares, los dos impares, uno par y otro impar y varía los grados. Algunas de la ecuaciones obtenidas, ¿podrían servir para modelizar algún objeto?
4. ¿Qué ocurre si se multiplica x^2 por una constante, por ejemplo 10, 1.000 o 100.000?
5. Repite el proceso con la ecuación xyz = a y realiza modificaciones.

Ejemplo 3. La ecuación x^2 − y^2 − a = 0 es un cilindro hiperbólico, es decir, con sección una hipérbola, que degenera en dos planos perpendiculares.

1. Varía el valor de la variable a. ¿Qué sucede?
2. ¿Qué ocurre si se cambian los exponentes de la x y/o de la y?
3. ¿Hay diferencia entre exponentes pares e impares?
4. ¿Qué ocurre si se multiplica x^2 por una constante?

Ejemplo 4. A continuación, consideraremos otras superficies cuadráticas sencillas: esfera ( x^2 + y^2 + z^2 − a = 0), hiperboloide de una hoja ( x^2 + y^2 − z^2 − a = 0), paraboloide ( x^2 + y^2 − z = 0), paraboloide hiperbólico ( x^2 − y^2 − z = 0),.... Modificar los coeficientes de las variables x , y , z y/o sus exponentes y estudiar los efectos sobre las gráficas.

2.1 Primeros pasos 5

Ejemplo 5. En este caso, consideraremos ejemplos algo más complejos de superficies algebraicas que nos ofrece la galería de SURFER: singularidades simples, superficies record, superficies notables I y II.

Un ejemplo podría ser el destello ( Distel en la galería). Para construirla se empieza con la esfera x^2 + y^2 + z^2 − 1 = 0, a la que se le añade la expresión ( x^2 + y^2 )( x^2 + z^2 )( y^2 + z^2 ), multiplicada por un número alto, por ejemplo 1500: x^2 + y^2 + z^2 − 1 + 1500 ( x^2 + y^2 )( x^2 + z^2 )( y^2 + z^2 ) = 0

Analiza a continuación los efectos que producen en la superficie cambios en la expresión algebraica, como los sugeridos a continuación.

1. Modificar el valor de la constante 1500.
2. Cambiar uno (o varios) de los signos + de la expresión añadida por un signo −, por ejemplo, ( x^2 − y^2 ) en lugar de ( x^2 + y^2 ).
3. Cambiar uno (o varios) de los signos + de la expresión añadida por un signo de multiplicación, por ejemplo ( y^2 z^2 ) en lugar de ( y^2 + z^2 ).
4. Cambiar una (o varias) de las tres expresiones ( x^2 + y^2 ), ( x^2 + z^2 ) y ( y^2 + z^2 ) por solo una de las variables al cuadrado, por ejemplo, por x^2 , y^2 y z^2.
5. ¿Podría modificarse la ecuación para que el destello tenga solamente cuatro puntas?

A continuación, veamos algunas cuestiones que nos van a permitir representar dos o más superficies algebraicas al mismo tiempo o la intersección de varias.

Ejemplo 6. Unión de superficies algebraicas. Veamos cómo es posible mostrar dos, o más, superficies algebraicas a un mismo tiempo con el programa SURFER. Sea f ( x , y , z ) = 0 la ecuación algebraica que define la primera superficie y g ( x , y , z ) = 0 la de la segunda, entonces pueden mostrarse las dos superficies al mismo tiempo mediante la multiplicación de ambas expresiones algebraicas f ( x , y , z ) g ( x , y , z ) = 0.

Como ejemplo, la unión de tres cilindros perpendiculares se obtiene mediante la expresión algebraica:

( x^2 + y^2 − 1 )( x^2 + z^2 − 1 )( y^2 + z^2 − 1 ) = 0.

3 Surfer, modelización y creatividad

El programa SURFER permite acercarse de una manera directa e intuitiva a dos procesos muy importantes en matemáticas: la modelización, o creación de modelos -estructuras matemáticas sencillas- que describen problemas, situaciones diversas, u objetos de la vida real, y la utilización de dichos modelos para el diseño de nuevos objetos o para la creación artística.

Ejercicio 1. Buscar entre la galería de imágenes de la exposición IMAGINARY (http://www.imaginary-exhibition.com/galerie.php), superficies que se asemejen a objetos de la vida cotidiana, como por ejemplo:

En la misma dirección están disponibles algunas de las ecuaciones de estos diseños. Identificar en las ecua- ciones los elementos y detalles correspondientes en la figura.

En esta otra dirección web se pueden encontrar algunas de las imágenes que participaron en el concurso orga- nizado por la RSME: http://www.imaginary-exhibition.com/concurso/galerie_view.php?gal=2x

4 Trabajo

Como hemos visto, el programa SURFER permite trabajar con superficies algebraicas, así como crear nuevas superficies o montajes a partir de las ya existentes, que imiten objetos de la vida real o creados por nosotros

mismos. De esta forma, el estudio y modelización de superficies puede utilizarse como base para la creación artística.

1. Tomando como punto de partida lo aprendido en la práctica y utilizando el programa SURFER, crear un producto indicando su funcionalidad o cuestiones de uso. Se puede optar por crear otros diseños (más abstractos) que destaquen por su belleza, originalidad, impacto visual, etc. que puedan ser utilizados en la comunicación de un producto.
2. Una vez creado el diseño, deberá presentarse, en formato póster, un montaje que incluya la figura, la ecuación empleada y alguna imagen relacionada con el diseño creado: integración en su entorno de uso, diseño de un calendario, una tarjeta de invitación, un logo de una empresa o evento, el etiquetado de un producto, etc.

Para la evaluación de los trabajos, se tendrán en cuenta los siguientes criterios:

• Uso, combinación y complejidad de las fórmulas matemáticas empleadas.
• Creatividad y originalidad de las imágenes.
• La estética y el sentido artístico de la creación final presentada en el poster.