Primitivas: Introducción y propiedades, Resúmenes de Matemáticas

¡Descarga Primitivas: Introducción y propiedades y más Resúmenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

PRIMITIVES Tema 5

1 .Introducció.-

SemblaquefouLeibnitzquivadir:"Integrarésunartis'aprènfentintegrals". Aixíquejasabem queensespera! Sigràciesaladerivadaobteníem informaciósobrelavariaciód'unafunció, ambelcàlculintegralaconseguirem calcularàreesivolums. Integrarésl'operacióinversadederivar.Delamateixamaneraquesi multipliquesunesexpressionsdeterminadesivolstornaralasituacióinicial hasdedividir,siderivesunesexpressionsdeterminadesivolstornarala situacióinicial,hasd'integrar.

2 .Primitivesd'unafunció.Propietats.-

UnafuncióFésunaprimitivadelafunciófsiverificaque F'(x)=f(x). Elprocéspertrobarunaprimitivadefs'anomenaintegracióiesresol invertintelprocésdederivació.

1. ÉslafuncióF(x)= 4 x^3 - 3 xunaprimitivadef(x)= 12 x^2 - 3 ?Ésúnica?Quinapassa pelpunt( 0 , 3 )? Observem quesiunafuncióftéunaprimitivaF,llavorsentéinfinites,que s'obtindransumantaFunaconstantqualsevol.Ésadir: "SiFésunaprimitivadef,tambéhoésF(x)+C,onCésuna constantqualsevol" Aixòésdegutaqueladerivadad'unaconstantészero.Perexemple,les funcionsdeltipusF(x)=sin(x)+Csónprimitivesdef(x)=cos(x)
2. Escriul’expressiógeneraldelesprimitivesdecadascunadelesfuncionssegüents: a) b) c) d)
3. Sesapquelafunció ésuna primitivadelafuncióf(x).Quinaéslafunció f(x)?
4. SiG 1 iG 2 sónduesprimitivesd’unamateixa funcióg,espodentallarelsseusgràfics? DibuixalagràficadelafuncióG 1 sabentque passapelpunt( 0 ,- 2 )silagràficadelafunció G 2 ésladelafigura

3 .Integralindefinida.-

Elconjuntdetoteslesprimitivesdelafuncióf, F(x)+C,s'anomenaintegralindefinidadefis'indicamitjançantelsímbol: S 1

,on Observacions.- Lapart(x)dxdelsímbolnoésimprescindibleipodríem escriure. Serveix,però,perposardemanifest,encasdedubte,quinaéslavariable independentdelafuncióques'integra. Així,doncs,lesexpressions i sóndiferents:alaprimera,latésconstant,mentrequealasegonaéslatla quefuncionacom avariableindependent: Laintegracióiladerivaciósónoperacionsinversesl'unadel'altra,enel sentitqueexpressenlesexpressionssegüents:

4 .Propietatsdelaintegració.-

Recordantqueladerivadad'unasumaéslasumadederivades,tindrem: SiFésunaprimitivadefiGhoésdeg: a) Icom queladerivadad'unaconstantperunafuncióéslaconstantperla derivadadelafunció: b)

5. Calculaprimitivesde: a) b) Encaraafegirem unatercerapropietatqueesbasaenelfetdequela derivadade és : c)
6. Calculaprimitivesde

5 .Càlculdeprimitives.-

Com quelaintegracióéselprocésinversdeladerivació,podem obteniruna taulad'integralsimmediatesinvertintlatauladederivació: TAULAD'INTEGRALSIMMEDIATES.- S 2

d)

6 .Primitivesquasiimmediates.-

Ésunaconseqüènciadirectadelaregladelacadena: SiF(x)ésunaprimitivadef(x),aleshoresF(g(x))ésunaprimitiva def(g(x)·g'(x),jaque Ésadir, = 10 .Calculalesintegrals: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) S 4 S 5

t) u) 11 .Act.llibre(pàg 135 ) 8 12 .Trobalaprimitivadelafunció lagràficadelaqualpassapel punt 13 .Justificaelmotiupelqualpodem afirmarquenohihacapprimitivadelafunció quepresentimàximsnimínimsrelatiusenelseudomini. 14 .Determinalesasímptotesdelafunció sabentqueF(- 2 )= 2. 15 .Calcula: a) b) c) d) e) f) 16 .Sesapquelagràficad’unafunciópassapelpuntP=( 1 , 4 )iqueelpendentdela rectatangentenqualsevolpuntd’aquestagràficas’expressamitjançantm(x)= 2 x^2

• 3 x+ 5 .Determinal’expressióalgèbricad’aquestafunció. 17 .Trobalaprimitivadelafunció ques’anul·laquanx= 2. 18 .Calcula: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) 19 .Act.llibre(pàg 150 ) 39 , 47 ...................... S 6 S 7

4 Avegadesaquestmètodes’had’aplicarmésd’uncop.Calculem la integral = = Tornem-hiamblasegonaintegral: Sianomenem alaintegralquebusquem,tenim 20 .Calculalesintegrals: a) b) c) d) e) f) g) h) i) 21 .Act.llibre(pàg 151 ) 56

8 .Exercicisfinals.-

22 .Feselsexercicisdelfull 1 A 23 .Act.llibre(pàg 152 ) 81 24 .Feselsexercicisdelfull 1 BiC 25 .Act.llibre(pàg 154 ) 109 S 9 S S