¡Descarga Práctica 12: Calculo de Curvas en Laboratori Informática - Prof. Monterde y más Ejercicios en PDF de Geometría solo en Docsity!
Practica 12, GDC-Grup A, 06/ Practica sobre corbes en Laboratori Inform`atica
- Corbes Planes Treballarem amb el programa de c
alcul simbolic Mathematica, dibuixarem algunes corbes i despr´es calcularem la curvatura i la torsi´o. Heu d’obrir primer, des de “http://www.uv.es/∼monterde/GeoDifClas.htm” un fitxer anomenat Corbesplanes. Despr´es s’ha de compilar, per`o ja ho farem poc a poc.
(1) Per exemple, recordeu que les cicloides estan parametritzades per a(t − sin(t), 1 − cos(t)). Les epicicloides per
((r 0 + r) cos t − r cos(
r 0 + r r
t), (r 0 + r) sin t − r sin(
r 0 + r r
t)).
I les hipocicloides per
((r 0 − r) cos t + r cos(
r 0 − r r
t), (r 0 − r) sin t − r sin(
r 0 − r r
t)).
Com veureu, en el fitxer de Mathematica ja estan escrites les tres definicions. Aix´ı com tamb´e les instruccions necessaries per a dibuixar-les. Comencem amb les cicloides. Heu de seleccionar la l´ınia on esta la definici´o pr´emer despr´es la tecla “Intro” del teclat numeric. Per a dibuixar-la, heu de seleccionar la l´ınia on esta la instrucci´o ParametricPlot i pr´emer despr´es la tecla “Intro” del teclat numeric. Poseu vosaltres els valors dels parametres. Trobeu els parametres per a obtindre una cardioide, una nefroide o una deltoide, les traces de les quals recorden, respectivament, un cor, un rony´o i la lletra Delta maj´uscula. (2) F´eu el mateix per a l’espiral logar´ıtmica α(t) = (ebt^ cos(t), ebt^ sin(t)) per a diferents valors del parametre positiu b i diferents intervals de definici´o. (3) F´eu el mateix amb la cardioide β(t) = ((1 + cos t) cos t, (1 + cos t) sin t).
(4) F´eu el mateix amb la lemniscata γ(t) =
a cos t 1+sin^2 t ,^
a sin t cos t 1+sin^2 t
- Corbes en l’espai Tamb´e podem dibuixar corbes en l’espai. (1) Dibuixeu l’h
elix circular recta, α(t) = (a cos t, a sin t, bt), per a difer- ent valors dels parametres a i b. (2) Feu el mateix amb la corba de Viviani, intersecci´o d’un cilindre i d’una esfera, α(t) = (1 + cos t, sin t, 2 sin( 2 t )), t ∈ [0, π 2 ].
1
- C`alcul de curvatura i torsi´o
(3) Una vegada fet aixo ja es podem passar a calcular simbolicament la curvatura amb signe d’una corba plana,i, encara que el fitxer es diga ’Corbesplanes’, tamb´e podem calcular la curvatura i la torsi´o d’una corba en l’espai. Per exemple, provem primer amb una corba plana catenaria[t_]:= {t,Cosh[t]} Aixo defineix la corba anomenada catenaria. Per tal de dibuixar-la amb el Mathematica nom´es li heu de dir ParametricPlot[catenaria[t]//Evaluate,{t,-2,2}] Simplify[kappa2[catenaria][t]] D´ona, com a resultat, la curvatura de la catenaria. Tamb´e podeu dibuixar el grafic de la curvatura, la qual cosa il·lustra immediatament quins s´on els valors m`axims i m´ınims de la curvatura, quina zona de la corba t´e curvatura negativa, etc. Plot[kappa2[catenaria][t]]//Evaluate,{t,-2,2}]
(4) Fes mateix per a la lemniscata. Quina part de la corba t´e cur- vatura negativa. En quin punt es d´ona el canvi de signe de la curvatura. Per qu`e? (Recorda la interpretaci´o del signe)
(5) Passem a corbes en l’espai viviani[t_]:= {1+Cos[t],Sin[t], 2 Sin[t/2]} Aix`o defineix la corba de Viviani. Simplify[kappa[viviani][t]] D´ona, com a resultat, la curvatura de la corba de Viviani. Men- tre que Simplify[tau[viviani][t]] D´ona, com a resultat, la torsi´o de la corba de Viviani.
(6) Comprova quines eren la curvatura i la torsi´o d’una h`elix cir- cular recta.
(7) Atreveix-te tu amb les altres corbes.
(8) Tamb´e podem dibuixar la grafica de ambdues funcions amb l’instrucci´o ‘‘Plot". Plot[Simplify[kappa[viviani][t]]//Evaluate,{t,0,4*Pi}] Mostra la grafica de la funci´o curvatura de la corba de Viviani entre 0 i 4 π. On estan els punts m`axims i m´ınims de la curvatura? En quins punts de la corba de Viviani la torsi´o ´es nul·la?
Proveu amb les seg¨uents funcions curvatura i torsi´o:
κ(s) = s, τ (s) = 0. 3 κ(s) = 2 s, τ (s) = 0. 3 κ(s) = 1. 3 , τ (s) = sin 2 s.
I amb altres funcions curvatura que vosaltres proposeu.
