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Curso 2007-2008 14
Pr´actica 4
Ecuaciones Integrales
Ejemplo 4. Resolver la ecuaci´on
x(s) =^5 s 6
+^1
0
stx(t) dt
por el m´etodo de aproximaciones sucesivas.
Soluci´on
Partiendo de la funci´on x 0 (s) = 1 , y del n´ucleo k(s, t) = st 2 calculamos
xn+1(s) =
5 s 6 +
0
k(s, t)xn(t) dt
y se van obteniendo las funciones { 1 ,
s,
s,
s,
s,
s,
s,
s, ...
A la vista de la sucesi´on obtenida, parece razonable pensar que la funci´on x(s) = s es la soluci´on de la ecuaci´on. Para comprobarlo evaluamos el miembro de la derecha en la ecuaci´on integral para x(t) = t y nos da efectivamente s.
Ejemplo 4. Resolver la ecuaci´on
x(s) = 1 +
∫ (^) s
0
x(t)dt
por el m´etodo de aproximaciones sucesivas.
Soluci´on
Tomando x 0 (s) = 0 entonces por la f´ormula recurrente se tiene
x 1 (s) = 1 +
∫ (^) s
0
0 dt = 1
x 2 (s) = 1 +
∫ (^) s
0
1 dt = 1 + s
x 3 (s) = 1 +
∫ (^) s
0
(1 + t) dt = 1 + s +
s^2 2
x 4 (s) = 1 +
∫ (^) s
0
(1 + t +
t^2 2 )^ dt^ = 1 +^ s^ +^
s^2 2! +^
s^3 3!
se tiene entonces que
xn(s) = 1 + s +
s^2 2! +^
s^3 3! +^ ...^ +^
sn−^1 (n − 1)!
por lo tanto
xn(s) →
∑^ ∞
n=
sn n!
= es
Es f´acil comprobar que es^ es la soluci´on de la ecuaci´on integral dada.
Ejemplo 4. Calcular la soluci´on de la ecuaci´on
x(s) = 1 +
0
(1 − 3 st)x(t)dt
por medio del n´ucleo resolvente.
Soluci´on
Considerando el operador
(Kx)(s) =
0
(1 − 3 st)x(t)dt
de L 2 ([0, 1]) en L 2 ([0, 1]) , sabemos que su norma est´a mayorada por la norma del n´ucleo k(s, t) = 1− 3 st que vale √^12 < 1, por lo tanto la ecuaci´on tiene una soluci´on.
Si k 1 (s, t) = 1 − 3 st y kn+1(s, t) =
0 k(s, u)kn(u, t)du^ sabemos que la soluci´on de la ecuaci´on viene dada por
x(s) = 1 +
0
R(s, t)1dt = 1 +
0
∑^ ∞
n=
kn(s, t))1dt
Calculemos los n´ucleos iterados
k 2 (s, t) =
0
(1 − 3 sx)(1 − 3 xt)dx = 1 − 3 2
(s + t) + 3st
k 3 (s, t) =
0
(1 − 3 sx)(1 −
(x + t) + 3xt)dx =
(1 − 3 st) =
k 1 (s, t)
De forma similar se obtiene que k 4 (s, t) = 14 k 2 (s, t) y en general
kn(s, t) =
kn− 2 (s, t)
por lo tanto el n´ucleo resolvente es
R(s, t) = (1 +
16 +^ ...)k^1 (s, t) + (1 +
16 +^ ...)k^2 (s, t) =
3 ((1^ −^3 st) + (1^ −^
2 (s^ +^ t) + 3st)) =
3 −^ 2(s^ +^ t) La soluci´on de la ecuaci´on ser´a
x(s) = 1 +
0
3 −^ 2(s^ +^ t))dt^ =
3 −^2 s
cuya comprobaci´on es inmediata.
Ejemplo 4. Resolver la ecuaci´on integral
x(s) = sen s +^1 2
0
(1 − s + s
(^3) t 2 2
)x(t) dt
Soluci´on
Si (Kx)(s) =
0
k(s, t)x(t)dt,
entonces
‖ K ‖= m´ax
[
0
| 1 − s cos(st) | dt : s ∈ [0, 1]
]
luego la ecuaci´on integral tiene una soluci´on.
Vamos a aproximar el n´ucleo k(s, t) = 1 − s cos st por otro n´ucleo degenerado para lo cual desarrollamos en serie de Taylor alrededor de (0, 0) la funci´on cos(st). De
cos(st) = 1 − s
(^2) t 2 2
(^4) t 4 24
se deduce que
1 − s cos(st) = 1 − s +
s^3 t^2 2
s^5 t^4 24
Tomando como n´ucleo degenerado k 1 (s, t) = 1 − s + s
(^3) t 2 2 , vamos a resolver la ecuaci´on
x 1 (s) = sen s +
0
k 1 (s, t)x 1 (t)dt
Esta ecuaci´on la hemos resuelto en el ejemplo 4 y su soluci´on es
x 1 (s) = sen s + 0.317321(1 − s) + 0. 0651367 s^3
Esta funci´on es por lo tanto una soluci´on aproximada de la ecuaci´on inicial y lo que vamos a determinar ahora es una cota del error. Recordemos que si T es un operador de norma menor que 1, entonces el operador I − T es invertible y
‖(I − T )−^1 ‖ ≤
1 − ‖T ‖
En nuestro caso, si
(K 1 x)(s) =
0
k 1 (s, t)x(t) dt
escribimos A = I − K y B = I − K 1. Como al sustituir el n´ucleo k por k 1 consideramos la misma funci´on dato, y(s) = sen s, se tiene que y = y 1 ; por lo tanto
‖x − x 1 ‖ ≤ ‖A−^1 ‖ ‖A − B‖ ‖x 1 ‖ = ‖(I − K)−^1 ‖ ‖K − K 1 ‖ ‖x 1 ‖.
Ahora bien ‖(I − K)−^1 ‖ <
1 − ‖K‖ = 2.
Por otra parte, como la funci´on x 1 es creciente se tiene que ‖x 1 ‖ = x 1 (1) = 0.906607. Finalmente,
‖K − K 1 ‖ ≤ m´ax s∈[0,1]
0
s^5 t^4 24
dt = m´ax s∈[0,1]
s^5 240
Por tanto, ‖x − x 1 ‖ ≤ 2 × 0. 906607 × 0 .0041666 = 0.0075549.
1 Problemas
Ejercicio 4. x(s) = s −
∫ (^) s 0 (s^ −^ t)x(t)dt.
Ejercicio 4. x(s) = 2s + 2 −
∫ (^) s 0 x(t)dt.
Ejercicio 4. x(s) = 1 +
0 st
(^2) x(t)dt.
Ejercicio 4. x(s) = 56 s + (^12)
0 st x(t)dt.
Ejercicio 4. x(s) = es^ − s −
0 s(e
st (^) − 1) x(t)dt.
Ejercicio 4. x(s) = cos(s) +
∫ (^) π 0 (st^ −^ s
(^2) ) x(t)dt.
Ejercicio 4. x(s) = 1 +
∫ (^) π 0 2 t x(t)dt.
Ejercicio 4. x(s) = s + cos(s) +
0 s(sen(st)^ −^ 1)^ x(t)dt.
Ejercicio 4. x(s) = 12 (e−s^ + 3s − 1) +
0 (e
−st^2 − 1) x(t) dt.
Ejercicio 4. x(s) = 12 (s + sen(s)) +
0 (1^ −^ cos(st
(^2) ))s x(t)dt.
Ejercicio 4. x(s) = (s + 1)^2 −
− 1 (st^ +^ s
(^2) t (^2) ) x(t)dt.
Ejercicio 4. x(s) = cos(s) +
∫ (^) π 0 sen(s^ −^ t)^ x(t)dt.
Ejercicio 4. x(s) = s +
0 (st^ + sen(t))^ x(t)dt.
Nota: En la aproximaci´on de los n´ucleos usando la f´ormula de Taylor, se aconseja emplear un polinomio en el que aparezcan expl´ıcitamente todas las variables de dicho n´ucleo. P. ej., si el n´ucleo es K(s, t) = s cos(s + t), no usar´ıamos P 0 (s, t) = s.1 = s sino, por lo menos, P 1 (s, t) = s
1 + (s+t)
2 2
