Pr`actica 2, GDC-Grup A, 06/07
El gos sap calcular un logaritme. Natural!
Recordeu que si un punt P6= (0,0) t´e coordenades cartesianes (x, y ), aleshores les seues
coordenades polars s´on (ρ=px2+y2, θ), on θ∈[0,2π[ ´es l’angle que forma el vector −−→
OP
amb l’eix d’abcisses.
I vice-versa, si el punt Pt´e coordenades polars (ρ, θ ) aleshores les seues coordenades
cartesianes s´on
x=ρcos θ, y =ρsin θ.
Aquestes coordenades polars permeten parametritzacions molt compactes de corbes
quan el par`ametre ´es precisament l’angle que forma el vector de posici´o d’un punt de la
corba amb el semi-eix positiu d’abcisses. En aquest cas, nom´es es d´ona ρ(t), la para-
metritzaci´o de la coordenada radial, i es presusposa que el param`etre t´es la pr`opia coor-
denada angular, ´es a dir, θ(t) = t. Per exemple, la parametritzaci´o en coordenades polars
d’una circumfer`encia de radi R´es simplement ρ(t) = R.
(1) L’espiral logar´ıtmica ´es la corba plana definida en coordenades polars per ρ(t) =
eat. Quina ´es la seua parametritzaci´o en coordenades cartesianes?
(2) F´es un dibuix de l’expiral logar´ıtmica quan a= 1.
(3) La seg¨uent figura representa les traject`ories de quatre gossos, inicialment col·locats
en els v`ertexs del quadrat ma jor i que encalcen cadascun el company que t´e a
l’esquerra.
-6 -4 -2 2 4 6
-6
-4
-2
2
4
6
Demostrarem que la corba que descriuen ´es l’anomenada espiral logar´ıtmica. Ho
farem, per`o, en uns quants passos.
(4) Quina ´es la recta, R, que uneix un gos amb el seg¨uent?
(5) Calcula l’equaci´o param`etrica de la recta, R, de l’apartat anterior suposant que
α(t) = ρ(t)(cos t, sin t).
(6) Si el punt G1t´e coordenades (x1, y1), aprofita una simetria de la figura per a saber
quines s´on les coordenades dels altres punts G2, G3iG4.
(7) Finalment, f´es servir la condici´o G2∈Rper a trobar la funci´o ρ(t).
1
