Pr`actica 7, GDC-Grup A, 06/07
H`elix generalitzada
(1) Ja hem vist com a exemple l’h`elix circular recta. Comprova que en aquell exemple
la recta tangent forma sempre un angle constant amb l’eix de l’h`elix.
Doncs b´e, una h`elix generalitzada ´es una corba en l’espai que verifica aquesta
propietat. Concretament: Una corba αes una h`elix generalitzada si les seues
rectes tangents formen un angle constant amb una direcci´o fixa. Aquesta direcci´o
s’anomena eix de l’h`elix generalitzada.
(2) Comprova que la corba
α(s) = 1
√2(Zs
0
sin(t2)dt, Zs
0
cos(t2)dt, s),
´es una h`elix generalitzada.
Recordem que en l’exemple de l’h`elix circular recta tant la curvatura com la torsi´o
eren constants. Per a la corba de l’apartat anterior aix`o ja no ´es cert.
(3) Calcula la curvatura i la torsi´o d’α.
All`o que s´ı que ´es cert ´es que l’expressi´o κ(s)
τ(s)´es constant. I aix`o no ´es casualitat
(4) (Teorema de Lancret) Demostra que si una corba ´es una h`elix generalitzada amb
torsi´o sempre no nul·la, aleshores κ(s)
τ(s)´es constant.
(5) Demostra tamb´e l’implicaci´o contr`aria, ´es a dir, si una corba verifica que κ(s)
τ(s)
´es constant, aleshores ´es una h`elix generalitzada. (Ajuda: troba primer l’eix de
l’h`elix. Busca un candidat en la demostraci´o de l’apartat anterior.)
(6) Demostra que una corba ´es una h`elix generalitzada si i nom´es si totes les seues
rectes normals s´on paral·leles a un mateix pla.
(7) Demostra que una corba ´es una h`elix generalitzada si i nom´es si totes les seues
rectes binormals formen una angle constant amb una direcci´o fixa.
1
