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Curso 2007-2008 10
Pr´actica 3
Aplicaciones Lineales
Ejemplo 3. Probar que los espacios c y c 0 son isomorfos.
Soluci´on
Para cada x = {xn} ∈ c sea (x) = l´ımn xn. Entonces es una forma lineal en c y como
|(x)| ≤ ‖x‖
para todo x ∈ c, se tiene que es continua y que ‖‖ ≤ 1.
Definimos la aplicaci´on T : c → c 0
T (x) = (l(x), x 1 − l(x), x 2 − l(x),... , ).
Es decir,
(T x) 1 = (x) y (T x)n = xn− 1 − (x) , n > 1.
Se comprueba f´acilmente que T est´a bien definida, es lineal y adem´as que ‖T x‖ ≤ 2 ‖x‖. Adem´as, dada y = {yn} ∈ c 0 existe una ´unica sucesi´on x = {xn} ∈ c tal que T (x) = y. En efecto, de la definici´on de T se sigue que x deber´ıa ser soluci´on del sistema de ecuaciones
l(x) = y 1 , x 1 − l(x) = y 2 , x 2 − l(x) = y 3 ,...
y, por tanto, xn = y 1 + yn+1, n ≥ 1.
Por otra parte, puesto que {yn} es convergente a cero, deducimos que la f´ormula anterior define una sucesi´on x = {xn} convergente de modo que l(x) = y 1 y T (x) = y. Lo que prueba que T es un isomorfismo lineal. Por ´ultimo, T −^1 es tambi´en continua puesto que
‖T −^1 (y)‖ = ‖x‖ ≤ |y 1 | + ‖y‖ ≤ 2 ‖y‖.
En consecuencia, T es un isomorfismo topol´ogico.
Ejemplo 3. Sea (an)∞ n=1 una sucesi´on acotada en un espacio de Banach E. Demostrar que la aplicaci´on T : 1 → E definida por T (x) =
n=1 anxn^ es lineal, continua y que^ ‖T^ ‖^ = supn^ ‖an‖.
Soluci´on
Es evidente que la aplicaci´on T est´a bien definida y es linel. Sea M = supn ‖an‖. Dado m ∈ N se tiene que si x = (xn)∞ n=1 ∈ 1 , entonces
∥ ∥
∑m
n=
anxn
∑^ m
n=
‖an‖ · |xn| ≤ M
∑^ ∞
n=
|xn| = M ‖x‖ 1 ;
por lo tanto, se cumple que ‖T x‖ ≤ M ‖x‖ 1 , con lo cual T es continua y ‖T ‖ ≤ M.
Por otra parte, dado > 0, sea m ∈ N tal que ‖am‖ > M − . Consideremos el vector em cuyas componentes son todas nulas salvo la m-´esima que vale 1. Entonces T (em) = am luego ‖T ‖ > M − . Como es arbitrario se tiene que ‖T ‖ ≥ M.
Observar que al calcular T (em) = am, como ||em|| 1 = 1, obtenemos directamente que ‖T ‖ ≥ ||am||, y por tanto que ‖T ‖ ≥ M.
Ejemplo 3. Sean X e Y espacios normados de dimensi´on m y n respectivamente. Si U : X → Y es un operador lineal cuya matriz asociada es (ajk)j = 1, ..., n k = 1, ..., m , calcular su norma como operador de ∞(m)
en ∞(n).
Soluci´on
Dado x ∈ ∞(m), sea y = U x, entonces
‖U x‖ = m´ax 1 ≤j≤n
|yj | ≤ m´ax 1 ≤j≤n
∑m
k=
|ajk| · |xk| ≤ ‖x‖∞ m´ax 1 ≤j≤n
∑m
k=
|ajk|;
luego
‖U ‖ ≤ m´ax 1 ≤j≤n
∑m
k=
|ajk| = M.
Consideremos j 0 tal que
∑m k=1 |aj 0 k|^ =^ M^.^ Entonces si definimos el vector^ z^ ∈^ ∞(m)^ por zk = sign(aj 0 k), 1 ≤ k ≤ m, se tiene que
‖U ‖ ≥ ‖U z‖ = m´ax 1 ≤j≤n
∑^ m
k=
ajkzk| ≥
∑^ m
k=
aj 0 kzk =
∑^ m
k=
|aj 0 k| = M ;
luego ‖U ‖ = M.
Ejemplo 3. Probar que en todo espacio normado de dimensi´on infinita existen formas lineales que no son continuas.
Soluci´on
Sea {ei}i∈I una base de Hamel del espacio E. Podemos suponer que todos los vectores ei son de norma 1. Elijamos una sucesi´on de vectores de la base {ein }∞ n=1 distintos.
Para definir una forma lineal en E es suficiente dar sus valores sobre los vectores de la base y extenderla linealmente. Adem´as, como nos interesa que no sea continua, la definiremos de forma que no est´e acotada en la bola unidad cerrada.
Definimos ϕ(ei) = 0 si i = in , n = 1, 2 , ... ϕ(ein ) = n para n = 1, 2 , ...
Para cada x ∈ E, podemos escribir x =
∑m k=1 αkeβk ,^ donde^ βk^ ∈^ I,^ m^ ∈^ N^ y^ αk^ ∈^ K. Entonces definimos ϕ(x) =
∑m k=1 αkϕ(eβk ). Puesto que supn ϕ(ein ) = +∞ se sigue que ϕ no es continua.
2 Problemas complementarios
Ejercicio 3. Probar que si el operador U del Ejercicio 3.10 lo consideramos definido en L 1 (a, b) y con valores en C([a, b]), es continuo y su norma vale
‖U ‖ = m´ax [|k(s, t)| : s, t ∈ [a, b]].
Ejercicio 3. Probar que si el operador U del Ejercicio 3.10 lo consideramos definido en L 2 ([a, b]) y con valores en L 2 ([a, b]), es continuo y su norma est´a mayorada por ‖k(s, t)‖ 2.
Ejercicio 3. Sea X el subespacio de C([0, 1]) generado por las funciones t^2 y 1. (a) Probar que si x(t) = αt^2 +β, con α, β ∈ R y t ∈ [− 1 , 1]; entonces ‖x‖∞ = m´ax{|α+β|, |β|}. (b) Se define f : X → K por f (x) = α + β, donde x ∈ X es x(t) = αt^2 + β. Demuestra que f es lineal, continua y calcula su norma.
Ejercicio 3. Dada α = (αn)∞ n=1 ∈ 1 se define T : c 0 → c 0 por
T
(xn)∞ n=
k=n
αkxk
n=
Demostrar que T es una aplicaci´on lineal continua y calcular su norma.
Ejercicio 3. Sea X = {f : C([0, +∞[) tales que l´ımx→∞ f (x) = 0} dotado con la norma ‖.‖∞. Comprobar que T : X → X definido por T (f )(x) = f (x) sen x es un operador lineal y continuo y calcular su norma.
Ejercicio 3. Sea 1 ≤ p < ∞ y sea φ ∈ L^2 p([0, 1]). Para cada x ∈ L^2 p([0, 1]) se define
(T x)(t) := φ(t)x(t)
p.c.t. t ∈ [0, 1]. Demostrar que T define una aplicaci´on lineal y continua entre los espacios de Banach L^2 p([0, 1]) y Lp([0, 1]), y calcular su norma. ¿Qu´e ocurre si p = ∞?
Ejercicio 3. Probar que si E es un espacio normado sobre K, entonces E es isom´etrico a L(K, E).
