¡Descarga Probabilitat Estadística y más Apuntes en PDF de Estadística solo en Docsity!
PROBABILITAT
La probabilitat mesura el grau d’incertesa d’un esdeveniment dins d’un experiment aleatori. El càlcul de probabilitats
consisteix a calcular la possibilitat (probabilitat) que pugui ocórrer un determinat succés quan es realitza un
experiment aleatori.
TEORIA DE CONJUNTS
Espai total (E): Suposem que A està contingut en E i que B està contingut en E (A⊂E i B⊂E).
o A: conjunt (col·lecció d’elements)
o B: conjunt diferent de A (col·lecció d’elements)
Aleshores,
o Conjunt complementari (A
c
) = E – A
o Conjunts disconjunts: A i B ⇔ A i B no tenen elements en comú
1) 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜 𝑥 ∈ 𝐵, on:
𝐴 ∪ 𝐵 → elements de A + elements de B (A unió B)
Si sabem que x es troba dins del conjunt que conté a A i B (E), però sabem que A i B no tenen elements en
comú, x només es pot trobar o bé en el subconjunt A o bé en el subconjunt B.
2) 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑖 𝑥 ∈ 𝐵, on:
𝐴 ∩ 𝐵 → elements comuns a A i B (A intersecció B)
Si sabem que x es troba dins el conjunt que conté a A i B (E), i sabem que A i B tenen elements en comú, x es
trobarà a la intersecció entre A i B.
Conceptes:
EXPERIMENT ALEATORI (ATZAR): és qualsevol operació que pot donar lloc a diferents resultats i de manera que no
podem predir amb exactitud quin d’aquests resultats obtindrem. És a dir, aquell en què no es coneix el resultat que
sortirà, però sí tots els resultats possibles. Ex: llançar una moneda a l’aire.
SUCCÉS: subconjunt dels possibles resultats. Ex: treure cara quan llancem una moneda.
ESPAI MOSTRAL: conjunt de tots els resultats possibles d’un experiment aleatori. Es representa amb el signe Ω. Ex: si
llancem una moneda i observem la cara superior, veurem que els resultats possibles són cara o creu, per tant, l’espai
mostral d’aquest experiment és Ω={cara, creu}. Cada subconjunt de Ω és un esdeveniment.
ESDEVENIMENT ALEATORI (ω): és un subconjunt de l’espai mostral; és a dir, és un resultat d’un experiment o una
col·lecció de resultats. Tipus:
Esdeveniment elemental: es dóna si ω té un únic element. Exemple: que en tirar un dau surti el número 1.
ω={1}.
Esdeveniment compost: es dóna si ω té més d’un element. Exemple: que en tirar un dau surti un número
parell. ω={2, 4, 6}.
Esdeveniment segur(Ω): és aquell format per tot l’espai mostral; sempre succeeix. Exemple: que en tirar un
dau surti un nombre de l’1 al 6. ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Esdeveniment impossible (Ø): no és dins de l’espai mostral. Exemple: que en tirar un dau regular surti el
número 8. ω=Ø.
Esdeveniments d’unió (ω 1
o ω 2
Esdeveniments d’intersecció (ω 1
i ω 2
Esdeveniments compatibles: dos o més esdeveniments són compatibles quan es poden produir alhora en fer
un experiment aleatori. Exemple: que en llançar un dau surti un número imparell ω={1, 3, 5} i que aquest sigui
un nombre primer ω={1, 2, 3, 5}.
Esdeveniments incompatibles: dos esdeveniments són incompatibles quan no es poden produir alhora en fer
un experiment aleatori. Exemple: que en tirar un dau surti un nombre parell i imparell alhora. Els
esdeveniments parell ω={2, 4, 6} i imparell ω={1, 3, 5} són incompatibles.
Esdeveniments contraris: és aquell format per tots els elements de l’espai mostral que no formen part de
l’esdeveniment en consideració. Exemple: esdeveniment 1: que en tirar un dau surti el número cinc ω={5}.
Esdeveniment contrari: que en tirar un dau no surti el número cinc ω={1, 2, 3, 4, 6}.
Característiques dels experiments aleatoris:
Tots els possibles resultats de l’experiment són coneguts amb anterioritat o abans de la seva realització.
No podem predir el resultat que obtindrem en fer-ho una vegada.
L’experiment es pot repetir en condicions idèntiques.
FREQÜÈNCIES RELATIVES I PROBABILITATS
Si es repeteix un experiment aleatori en les mateixes condicions i s’anoten les freqüències relatives d’un
esdeveniment, s’observa que tendeix a estabilitzar-se al voltant d’un nombre real entre 0 i 1. Quan el nombre de
vegades que repetim l’experiment és molt gran (n=10, n=50, n=100, n=1000, n=5000...), aquest valor s’anomena
probabilitat de l’esdeveniment.
Si s’ha de realitzar un experiment aleatori i suposem que n és el nombre total de resultats possibles i m són els resultats
favorables per un cert esdeveniment ω i tots els resultats tenen les mateixes possibilitats de sortir, la probabilitat d’ ω
és 𝑝(𝜔) =
Exemple:
La probabilitat d’obtenir una cara en llançar una moneda és: 𝑝 =
REGLA DE LAPLACE: s’utilitza per calcular la probabilitat d’un esdeveniment en experiments aleatoris regulars, on tots
els resultats possibles n tenen la mateixa probabilitat d’aparició (són equiprobables).
Postulat de la indiferència o cas particular de la mateixa versemblança: en molts problemes, la freqüència relativa és
una bona definició de probabilitat, però no és suficient, ja que no permet un tractament matemàtic o rigorós d’aquests
conceptes, de la teoria de probabilitat que cal desenvolupar per arribar a les idees d’inferència estadística.
És necessària una base axiomàtica : conjunt de regles a les que suposem que tota probabilitat s’ajusta.
MODEL PROBABILÍSTIC
És la forma que pot prendre un conjunt de dades obtingudes d’un mostreig de dades amb un comportament que es
suposa aleatori.
És un tipus de model matemàtic que utilitza la probabilitat i que inclou un conjunt d’assumpcions (acte d’assumir)
sobre la generació d’algunes dades mostrals, de tal manera que s’assemblin a les dades d’una població major.
Les assumpcions o hipòtesis d’un model estadístic descriuen un conjunt de distribucions de probabilitat que són
capaces d’aproximar de manera adequada un conjunt de dades.
És a dir, consisteix en un conjunt dels possibles resultats d’un experiment i en el conjunt de freqüències relatives o
probabilitats assignades a cadascun d’aquests resultats.
Propietats de la probabilitat: es dedueixen o demostren a partir dels axiomes:
Teorema 1: 𝑝(∅) = 0 , per a qualsevol espai mostral Ω.
Demostració:
= 1 , per l’axioma 1.
Com 𝛺 ∩ ∅ = ∅, per l’axioma 3,
Tenim: 𝑝(𝛺) = 𝑝(𝛺 ∪ ∅) = 𝑝(𝛺) + 𝑝(∅) = 1 + 𝑝(∅) ⇒ 1 = 1 + 𝑝(∅) ⇒ 𝑝(∅) = 0
Teorema 2: 𝑝(𝜔̅ ) = 1 − 𝑝(𝜔), on 𝜔̅ és el complementari de 𝜔 respecte de Ω; 𝜔̅ és la negació de 𝜔.
Demostració:
Com 𝜔 ∪ 𝜔̅ = Ω ⇒ p(𝜔 ∪ 𝜔̅ ) = 𝑝(Ω) = 1 , com 𝜔 ∩ 𝜔̅ = ∅, utilitzant l’axioma 3 tenim:
Com calcular 𝑝(𝜔
1
2
) quan 𝜔
1
i 𝜔
2
tenen elements en comú?
Teorema 3: 𝑝(𝜔
1
2
1
2
1
2
Representació gràfica per visualitzar 𝑝(𝜔
1
2
); on 𝟏 → 𝜔
1
2
i 𝟐 → 𝜔
1
2
2
1
2
1
2
), on,
tenint en compte que
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
També 𝜔
1
2
1
1
2
), on,
Tenint en compte que 𝜔
1
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
Exemple: En tirar un dau regular, considerem els següents esdeveniments:
s: obtenir un nombre parell → 𝑝(𝑠) =
t: obtenir un nombre més petit que 5 → 𝑝
𝑠 ∪ 𝑡: obtenir un nombre parell o un nombre més petit de 5 → 𝑠 ∪ 𝑡 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 } → 𝑝(𝑠 ∪ 𝑡) =
Per altra banda, si utilitzem el resultat anterior tenim:
POSTULAT DE LA INDIFERÈNCIA
Suposem que tots els esdeveniments d’un sol element de Ω tenen la mateixa versemblança:
Si un experiment amb N resultats possibles (nombre d’elements de Ω o cardinal de Ω=N) i tots els esdeveniments d’un
sol element tenen tanta possibilitat d’ocórrer com qualsevol altre, com la p(Ω) ha d’ésser 1, la probabilitat per a
cadascun dels esdeveniments d’un sol element haurà de ser 1/N.
És a dir, si un experiment aleatori qualsevol pot donar lloc a N esdeveniments diferents i no es coneix cap raó
que afavoreixi la presentació d’un respecte dels altres, s’ha d’admetre que tots els esdeveniments tenen la
mateixa probabilitat: 1/N.
La probabilitat de qualsevol esdeveniment 𝜔 ⊂ Ω serà:
𝑛(𝜔)
𝑛(Ω)
𝑛(𝜔)
𝑁
, on n(ω) és el nombre d’elements en ω.
Aquesta regla per assignar valors (probabilitats) satisfà els tres axiomes de la probabilitat:
𝑛(Ω)
𝑛(Ω)
2) Si 𝜔 ⊂ Ω, el número d’elements de ω sempre serà un nombre no negatiu d’elements, n(ω)≥0. Aleshores,
𝑝(ω) =
𝑛(ω)
𝑛(Ω)
3) Si ω
1
∩ ω
2
= ∅ → els esdeveniments no tenen elements en comú i, per tant: 𝑛
ω
1
∪ ω
2
ω
1
2
de forma que: 𝑝
ω
1
∪ ω
2
𝑛(ω
1
∪ω
2
)
𝑛(Ω)
𝑛(ω
1
)+𝑛(ω
2
)
𝑛(Ω)
𝑛(ω
1
)
𝑛(Ω)
𝑛(ω
2
)
𝑛(Ω)
ω
1
2
PROBABILITAT CONDICIONADA
Permet obtenir o incorporar informació important per trobar la probabilitat d’un cert esdeveniment.
Exemples:
La probabilitat de que en tirar un dau s’obtingui un nombre parell, si ja sabem que ha sortit un nombre més
gran que 5, és: p{nombre parell si és un nombre més gran que 5} = p{6} = 1
La probabilitat d’obtenir un nombre senar, si ja sabem que el resultat obtingut és més gran que 5, és 0.
La probabilitat d’obtenir un nombre parell, si ja sabem que és un número més petit que 4, és en l’espai de
referència {1, 2, 3}, igual a 1/3.
Si ja ha esdevingut un cert esdeveniment ω 1
, quina és la probabilitat de que esdevingui un altre esdeveniment
ω 2
Com ja s’ha donat ω 1
, aquest ω 1
serà el nou espai mostral (espai de referència) i sembla raonable mesurar la
probabilitat de que ω 2
es doni o aparegui utilitzant la proporció relativa del temps en què ω 1
i ω 2
es donen
simultàniament.
Probabilitat condicional de que ω 2
donat que hagi aparegut ω 1:
2
1
𝑝({𝜔
2
∩𝜔
1
})
𝑝({𝜔
1
})
, si 𝑝(𝜔
1
Una vegada que ha esdevingut l’esdeveniment ω 1
, es pot considerar que ω 1
és el nou espai mostral i la probabilitat condicionada de ω 2
és la proporció de
ω 1
que representa la part de ω 2
que està en ω 1
2
1
: probabilitat de que passi l’esdeveniment ω
2
un cop ja ha passat l’esdeveniment ω 1
Si triem parelles d’esdeveniments, les parelles són independents. Provarem que α, β i ϒ no són esdeveniments
independents.
Probabilitats de les diferents interseccions:
3
REGLA DE BAYES
Permet obtenir probabilitats condicionades 𝑝
𝑖
a partir de la probabilitat condicionada 𝑝
𝑖
, utilitzant
probabilitats condicionades en sentit contrari.
Algunes vegades tot l’espai mostral es pot partir en diversos
esdeveniments de probabilitat diferent de zero i incompatibles entre ells.
En aquesta situació la porbabilitat d’un esdeveniment ω s’obté sumant les
probabilitats de ω, condicionat per cadascun dels esdeveniments A 1
, A
2
..., A
k
, ponderades per les probabilitats de cadascun dels A i
1
1
2
2
𝑘
𝑘
Si utilitzem aquesta informació per obtenir p(ω), podem conèixer:
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑘
𝑖= 1
Una possible interpretació de la Regla de Bayes és que considerem A 1
, A
2
, ..., A
k
com hipòtesis sota les quals pot
esdevenir un esdeveniment ω. La fórmula permet trobar les probabilitats 𝑝(𝐴 𝑖
|𝜔), una vegada ja ha esdevingut ω, a
partir de les probabilitats 𝑝(𝐴
𝑖
) abans de les hipòtesis.
VARIABLES ALEATÒRIES
Són valors numèrics que corresponen o estan associats al resultat d’un experiment aleatori. Permeten descriure la
variabilitat dels resultats de l’experiment, ja que aquest no sempre produeix el mateix resultat.
En altres paraules, és una funció que té per domini l’espai mostral (Ω) d’un experiment aleatori i que el seu rang (R x
Rang X) és un conjunt de nombres reals.
Notació:
ω → és un element de l’espai mostral.
X(ω) → és el valor real de la variable aleatòria.
X: Ω → R
ω → X(ω)
VARIABLE ALEATÒRIA DISCRETA
És una variable aleatòria el rang R x
de la qual és un conjunt discret de nombres reals; és a dir, el seu rang és un
conjunt finit o numerable. Un conjunt és numerable si està en bijecció
1
amb els nombres naturals.
Exemples:
La suma dels valors obtinguts amb la tirada de dos daus.
El nombre de vegades que hem de tirar una moneda fins que surt cara.
FUNCIÓ DE PROBABILITAT
És una funció que associa a cada punt del seu espai mostral X la probabilitat que aquesta ho assumeixi. La denotem
per p x
(x), funció de variable real, i es defineix com:
𝑥
(𝑥) = 𝑝{𝜔|𝑋(𝜔) = 𝑥} = 𝑝(𝑋(𝜔) = 𝑥) = probabilitat del conjunt d’esdeveniments pels quals la variable
aleatòria pren el valor 𝑥 = 𝑝(𝑋 = 𝑥) i es troba definida ∀𝑥 ∈ 𝑅 (per tota x que pertany a R)
Les probabilitats s’assignen considerant que ∑ 𝑝
𝑥
𝑥∈𝑅𝑎𝑛𝑔𝑋
i 𝑝
𝑥
FUNCIO DISTRIBUCIÓ:
És una funció matemàtica que assigna a cada succés definit sobre la variable aleatòria una probabilitat que aquest
succés tingui lloc. Està fefinida sobre el conjunt de tots els esdeveniments (rang de valors) de la variable aleatòria.
Es denota per F x
(t) i és una funció d’una variable t tal que:
1) El domini de definició de F x
és la recta real
2) Per a tota t real, 𝐹
𝑥
Quan X és una variable aleatòria discreta, 𝐹
𝑥
𝑥
𝑥≤𝑡,𝑥∈𝑅𝑎𝑛𝑔𝑋
𝑥
1
𝑥
2
𝑥
𝑘
on 𝑥
𝑖
∈ 𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑋 i x 1
, x 2
, ..., x k
≤ t
La funció de distribució F x
(t) permet calcular les probabilitats en determinats casos: Si a < b, i a, b són nombres
reals.
𝑥
𝑥
ESPERANÇA
És el número E[X] que formalitza la idea de valor mig d’un fenomen aleatori. Quan la variable aleatòria és discreta,
l’esperança és igual a la suma de la probabilitat de cada possible esdeveniment aleatori multiplicat pel valor
d’aquest esdeveniment. Per tant, representa la quantitat mitjana que “s’espera” com a resultat d’un experiment
aleatori quan la probabilitat de cada esdeveniment es manté constant i l’experiment es repeteix un nombre elevat
de vegades.
Esperança de X ≅ Valor mig de X ≅ Mitjana poblacional
1
Bijecció: Aplicació bijectiva o biunívoca.
Bijectiu: que és injectiu i exhaustiu a la vegada.
Injectiu: que, entre dos conjunts, no presenta cap element del segon conjunt com a imatge comuna de dos elements diferents
del primer conjunt.
Exhaustiu: que, entre dos conjunts, presenta tot element del segon conjunt com a imatge d’algun element del primer.
VARIABLE ALEATÒRIA BINOMIAL
La variable aleatòria binomial, X, expressa el nombre d’èxits obtinguts en cada prova de l’experiment.
- Si tenim un experiment format per la repetició de n proves independents de Bernoulli, on n és un enter
positiu, la variable X dóna el nombre total d’èxits en les n proves independents i repetitives de Bernoulli
amb probabilitat π d’èxit en una prova donada. B ( n , π).
- L’espai mostral que tenim en aquest experiment és Ω = Ω
1
2
𝑛
, on Ω
𝑖
𝑖
𝑖
- Rang de X = {0, 1, 2, ..., n}
- La funció de probabilitat queda determinada si coneixem els paràmetres n i π.
𝑋
1
2
𝑛
𝑖
′
𝑠 𝑠ó𝑛 𝑒
𝑘
𝑛−𝑘
𝑘
𝑛−𝑘
𝑘
𝑛−𝑘
Com tenim proves independents, la probabilitat es pot calcular com un producte de probabilitats, on les
probabilitats de cadascuna de les proves és π per l’èxit o (1- π) pel fracàs.
La variable aleatòria binomial es basa en la variable aleatòria de Bernoulli, que és el nombre d’èxits observats en
una prova de Bernoulli X. Una prova de Bernoulli és un experiment que té dos resultats possibles, al quals
s’anomena èxit (e) o fracàs (f). També pot ser el resultat d’avaluar la presència d’una característica, per tant, les
possibilitats són “la posseeix” o “no la posseeix”.
Propietats:
La variable aleatòria X té per funció de probabilitat la funció p X
(X), amb un rang X = {0, 1}, on:
𝑋
𝑋
𝑋
(𝑋) = 0 , 𝑠𝑖 𝑋 é𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 0 𝑜 1
[
]
𝑋
𝑋∈𝑅𝑎𝑛𝑔𝑋
2
[
2
]
[
2
]
2
𝑋
𝑋∈𝑅𝑎𝑛𝑔𝑋
2
2
2
2
Funció de probabilitat d’una variable binomial de paràmetres n i k:
𝑋
𝑘
𝑛−𝑘
𝑋
Propietats: Una variable aleatòria X, Binomial B( n , π) és una suma de n variables aleatòries Bernoulli independents.
Per trobar σ
2
i μ utilitzarem les propietats de l’esperança i la variància.
1
2
𝑛
𝑖
𝑛
𝑖= 1
𝑖
é𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟à𝑚𝑒𝑡𝑟𝑒 𝜋 𝑑
′
è𝑥𝑖𝑡.
[
]
= 𝐸[∑ 𝑥
𝑖
] = ∑ 𝐸
[
𝑖
]
𝑛
𝑖= 1
𝑛
𝑖= 1
𝑛
𝑖= 1
𝑉𝑎𝑟[𝑋] = 𝑉𝑎𝑟[∑ 𝑥
𝑖
] = ∑ 𝑉𝑎𝑟(𝑥
𝑖
𝑛 2
𝑖= 1
𝑛
𝑖= 1
𝑛
𝑖= 1
PROPORCIÓ D’ÈXITS PER A UNA VARIABLE BINOMIAL:
𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó = 𝑝 =
Proporció poblacional: és una variable aleatòria que s’obté a partir de X, B (n, π) Es pot reescriure com 𝑝 =
1
𝑛
Propietats:
Probabilitat d’èxit d’una prova: 𝐸[𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó] = 𝐸 (
𝑋
𝑛
1
𝑛
1
𝑛
1
𝑛
𝑉𝑎𝑟(𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó) = 𝑉𝑎𝑟 (
𝑋
𝑛
1
𝑛
1
𝑛
2
1
𝑛
2
𝜋( 1 −𝜋)
𝑛
Desviació típica de la proporció: 𝜎 =
𝑋
𝑛
𝜋( 1 −𝜋)
𝑛
VARIABLE ALEATÒRIA DE POISSON
Es diu que una variable aleatòria X segueix una llei de probabilitat de Poisson de paràmetre λ, on λ és una constant
positiva, si la seva funció de densitat de probabilitat presenta la següent forma:
𝑋
−𝜆
𝑘
𝑋
𝑜𝑛: 𝐸[𝑋] = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜆
[
]
𝑘∈𝑅𝑎𝑛𝑔𝑋
𝑋
𝜆
𝑘
𝑘!
−𝜆
𝜆
𝑘
𝑘!
−𝜆
−𝜆
𝜆
𝑘− 1
(𝑘− 1 )!
−𝜆
𝜆
𝑖
𝑖!
∞
𝑖= 0
∞
𝑘= 1
∞
𝑘= 1
∞
𝑘= 0
−𝜆
𝜆
2
𝑋
2
𝜆
𝑘
𝑘!
−𝜆
𝑘∈𝑅𝑎𝑛𝑔𝑋 𝑘∈𝑅𝑎𝑛𝑔𝑋
Si dues variables independents tenen distribució de Poisson de paràmetres λ 1
i λ 2
, la suma de les variables
aleatòries és una variable de Poisson de paràmetre λ 1
APROXIMACIÓ D’UNA VARIABLE ALEATÒRIA BINOMIAL PER A UNA VARIABLE ALEATÒRIA POISSON
Per a una funció de probabilitat binomial amb n molt gran i π molt petita, la funció de probabilitat de Poisson de
paràmetre λ=nπ dóna una bona aproximació d’aquesta binomial.
Per exemple, un criteri podria ser quan n ≥ 100 i π ≤ 0,01 (o bé n ≥ 100 i nπ ≤ 10).
VARIABLE ALEATÒRIA CONTÍNUA
Una variable aleatòria és contínua si el seu recorregut (o Rang R X
) és un conjunt no numerable; és a dir, que el
conjunt de possibles valors de la variable abasta tot un interval de nombres reals o una unió d’intervals de la recta
real i si té probabilitat zero d’assolir qualsevol valor aïllat del seu rang, p({X = k})=0.
En altres paraules, una variable aleatòria X és contínua si la seva funció de distribució F(t), F(t) = p{X ≤ t}, és una
funció contínua per a tot t real.
X té més probabilitat de prendre valors propers a μ que
valors allunyats. Recordatori: regla 68 - 95 - 99 per valorar si
la distribució de dades de la mostra es pot assumir
aproximadament normal.
Si μ és fixe: quant més petit és σ, més probabilitat hi ha
d’obtenir valors propers a μ. Quant més gran, més plana
és la campana i, per tant, disminueix la probabilitat de
tenir valors propers a μ.
Si σ és fixe: al variar μ, el que fem es traslladar o desplaçar
la corba.
VARIABLE ALEATÒRIA NORMAL ESTÀNDARD (Z)
Z és una variable aleatòria normal amb μ = 0 i σ
2
= σ = 1. És a dir, és N(0,1).
Si X és una variable aleatòria normal amb esperança μ i variància σ
2
, X és N(μ, σ), per la qual cosa:
On l’esperança és 0 i la variància 1 = Z és N(0,1). Això s’anomena tipificar la variable.
Conceptes bàsics:
Distribució mostral: hi ha tres possibles distribucions:
Distribució de la mostra: consisteix en agafar una mostra i estudiar-la.
Distribució poblacional: consisteix en estudiar com està distribuïda la població.
Distribució mostral: consisteix en estudiar una mostra de grandària N i comparar-la amb la població
(conjunt de mostres).
TEOREMA DEL LÍMIT CENTRAL
La funció de distribució per a una suma de variables aleatòries independents s’aproxima a la funció de distribució
normal a mesura que augmenta el nombre de variables en la suma. És a dir, a mesura que augmenta la mostra,
s’assembla més a la normal. Si es sumen N variables aleatòries (N ≥ 30), la variable s’assembla a la normal.
Interpretació i utilització:
Sigui X 1
, X
2
, ..., X
n
una mostra aleatòria de mida n d’una distribució amb mitjana μ i variància σ
2
finites (σ ≠ 0).
Llavors, si n és suficientment gran ( n ≥ 30):
La variable aleatòria 𝑋
1
𝑛
𝑖
𝑛
𝑖= 1
(mitjana mostral) té aproximadament una distribució normal amb
mitjana 𝜇
𝑋
̅
= 𝜇 i variància 𝜎
𝑋
̅
2
També es compleix que la variable aleatòria S = X 1
+ X
2
+ ... + X
n
té aproximadament una distribució normal
amb mitjana 𝜇
𝑠
= 𝜇 i variància 𝜎
𝑠
2 = 𝑛𝜎
2
Com més gran sigui el valor de n , millor serà l’aproximació, que és, en general, major en el centre que en els
extrems o cues, motiu pel qual s’anomena “ teorema del límit central ”.
APROXIMACIÓ NORMAL DE LA BINOMIAL
Quan tenim una variable aleatòria X Binomial de paràmetres n i π, en determinades condicions, la funció de
distribució binomial tendeix a la funció de distribució normal.
Condicions:
a) nπ · (1 – π) > 5
b) nπ > 10 i n (1 – π) > 10
c) n > 30 i 0,1 < π < 0,
Si verifica alguna d’aquestes condicions “orientatives”, la distribució binomial es pot aproximar per una distribució
normal de paràmetres μ = 𝑛𝜋 i 𝜎 = √𝑛𝜋( 1 − 𝜋).
APROXIMACIÓ NORMAL DE LA PROPORCIÓ
Tenim definida la proporció com 𝑝 =
𝑋
𝑛
, on X és la variable aleatòria binomial n i π. La proporció també es pot
aproximar per una distribució normal de paràmetres μ = 𝜋 i 𝜎 =
𝜋( 1 −𝜋)
𝑛
*De vegades es pot utilizar una transformació no lineal per fer aquesta aproximació, anomenada transformació
arcsinus, en la qual les dades s’expressen en radians:
APROXIMACIO NORMAL DE LA POISSON
Si X és una variable aleatòria de Poisson de paràmetre λ, i el valor de λ és gran, es pot aproximar per una variable
aleatòria normal. Per exemple, λ ≥ 10 (aproximació molt bona).
Si es verifica aquesta condició “orientativa”, la distribució Poisson es pot aproximar per una distribució normal de
μ = λ i 𝜎 = √
λ.
𝑋 ≈ 𝑁(λ, √λ)
*De vegades es pot utilizar una transformació no lineal per a fer l’aproximació, de forma que si X és una variable
aleatòria de Poisson de paràmetre λ, s’utilitza la transformació de l’arrel quadrada:
𝑋 ≈ 𝑁 (√λ,
