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ESTADISTICA 1 - PROBABILITAT.
P(Ø) ≤ P(x) ≤ P(Ω) P(Ø) = 0 P(Ω) = 1
Si A ∩ B = 0 → P ( A ∪ B )= P ( A )+ P ( B )
Si A ⊂ B → P ( A )≤ P ( B )
Si P (^^ A ∪ B )= P ( A )+ P ( B )− P ( A ∩ B )
Si A es independiente de B → P ( A ∩ B )= P ( A )· P ( B )
Probabilitat condicionada : ( )
P B
P A B
B
P A = ∩
Teorema de Bayes : ( )
PB
PBA P A
B
P A = ( )
P A
PAB PB
A
→ P B =
Binomial : 2 eleccions (cara i creu, treure un sis o no,…)
( ) px^ pn x
x
n
B n p PBn p x ⎟⎟ − −
n= número de vegades què és realitza l’experiment p = probabilitat de treure el resultat desitjat x = nombre de cops que s’ha de conseguir el resultat
x vegades
x x
n n n − n −
Ex: 2 · 1
P ( x ≥ xi ) = 1 −[ P ( x < xi )]
Variables aleatorias contínuas Ætenen una funció de desnitat = fx
Æ ∫ ( ) = 1
+∞ −∞ f (^) x xdx
Esperanza media ∫
+∞ −∞
⇒ x ≅ μ= E ( x )= x · fx ( x ) dx
Æ x = es la media de la población, que es constante y no se puede calcular Æ μ = E(x) = es la media de la muestra y sí se puede calcular
P ( A )= 1 − P ( A )
Medidas de dispersión: Æ Varianza = como se dispersan los datos
∫ (^ )
+∞ −∞
Var ( X )= x − · fx ( x ) dx
2
( ) (( ( ))) (^2 )^2 ( ) 2
Var X = E X − Ex = E X − E X
Var ( aX + b ) = a^2 · Var ( X ) X e E independientes Æ Var ( X + Y )= Var ( X )+ Var ( Y )
Æ Desviación típica
σ X =+ Var ( X )
Distribución Normal Æ fórmula de densidad asociada de la forma:
2
2 2
( ) · 2
1 ( )^ σ
μ
πσ
− −
x f x e
- máximo = 1
- forma de campana
- simétrica donde se alcanza el máximo
Ex: de media 0 y de dispersión 1 = XÆN(0,1) Ex: P(1.12 ≤ N(0,1) ≤ 3.27) = F (^) N(0,1) (3.27) - FN(0,1)(1.12) Ex: P(N(0,1) > 1.26) = 1 - F (^) N(0,1)(1.26) Ex: P(N(0,1) < -086) = 1 – P(N(0,1) ≤ 0.86) Ex: P(N(0,1) > -1.37) = 1 – P(N(0,1) < -1.37) = 1 – [1 – P(N(0,1) < 1.37)]
Tipificación a una N(0,1): transformación de una normal no 0,1 a una de estas para resolver por tablas
x N ( , )
Ex: P(2 < N(3,1) < 4) = (^) ⎟ ⎠
2 3 N
P = P(-1 < N(0,1) < 1)
Propiedad:
X ⎯ ⎯→ D N ( μ 1 , σ 1 )
Y ⎯ ⎯→ D N ( μ 2 , σ 2 )
a,b∈ ℜ
( , ) 2 2
2 2 1
2 aX bY N a μ 1 b μ 2 a σ b σ D
