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Asignatura: fisica, Profesor: antonio antonio, Carrera: Ingeneiria Biomedica, Universidad: UPC
Tipo: Ejercicios
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Estadística Tema 3. Probabilitat
Definició de probabilitat, càlcul de probabilitats, interpretació freqüencial, Regla de Laplace, interpretació Bayesiana Francesc Palacios Departament de Matemàtiques Universitat Politècnica de Catalunya Setembre 2017 draft 5.
P1. 𝑷 𝑨�^ = 𝟏 − 𝑷 𝑨
P2. 𝑷 𝑨 − 𝑩) = 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩�^ = 𝑷(𝑨) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
P3. 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
F. Palacios 2017 – draft 5.
F. Palacios 2017 – draft 5.
F. Palacios 2017 – draft 5.
Un cert model de vàlvula electromecànica pot tenir dos tipus de defecte:
M = [defecte mecànic] E = [defecte elèctric]
Per les dades recollides al nostre control de qualitat, sabem que
F. Palacios 2017 – draft 5.
La teoria de probabilitats ens proporciona una metodologia sistemàtica per obtenir una valoració racional d’aquestes probabilitats
triem una a l’atzar
F. Palacios 2017 – draft 5.
Considerem un experiment aleatori amb espai mostral 𝛀 (finit) i una àlgebra de successos 𝓐.
Sigui (𝛀, 𝓐) un espai probabilitzable. Una mesura de probabilitat és una aplicació 𝑷: 𝓐 ⟶ ℝ que compleix:
A1. Per a tot succés 𝑿 ∈ 𝓐, 𝑷 𝑿 ≥ 𝟎 (No negativitat)
A2. Si 𝑿, 𝒀 ∈ 𝓐 són successos incompatibles (𝑿 ∩ 𝒀 = ∅), llavors 𝑷 𝑿 ∪ 𝒀 = 𝑷 𝑿 + 𝑷(𝒀) (propietat additiva)
A3. 𝑷 𝛀 = 𝟏 (normalització)
La terna 𝛀, 𝓐, 𝑷 s’anomena espai de probabilitat
Andréi Kolmogórov 1903 - 1987
F. Palacios 2017 – draft 5.
𝑷(𝑨)
𝑷 𝑨�^ = 𝟏 − 𝑷(𝑨)
𝑷 𝛀 = 𝟏
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
𝑷 𝑨 − 𝑩 = 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩�^ = 𝑷 𝑨 − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
F. Palacios 2017 – draft 5.
𝑨 ⊂ 𝑩 ⟹ 𝑷 𝑨 ≤ 𝑷(𝑩)
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩
𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
Interpretem la mesura de probabilitat com la mesura d’àrea d’una regió plana. L’àrea total té mesura 1
F. Palacios 2017 – draft 5.
Activitat 1. Demostra la propietat 𝑷 𝑨�^ = 𝟏 − 𝑷 𝑨
𝑷(𝑨)
𝑷 𝑨�^ = 𝟏 − 𝑷(𝑨)
𝑷 𝛀 = 𝟏
F. Palacios 2017 – draft 5.
Activitat 1. Demostra la propietat 𝑷 𝑨�^ = 𝟏 − 𝑷 𝑨
A3 A
𝟏 = 𝑷 𝛀 = 𝑷 𝑨 ∪ 𝑨�^ = 𝑷 𝑨 + 𝑷(𝑨�)
F. Palacios 2017 – draft 5.
Activitat 2. Demostra la propietat 𝑷 𝑨 − 𝑩 = 𝑷(𝑨) − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩
𝑷 𝑨 = 𝑷[ 𝑨 ∩ 𝑩) ∪ (𝑨 − 𝑩 ] = 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 + 𝑷(𝑨 − 𝑩)
Unió disjunta A
F. Palacios 2017 – draft 5.
Un cert model de vàlvula electromecànica pot tenir dos tipus de defecte:
M = [defecte mecànic] E = [defecte elèctric]
Segons les dades recollides al nostre control de qualitat, sabem que:
Tenim les següents probabilitats inicials P(M)=0.03, P(E) = 0.05, P(E∩M)=0.
Prenem una vàlvula a l’atzar. Calcula la probabilitat que la vàlvula:
F. Palacios 2017 – draft 5.
Probabilitats inicials: P(M) = 0.03, P(E) = 0.05, P(E∩M) = 0.
F. Palacios 2017 – draft 5.
Considerem un experiment aleatori i un determinat succés 𝑨 ⊂ 𝛀.
A l’enfocament freqüencial, la probabilitat del succés A s’interpreta com la freqüència relativa corresponent a un nombre molt gran de proves: 𝑷 𝑨 = lim 𝑵→∞ 𝒇 (^) 𝑨 = lim 𝒏→∞
𝑵 (^) 𝑨 𝑵
John Venn 1834 - 1923
