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Pr´actica 4
Mejora de una SFB. El algoritmo del SIMPLEX.
- Dado el siguiente problema de PL:
Max. 2 x 1 + x 2 s.t. −x 1 + x 2 ≤ 2 x 1 + 2x 2 ≤ 6 2 x 1 + x 2 ≤ 6 x 1 , x 2 ≥ 0
(a) Escr´ıbelo en forma est´andard. (b) Determina la SFB que tiene por variables b´asicas x 2 , s 2 y s 3. (c) Escribe las condiciones de Kuhn-Tucker del problema. (d) Comprueba que la SFB obtenida no es punto de Kuhn-Tucker. (e) Aplica los criterios de entrada y salida del algoritmo del SIMPLEX para determinar una nueva SFB que mejora el valor de la funci´on objetivo.
- Dado el siguiente problema de PL:
Max. x 1 + x 2 s.a. −x 1 + x 2 ≤ 2 x 2 ≤ 4 x 1 , x 2 ≥ 0
(a) Escr´ıbelo en forma est´andard. (b) Determina la SFB que tiene por variables b´asicas x 2 y s 2. (c) Escribe las condiciones de Kuhn-Tucker del problema. (d) Comprueba que la SFB obtenida no es punto de Kuhn-Tucker. (e) Aplica los criterios de entrada y salida del algoritmo del SIMPLEX para determinar una nueva SFB que mejora el valor de la funci´on objetivo.
- Dado el siguiente problema de PL:
Max. x 1 + 2x 2 s.a. x 1 + x 2 ≤ 4 2 x 1 + x 2 ≤ 6 x 1 , x 2 ≥ 0
(a) Escr´ıbelo en forma est´andard. (b) Determina la SFB que tiene por variables b´asicas s 1 y s 2.
(c) Escribe las condiciones de Kuhn-Tucker del problema. (d) Comprueba que la SFB obtenida no es punto de Kuhn-Tucker. (e) Aplica los criterios de entrada y salida del algoritmo del SIMPLEX para determinar una nueva SFB que mejora el valor de la funci´on objetivo.
- Dado el siguiente problema de PL:
Max. 2 x 1 + 3x 2 + x 3 s.t. x 1 + 2x 2 + x 3 ≤ 30 x 1 + x 2 ≤ 20 x 1 , x 2 , x 3 ≥ 0
(a) Escr´ıbelo en forma est´andard. (b) Determina la SFB que tiene por variables b´asicas z y s 2. (c) Escribe las condiciones de Kuhn-Tucker del problema. (d) Comprueba que la SFB obtenida no es punto de Kuhn-Tucker. (e) Aplica los criterios de entrada y salida del algoritmo del SIMPLEX para determinar una nueva SFB que mejora el valor de la funci´on objetivo.
Problemas con infinitas soluciones ´optimas
- Dado el siguiente problema de PL:
Max. 2 x 1 + x 2 s.t. −x 1 + x 2 ≤ 2 x 1 + 2x 2 ≤ 6 2 x 1 + x 2 ≤ 6 x 1 , x 2 ≥ 0
Comprueba que (x 1 , x 2 ) = (2, 2) es soluci´on ´optima y que, adem´as, el problema tiene infinitas soluciones ´optimas.
- Dado el siguiente problema de PL: Max. 2 x + 3y + z s.t. x + 2y + z ≤ 30 x + y ≤ 20 x, y, z ≥ 0
Comprueba que (x, y, z) = (10, 10 , 0) es soluci´on ´optima y que, adem´as, el problema tiene infinitas soluciones ´optimas.
Soluciones
Mejora de una SFB. El algoritmo del SIMPLEX.
- (a) El problema en forma est´andard es el siguiente:
Max. 2 x 1 + x 2 s.t. −x 1 + x 2 + s 1 = 2 x 1 + 2x 2 + s 2 = 6 2 x 1 + x 2 + s 3 = 6 x 1 , x 2 , s 1 , s 2 , s 3 ≥ 0
(c) La funci´on Lagrangiana es:
L(x 1 , x 2 , λ 1 , λ 2 , μ 1 , μ 2 ) = x 1 + x 2 + λ 1 (2 + x 1 − x 2 ) + λ 2 (4 − x 2 ) + μ 1 (−x 1 ) + μ 2 (−x 2 )
Las condiciones de Kuhn-Tucker son las siguientes:
Factibilidad Punto cr´ıtico Holgura complementaria Signo
−x 1 + x 2 ≤ (^2) ∂x∂L 1 = 1 + λ 1 − μ 1 = 0 λ 1 s 1 = 0 λ 1 ≥ 0
x 2 ≤ (^4) ∂x∂L 2 = 1 − λ 1 − λ 2 − μ 2 = 0 λ 2 s 2 = 0 λ 2 ≥ 0
x 1 , x 2 ≥ 0 μ 1 (−x 1 ) = 0 μ 1 ≤ 0
μ 2 (−x 2 ) = 0 μ 2 ≤ 0
(d) La SFB verifica las condiciones de Factibilidad. Al sustituir el punto en las condiciones de Holgura, obtenemos λ 2 = 0 y μ 2 = 0. Sustituyendo dichos multiplicadores junto con el punto (x 1 , x 2 ) = (0, 2) en el sistema de Punto cr´ıtico, obtenemos el sistema:
1 + λ 1 − μ 1 = 0 1 − λ 1 = 0
Despejando se tiene que λ 1 = 1 y μ 1 = 2. Como μ 1 = 2 6 ≤ 0, concluimos que el punto dado NO es punto de Kuhn-Tucker y, por consiguiente, NO es el optimo global del problema. (e) Criterio de entrada: La nueva variable b´asica es x 1. Permanece como variable no b´asica s 1 = 0. Criterio de salida: Resolvemos el siguiente sistema despejando las variables b´asicas ac- tuales en funci´on de la nueva variable b´asica x 1 :
−x 1 + x 2 = 2 x 2 + s 2 = 6
Obtenemos x 2 = 2 + x 1 y s 2 = 2 − x 1. La primera variable en hacerse cero es s 2 para un valor de x 1 = 2. La nueva SFB es (x 1 , x 2 , s 1 , s 2 ) = (2, 4 , 0 , 0) con F = 6.
- Dado el siguiente problema de PL:
(a) El problema en forma est´andard es el siguiente:
Max. x 1 + 2x 2 s.a. x 1 + x 2 + s 1 = 4 2 x 1 + x 2 + s 2 = 6 x 1 , x 2 , s 1 , s 2 ≥ 0
(b) (x 1 , x 2 , s 1 , s 2 ) = (0, 0 , 4 , 6) con F = 0. (c) La funci´on Lagrangiana es:
L(x 1 , x 2 , λ 1 , λ 2 , μ 1 , μ 2 ) = x 1 + 2x 2 + λ 1 (4 − x 1 − x 2 ) + λ 2 (6 − 2 x 1 − x 2 ) + μ 1 (−x 1 ) + μ 2 (−x 2 )
Las condiciones de Kuhn-Tucker son las siguientes:
Factibilidad Punto cr´ıtico Holgura complementaria Signo
x 1 + x 2 ≤ (^4) ∂x∂L 1 = 1 − λ 1 − 2 λ 2 − μ 1 = 0 λ 1 s 1 = 0 λ 1 ≥ 0
2 x 1 + x 2 ≤ (^6) ∂x∂L 2 = 2 − λ 1 − λ 2 − μ 2 = 0 λ 2 s 2 = 0 λ 2 ≥ 0
x 1 , x 2 ≥ 0 μ 1 (−x 1 ) = 0 μ 1 ≤ 0
μ 2 (−x 2 ) = 0 μ 2 ≤ 0
(d) La SFB verifica las condiciones de Factibilidad. Al sustituir el punto en las condiciones de Holgura, obtenemos λ 1 = 0 y λ 2 = 0. Sustituyendo dichos multiplicadores junto con el punto (x 1 , x 2 ) = (0, 0) en el sistema de Punto cr´ıtico, obtenemos el sistema:
1 − μ 1 = 0 1 − μ 2 = 0
Despejando se tiene que μ 1 = 1 y μ 2 = 2. Como μ 1 = 1 6 ≤ 0 ni μ 2 = 2 6 ≤ 0, concluimos que el punto dado NO es punto de Kuhn-Tucker y, por consiguiente, NO es el optimo global del problema.
(e) Criterio de entrada: La nueva variable b´asica es x 2 ya que de los dos multiplicadores que fallan, es el que tiene mayor valor. Permanece como variable no b´asica x 1 = 0. Criterio de salida: Resolvemos el siguiente sistema despejando las variables b´asicas ac- tuales en funci´on de la nueva variable b´asica x 2 :
x 2 + s 1 = 4 x 2 + s 2 = 6
Obtenemos s 1 = 4 − x 2 y s 2 = 6 − x 2. La primera variable en hacerse cero es s 1 para un valor de x 2 = 4. La nueva SFB es (x 1 , x 2 , s 1 , s 2 ) = (0, 4 , 0 , 2) con F = 8.
- (a) El problema en forma est´andard es el siguiente:
Max. 2 x 1 + 3x 2 + x 3 s.t. x 1 + 2x 2 + x 3 + s 1 = 30 x 1 + x 2 + s 2 = 20 x 1 , x 2 , x 3 , s 1 , s 2 ≥ 0
(b) (x 1 , x 2 , x 3 , s 1 , s 2 ) = (0, 0 , 30 , 0 , 20) con F = 30.
(c) La funci´on Lagrangiana es:
L(x 1 , x 2 , x 3 , λ 1 , λ 2 , μ 1 , μ 2 , μ 3 ) = 2x 1 + 3x 2 + x 3 + λ 1 (30 − x 1 − 2 x 2 − x 3 ) + λ 2 (20 − x 1 − x 2 )+
+μ 1 (−x 1 ) + μ 2 (−x 2 ) + μ 3 (x 3 )
μ 1 (−x 1 ) + μ 2 (−x 2 ) Las condiciones de Kuhn-Tucker son las siguientes:
Factibilidad Punto cr´ıtico Holgura complementaria Signo
−x 1 + x 2 ≤ (^2) ∂x∂L 1 = 2 + λ 1 − λ 2 − 2 λ 3 − μ 1 = 0 λ 1 s 1 = 0 λ 1 ≥ 0
x 1 + 2x 2 ≤ (^6) ∂x∂L 2 = 1 − λ 1 − 2 λ 2 − λ 3 − μ 2 = 0 λ 2 s 2 = 0 λ 2 ≥ 0
2 x 1 + x 2 ≥ 6 λ 3 s 3 = 0 λ 3 ≥ 0
x 1 , x 2 ≥ 0 μ 1 (−x 1 ) = 0 μ 1 ≤ 0
μ 2 (−x 2 ) = 0 μ 2 ≤ 0
(d) La SFB verifica las condiciones de Factibilidad. Al sustituir el punto en las condiciones de Holgura, obtenemos λ 1 = 0, μ 1 = 0 y μ 2 = 0. Sustituyendo dichos multiplicadores junto con el punto (x 1 , x 2 ) = (2, 2) en el sistema de Punto cr´ıtico, obtenemos el sistema:
2 − λ 2 − 2 λ 3 = 0 1 − 2 λ 2 − λ 3 = 0
Despejando se tiene que λ 2 = 0 y λ 3 = 1. Como todos los multiplicadores verifican la condici´on de signo, concluimos que el punto dado ES punto de Kuhn-Tucker y, por consiguiente, ES el optimo global del problema. Adem´as, como λ 2 = 0, sabemos que no es la ´unica soluci´on ´optima sino que el problema tiene infinitas soluciones ´optimas.
- (a) El problema en forma est´andard es el siguiente:
Max. 2 x 1 + 3x 2 + x 3 s.t. x 1 + 2x 2 + x 3 + s 1 = 30 x 1 + x 2 + s 2 = 20 x 1 , x 2 , x 3 , s 1 , s 2 ≥ 0
(b) (x 1 , x 2 , x 3 , s 1 , s 2 ) = (10, 10 , 0 , 0 , 0) con F = 50. (c) La funci´on Lagrangiana es:
L(x 1 , x 2 , x 3 , λ 1 , λ 2 , μ 1 , μ 2 , μ 3 ) = 2x 1 + 3x 2 + x 3 + λ 1 (30 − x 1 − 2 x 2 − x 3 ) + λ 2 (20 − x 1 − x 2 )+
+μ 1 (−x 1 ) + μ 2 (−x 2 ) + μ 3 (x 3 ) Las condiciones de Kuhn-Tucker son las siguientes:
Factibilidad Punto cr´ıtico Holgura complementaria Signo
x 1 + 2x 2 + x 3 ≤ (^30) ∂x∂L 1 = 2 − λ 1 − λ 2 − μ 1 = 0 λ 1 s 1 = 0 λ 1 ≥ 0
x 1 + x 2 ≤ (^20) ∂x∂L 2 = 3 − 2 λ 1 − λ 2 − μ 2 = 0 λ 2 s 2 = 0 λ 2 ≥ 0
x 1 , x 2 , x 3 ≥ (^0) ∂x∂L 3 = 1 − λ 1 − μ 3 = 0 μ 1 (−x 1 ) = 0 μ 1 ≤ 0
μ 2 (−x 2 ) = 0 μ 2 ≤ 0
μ 3 (−x 3 ) = 0 μ 3 ≤ 0
(d) La SFB verifica las condiciones de Factibilidad. Al sustituir el punto en las condiciones de Holgura, obtenemos μ 1 = 0 y μ 2 = 0. Sustituyendo dichos multiplicadores junto con el punto (x 1 , x 2 ) = (10, 10) en el sistema de Punto cr´ıtico, obtenemos el sistema:
2 − λ 1 − λ 2 = 0 3 − 2 λ 1 − λ 2 = 0 1 − λ 1 − μ 3 = 0
Despejando se tiene que λ 1 = 1 y λ 2 = 1 y μ 3 = 0. Como todos los multiplicadores verifican la condici´on de signo, concluimos que el punto dado ES punto de Kuhn-Tucker y, por consiguiente, ES el optimo global del problema. Adem´as, como μ 3 = 0, sabemos que no es la ´unica soluci´on ´optima sino que el problema tiene infinitas soluciones ´optimas.
