Pr`actica 15, GDC-Grup A, 06/07
Primera Forma Fonamental. Loxodromes
Les loxodromes, o corbes de rumb constant, s´on corbes en l’esfera que formen un angle
constant amb els paral·lels (i per tant, tamb´e amb els meridians(per qu`e?)). L’etimologia
de la paraula ´es la seg¨uent: λoχoσ, que vol dir “oblicu” i δρoµoσ, que significa “curs”,
“cam´ı”.
Recordem que la parametritzaci´o de l’esfera per les coordenades geogr`afiques ´es
−→
x(u, v) = (cos ucos v, sin ucos v, sin v).
(1) Siga α(t) = −→
x(u(t), v(t)) una corba en l’esfera. Calcula, en termes de les funcions
coordenades u(t) i v(t) l’angle que forma la corba amb el paral·lels. (Ajuda el
paral·lel de l’esfera que passa pel punt α(t0) = −→
x(u(t0), v(t0)) es pot parametritzar
com a β(t) = −→
x(t, v(t0)). Noteu que ambdues corbes es tallen en el punt α(t0) =
β(u(t0)).)
Resp: cos ∠= cos v(t0)u0
√cos2v(t0)(u0)2+(v0)2.
(2) Els propis paral·lels i meridians s´on loxodromes. Com que l’equador i els meridians
s´on circumfer`encies en l’esfera, caldria preguntar-se si qualsevol circumfer`encia en
l’esfera ´es una loxodroma. Troba un contraexemple a aquesta afirmaci´o. (Nom´es
cal dibuixar un poc.)
(3) Com que la conjectura anterior era falsa, podem restringir les hip`otesis. Ser`a cert
que tota circumfer`encia en l’esfera que siga de radi m`axim (´es a dir, de radi igual
a 1) ´es una loxodroma? Doncs b´e tampoc. Ara el contraexemple el donar´e jo.
Considera la corba intersecci´o de l’esfera amb el pla d’equaci´o y=z. Troba una
parametritzaci´o i comprova que no ´es una loxodroma, ´es a dir, l’angle que forma
amb els paral·lels i no ´es constant.
(4) Comprova que l’h`elix esf`erica de Pappus,
α(t) = (cos(4t) cos(t),sin(4t) cos(t),sin(t)),
tampoc no ´es una loxodroma.
Trobar quines s´on les corbes de l’esfera que formen un angle constant implica
trobar les solucions d’una equaci´o diferencial. No farem aix`o, sin´o comprovar que
determinades corbes s´ı que s´on soluci´o de l’equaci´o diferencial.
(5) Comprova que u(t) = 1
bln tiv(t) = π
2−2 arctan ts´on funcions coordenades d’una
loxodroma. (Ajuda: Nom´es cal comprovar que per a aquestes funcions coorde-
nades, cos ∠=1
√1+b2.)
1